1、博弈论与经济分析完全信息动态 博弈论与经济分析（完全信息动态）骆桢 四川大学经济学院第二章 完全信息动态第一节 动态博弈要件及其表述形式要件:1、完全信息静态：参与人、策略、得益 2、动态：参与人、阶段、行动、策略（每个阶段的全部计划）、得益扩展型（extensive form）：借钱博弈（附加介绍“节点”与“阶段”的区别）分不分借，打2,2-1,0借，不打2,20,4不借，打1,01,0不借，不打1,01,0囚徒困境？第二节 置信问题及逆向归纳法（子博弈与子博弈完美纳什均衡）按划线法，“借钱博弈”的纳什均衡有：（借，告；分）（不借，告；不分）（不借，不告；不分）。但是威胁不可置信（借，告；分
2、）不具有稳定性。逆向归纳排除不可置信的“承诺”或者是“威胁”，直观上意味着，参与者作为理性人应该考虑对手在后续阶段的选择。理性要求：双方理性必须是公共知识，回忆“反复删去严格劣策略”如果1在第一阶段不选B，而选了A，他还是不是理性的呢？仍然有可能，但这个时候，理性不可能是“公共知识”，可能的情况包括：“1是理性的”是公共知识，但是1认为2是不理性的，于是他选择期待；或者“2是理性的”是公共知识，1是理性的，但是1认为2不知道自己是理性的，于是选A，希望2上当。（和后面顺序归纳法对比，为什么这里不存在顺序归纳法的解）子博弈与子博弈完美纳什均衡（SPNE）：一个不正式的说明：子博弈：由一个动态博弈
3、第一个阶段以外的某个阶段开始的后续博弈构成的，有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈的一部分。SPNE：如果一个策略组合在整个动态博弈和所有子博弈中都构成NE，那么这个策略组合称为该动态博弈的SPNE。（注意，构成SPNE的策略中，很多节点的行为不在“均衡路径”上，简单介绍“均衡路径”）SPNE是对动态博弈中多个NE进行精炼。例子：1、两阶段动态完全且完美信息动态博弈该类模型的一般性描述：（i） 参与人1从可行集A1中选择行动a1（为什么不是s1了？注意“策略”在动态博弈中含义的变化）（ii） 参与人2观察到a1之后从可行集A2中选择行动a2（iii） 两人的收益分别
4、为u1（a1，a2）和u2（a1，a2）完全且完美信息动态博弈的特点：行动是顺序发生的；下一步选择之前，所有以前的行动都是可以被观察到的；每一可能的行动组合下参与者的收益都是共同知识。求解方法：逆向归纳当参与人2行动时，能看见参与人1的选择，于是假定A1中的每一个a1，参与人2的最优化问题只有唯一解，用其反应函数表示R2（a1）。因为参与人1能像参与人2一样解出这个问题，因此他能预测到2的反应，于是假定这个规划也有唯一的解，我们称是这一博弈的逆向归纳解。（后面我们将严格定义子博弈完美纳什均衡，只有不含不可置信威胁的NE才是SPNE）例1：斯塔克伯格模型古诺模型中，一个企业作为领导者先行选择（伯
5、川德模型的先后选择作为习题）：企业1选择产量q1，企业2观察到产量q1，选择产量q2，企业i的利润由以下函数给出：其中，且（先行者优势；如果存在先后顺序，但是企业2观察不到q1，退化为古诺模型，为什么？）按照逆向归纳的思路，先考虑企业2在看到企业1的任意产量之后的最优反应：由一阶条件（二阶条件略）可得： 厂商1预计到厂商2会做这样的反应，于是，在第一阶段厂商1最优化的问题则变成：由一阶条件（二阶条件略）可得： 代入可得代入求得，这是先行者优势的体现。例2：有工会企业的工资和就业例3：讨价还价模型1、 三回合2、无限回合（一个非正式的讨论）结论和三回合对比，1不再具有强制性“优势”为什么一定要用
6、三阶段？（或者说奇数阶段，偶数，比如2或者4不行吗？）例4：委托代理模型（i）无不确定性委托人选择提供一份怎样的合同W(E),W(S)；代理人选择接不接受这份合同，然后选择“努力”E还是“偷懒”S。因为没有不确定性，所以产出是代理人努力的函数R(E)或者R(S).完全且完美信息，进行逆向归纳：若W(E)-EW(S)-S，则代理人会选择努力，这个条件称为“激励相容约束”而上一阶段代理人是否会接受呢？若W(E)-E0则代理人会接受，这个条件称为“参与相容约束”当然，需要R(E)-W(E)R(0)委托然才选择委托。（ii）有不确定性但可监督努力与否可以看得到并可证实，则通常工资取决于代理人的努力而不
7、是工作成果。这样一来，若产出除了代理人的努力之外还存在着不确定性，那么风险就由委托人全部承担。即风险仅影响委托人的行为，不影响代理人的行为。假设R(0)=0，并引入“自然”参与者0来表示风险。假设有10和20两种可能的产出。因为风险不影响代理人的行为，则若W(E)-EW(S)-S，则代理人会选择努力 “激励相容约束”若W(E)-E0则代理人会接受 “参与相容约束”因为存在风险，委托人要参与则其期望得益必须大于0.（iii）有不确定性且不可监督无法依照代理人的努力与否发工资，只能参照工作成果发工资。但是工作成果不仅仅取决于代理人的努力，还存在一定的风险。此时，激励相容约束变为：0.9W(20)-
