1、一、结构图简化方法（梅森公式）举例说明用Matlab如何实现例1：书本P653，例C-1 已知多回路反馈系统的结构图如图所示，求闭环系统的传递函数。图-1Matlab的M文件为：%G1=tf(1,1 10);G2=tf(1,1 1);G3=tf(1 0 1,1 4 4);numg4=1 1;deng4=1 6;G4=tf(numg4,deng4);H1=zpk(-1,-2,1);numh2=2;denh2=1;H3=1;nh2=conv(numh2,deng4);dh2=conv(denh2,numg4);H2=tf(nh2,dh2);sys1=series(G3,G4);sys2=feedb
2、ack(sys1,H1,+1);sys3=series(G2,sys2);sys4=feedback(sys3,H2);sys5=series(G1,sys4);sys=feedback(sys5,H3)%在Matlab中M文件运行后的执行结果为：Zero/pole/gain: 0.083333 (s+1) (s+2) (s2+ 1)-(s+10.12) (s+2.44) (s+2.349) (s2+ 1.176s + 1.023)二、系统时域分析与设计方法（动态、稳态性能）1) 改变零点与极点位置对系统模态、动态性能、稳态性能的影响。极点确定系统的运动模态，和稳定性。零点决定模态在输出中的比
3、例关系。例2：设系统闭环传递函数为(s)=，其中，=0.707。求二阶系统的单位阶跃响应。执行M文件：close all;clear all;num=6 18;den=1 2*0.707 2;H=tf(num,den);sys=tf(num,den);p=roots(den) t=0:0.05:10;figure(1)step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(单位阶跃响应);则，系统的单位阶跃响应为：图-2闭环极点为p=-0.7070+1.2248i-0.7070-1.2248i设具有相同极点但零点不同的传递函数为：1(s)=增加的一个零点为s=
4、- 1求其单位阶跃响应M文件为：%close all;clear all;clcnum=6 24 18;den=1 2*0.707 2;H=tf(num,den);sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.05:10;figure(1)step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(单位系统阶跃响应);%如下图所示为1(s)的单位阶跃响应：图-3由此可知：、改变闭环传递函数的零点位置会影响系统的动态性能，当加了零点后，超调量变大，上升时间变短。、闭环传递函数的零点不形成自由运动的模态，但它们影响各模态在响应中所占的比重，所以，改
5、变闭环传递函数的零点位置也会对响应曲线的形状产生影响。、改变系统的零点，对系统的稳态性能没有影响。设具有相同零点但极点不同的传递函数分别为2(s)=，其中，=0.5。求此时2(s)函数的单位阶跃响应：M文件为：%close all;clear all;clcnum=6 18;den=1 2*0.5 2;sys=tf(num,den); p=roots(den) t=0:0.01:3;figure(1)step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(单位系统阶跃响应);%执行M文件的结果为：2(s)的单位阶跃响应为：图-4由此可知：改变系统的极点会对系统动
6、态性能产生影响，当从0.707变为0.5时，系统振荡时间变长，调节时间变短，上升时间变短。改变系统的极点会改变系统的运动模态。改变系统的闭环极点对系统的稳态性能没有影响。2) 举例说明主导极点、偶极子的概念。（1）主导极点的说明：例3：(s)=利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应。M文件为：%close all;clear all;clcnum=8 16.8;den=1 11 27 26 16;sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.01:10; figure(1);xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis);tit
7、le(Pole-Zero Map);pzmap(sys),xlabel(t);ylabel(c(t);title(s)的单位阶跃响应);figure(2)%执行M文件的结果为单位阶跃响应如下图：它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。）图-5极点为p=-8.0000-2.0000-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i(s)的单位阶跃响应为：图-6将函数(s)改为：(s)=去除了极点p1= - 8.0000和p2= - 2.0000利用Matlab绘制函数的单位阶跃响应。M文件为：%close all; clear all; clcnum
8、 =1.05;den=1 1 1;sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.01:15;figure(1);step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的单位阶跃响应);%执行M文件可得(s)的单位阶跃响应为：图-7极点为p=-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i比较图-6和图-7可知，改变主导极点时系统的动态性能和稳态性能基本不变。所以，主导极点在系统的时间响应中起主导作用。（2）偶极子概念：偶极子对：是指若在某一极点的附近同时存在一个零点，而在该零、极点的附近又无其它的零点或极点。就
9、称这个极点和这个零点为一个偶极子对。由于零、极点在数学上位置分别是的分子分母，工程实际中作用又相反，因此可作近似处理，近似地认为偶极子对中零、极点对系统的作用相互抵消了。例4：设系统传递函数为：G(s)= 利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应。M文件为：%close all;clear all;clcnum=1 0.31;den=1 1.35 0.365 0.015;sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.01:120;figure(1);pzmap(sys),xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis);title(
10、Pole-Zero Map);figure(2)step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel( G(s);title( G(s)的单位阶跃响应);%执行M文件的结果为下图：它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。）图-8单位阶跃响应如下图：图-9零点为z= - 0.31极点为p=- 1.0000- 0.3000- 0.0500M文件执行结果可知闭环零点z=-0.31，和闭环极点p1=-0.3互为偶极子。将函数的偶极子点去除后函数改为G(s)：G (s)= =利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应和单位脉冲响应。M文件为：%close a
11、ll;clear all;clc;num=1;den=1 1.05 0.05;sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.01:120;figure(1);pzmap(sys),xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis);title(Pole-Zero Map);figure(2)step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的单位阶跃响应);figure(3)impulse(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)单位脉冲响应);%执行
12、M文件的结果为下图：它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。）图-10单位阶跃响应如下图：图-11比较图-9和图-11可知，系统的上升时间和调节时间和稳态误差基本不变， 偶极子的对系统的动态性能和稳态性能影响基本可以忽略。3) 举例说明提高系统型别的作用，改善二阶系统的性能的方法。举例5：0型系统：G(s)= 具体步骤如下：(1)首先对系统判稳。在Matlab中执行M文件如下：%close all;clear all;clcnum=1;den=1 1.8 4.5;sys=tf(num,den);p=roots(den)t=0:0.01:20;figure(1);st
13、ep(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的单位阶跃响应);figure(2)u=t;lsim(sys,u,t,0);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的斜坡响应);figure(3)u=0.5*t.2;lsim(sys,u,t,0);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的加速度响应);%M文件执行结果为：p = -0.9000 + 1.9209i -0.9000 - 1.9209i阶跃函数图像为：图-12斜坡响应图像为：图-13加速度响应为：图-14(2)提高系统型别，
14、函数变为：G(s)H(s)= 具体步骤如下：(1)首先对系统判稳。在Matlab中执行M文件如下：%close all;clear all;num=1;den=1 1.8 4.5 0;sys1=tf(num,den);sys=feedback(sys1,1);p=roots(sys.den1)t=0:0.01:50;figure(1);step(sys,t);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的单位阶跃响应);figure(2);u=t;lsim(sys,u,t,0);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的斜坡响应);f
15、igure(3);u=0.5*t.2;lsim(sys,u,t,0);gridxlabel(t);ylabel(c(t);title(G(s)的加速度响应);%M文件执行结果为：p = -0.7787 + 1.8750i -0.7787 - 1.8750i -0.2426阶跃函数图像为：图-15斜坡响应图像为：图-16加速度响应图像为：图-17比较图-12图-17可知，当系统型别从0型提高到型时，单位阶跃响应额稳态误差变为0，斜坡响应的误差从无穷变为常数，加速度响应变小。如果继续提高系统型别，单位阶跃响应和斜坡响应的稳态误差都将趋近于0，加速度响应的稳态误差将趋于常数。三、系统根轨迹分析设计方
16、法（动态、稳态性能）1) 举例说明增加零点对根轨迹的影响作用：使根轨迹向复平面左侧弯曲或移动，增加系统的相对稳定性，增大系统阻尼，改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数。例6：书本P656，例C-2。设开环传递函数为：G(s)= 在Matlab中执行M文件如下：%G=tf(1,1 4 20);figurerlocus(G); %执行M文件的结果为：根轨迹图为：图-18增加零点后开环传递函数变成：G(s)= 在Matlab中执行M文件如下：%G=tf(1 2,1 24 20);figure; rlocus(G);%执行M文件所得根轨迹图为：图-19比较图-18和图-19可知，在系统中增加开环零点时，
17、可以使根轨迹向s左半平面弯曲。2) 举例说明开环不稳定系统可能稳定例7：设开环传递函数为：G(s)=在Matlab中画出K从0变化到无穷时的根轨迹图。可知，G(s)的等效开环传递函数为：G*(s)= 在Matlab中执行M文件如下：%close all;clear all;G=tf( 1 3 ,1 3 -20);figure(1)rlocus(G);%执行M文件所得根轨迹图为：图-20由图-20可知开环不稳定系统是可能稳定的，其稳定性和开环增益K有关。四、频域特性分析方法(1)、福相频域特性曲线(2)、对数频域特性曲线（Bode图）(3)、对数福相曲线（尼科尔斯曲线）运用频域的几何图形，可以通
18、过奈氏判据和对数频率稳定判据对系统的稳定性进行判别。系统的的稳定裕度分为相角裕度和幅值裕度h。对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。同样，对于开环稳定系统，如果开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。例8：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)=在Matlab中执行M文件如下：%close all; clear all; clc;G=tf(1280 640,1 24.2 1604.81 320.24 16 );figure(1);margin(G);figure(2);nyquist(G);axis equal%执行M文件的结果为：伯德图为：
19、图-21奈奎斯特图为：图-22由图-21和图-22，根据奈氏判据和系统的相角裕度可以判断：幅值裕度h=29.5dB1，系统的相角裕度=72.90，截止频率Wc=0.904rad/s，穿越频率Wx=39rad/s。奈氏曲线不包围（-1，j0）点，又因为系统无右半平面的开环极点，所以根据奈氏判据，系统稳定。五、系统频率特性设计方法例9：课本P234，例5-19。当考虑弹簧簧片的弹性影响时，磁头位置控制系统如图-23所示。磁头与簧片的典型参数：=0.3，n=18.85103rad/s。要求确定开环增益K=100时，磁盘驱动读取系统的幅值裕度h(dB)、相角裕度及闭环系统的带宽频率n，并估算系统单位阶
20、跃响应%和t s。图-23解：取K1=2000，则开环增益K=100。求取系统的对数特性、闭环函数的对数特性、系统的单位阶跃响应。在Matlab中执行M文件为：%close all; clear all; clc;num=2000*0.05*1,1;den=conv(conv(0.001,1,1/20,1),conv(1,0,(1/18850)2,2*0.3/18850,1);G0=tf(num,den);G=feedback(G0,1);t=0:0.0001:0.02;figure(1);bode(G0);gridfigure(2);bode(G);gridfigure(3);step(G,
21、t);grid%执行M文件所得开环对数频率曲线为：图-24闭环频率特性曲线为：图-25单位阶跃响应曲线为：图-26由图-24可知：h=22.8dB，=37.3，截止频率为1200rad/s。由图-25可知：带宽为2000rad/s。当K1=2000时，自然频率及其附近的系统谐振频率，会位于闭环带宽之外，使簧片弹性对系统动态性能几乎没有影响由图-26可知：超调量=31%，调节时间t s = 9.2ms(=0.2)。参考文献：1 东方，张俊勇.MATLAB在控制系统稳态误差分析中的应用J.陕西 西安：陕西国防工业职业技术学院院报，20072 胡寿松.自动控制原理(第五版)M.北京：科学出版社,20073 周开利，邓春晖.MATLAB基础及应用教程M.北京：北京大学出版社，2007