8、E+0.1W(10)-E0.1W(20)-S+0.9W(10)-S而参与相容约束则变成：0.9W(20)-E+0.1W(10)-E0而对于委托人而言，必须满足以下不等式，他才会选择参与：0.920-W(20)+0.110-W(10)0在满足上述条件下，委托人最小化期望工资的指出，从而设计“薪酬制度”：可作为作业（iv）一个连续型选择的例子：假设代理人有正的机会成本而且努力的负效用是努力水平的单调递增的凸函数C=C(e)。代理人选择的努力水平e是连续的，产出是e的随机函数R=R(e)，由于具有不确定性且不能监督，则只能依据R支付报酬，w=w(R)=w(R(e)。于是，代理人得益为w-C=wR(e
9、)-C(e)委托人得益为R-w=R(e)-wR(e)根据逆向归纳的思路：参与相容约束为：wR(e)-C(e) 激励相容约束：委托人最满意的努力水平e*符合代理人的利益最大化，即wR(e*)-C(e*)= wR(e)-C(e) 任意e委托人在以上两个约束下选择工资方案最大化自己的收益。比如：R(e)=4e+，是均值为0的随机扰动项。 =1 C(e)=e2 wR(e)=A+BR(e)并且委托人、代理人风险中性则，委托人的收益为R(e)-wR(e)=4e+-A-B4e+期望得益为4(1-B)e-A 代理人的收益为wR(e)-C(e)= A+B4e+- e2期望得益为A+B4e- e2问题是：委托人如
10、何确定A和B来最大化自己的收益。参与相容约束为：A+B4e- e2=1激励相容约束为：e*=2B首先，委托人要尽量压低工资，但是最低必须满足参与相容约束，于是不等式取等号有：A+B4e- e2=1即A+B4e =1+e2将其带入委托人收益函数中，为4e- e2-1最大化一介条件可确定委托人满意的努力程度为e*=2，从而B=1，带入可求A=-3承包制第三节 有同时选择的动态博弈（完全但不完美信息）该类模型的一般描述：1、 参与者1、2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1、a2.2、 参与者3、4观察到第一阶段的结果，从各自的可行集A3和A4中选择行动a3、a43、 收益为ui（a1，a2，
11、a3，a4）i=1,2,3,4求解：逆向归纳法的思路为简化分析，我们假设对于第一阶段博弈的每一个可能的结果（a1,a2），第二阶段有唯一的NE，a3*（a1,a2）以及a4*（a1，a2）。当然，参与人1、2会预测到这一点，以选定最优策略a1*，a2*于是，以上博弈的子博弈完美纳什均衡为（a1*，a2*，a3*（a1*，a2*），a4*（a1*，a2*）例子：例1：银行挤兑模型不存在贴现提款不提提款r，rD，2r-D不提2r-D,D下一阶段RDrD/2提款不提提款R，R2R-D，D不提D,2R-DR，R逆向归纳的思路：提款不提提款r，rD，2r-D不提2r-D,DR，R例2：关税和国际市场的不
12、完全竞争博弈的顺序：（1） 政府同时选择关税税率t1和t2（2） 企业观察到关税税率后同时选择其提供国内消费和出口的产量（h1，e1）和（h2，e2）（3） 企业i的收益为利润，政府i的收益为本国总福利，包括本国消费者剩余、本国企业利润、以及政府从他国企业j所收取的关税。若i国市场上总供给为Qi，则市场价格为pi(Qi)=a-Qi；i国企业为国内市场生产hi并出口ei，于是Qi=hi+ej；企业的边际成本为常数c，于是总成本为Ci=c(hi+ei)；若政府j的关税税率为tj，则i国企业向j国出口ej，则必须支付ei*tj的关税。(最终的SPNE为什么是低效率的？)例3：工作竞赛（竞标赛制度）为
13、同一个老板工作的两个工人，工人i（i=1,2）的产出为yi=ei+i，其中ei为努力程度，i为随机扰动项。博弈顺序如下：（1） 工人同时选择非负的努力水平ei=0（2） 随机扰动项i相互独立并服从均值为0，密度函数为f（）的概率分布（3） 工人的努力程度不可观测，但是产出是可观测的老板为了激励员工，在他们中间开展工作竞赛，优胜者获得工资wH失败者获得工资wL。工人的效用为u(w,e)=w-g(e)，其中g(e)表示努力带来的负效用，g0,g”0老板收益为y1+y2- wH-wL解：逆向归纳法：（1）第二阶段：给定工资策略，工人选择努力水平最大化自己的期望得益：f.o.c “激励相容约束”（忽略
14、角解）因为工人的条件是对称，所以，从而于是“参与相容约束”可写做： （2）第一阶段：老板要设定工资水平，在满足以上两个条件的前提下，最大化自己的期望得益，于是“参与相容约束”变为： 于是，老板的期望利润可写成，因此，老板合意的努力程度是最大化其收益的，一阶条件为。求出e*，根据两个条件可求出W的方案。第四节 子博弈和SPNE的理论探讨定义：一个博弈的扩展型表述包括：（1）参与者（2a）每一参与者在何时行动（2b）每次轮到某一参与者行动时，可供其选择的行动（2c）每次轮到某一参与者行动时，他所了解的信息（3）参与者可能选择的每一行动组合对应的参与者的收益。定义：参与者的策略是关于行动的一个完整的
15、计划，即每一种可能情况下的可行的选择。参与人有4个策略：21L，LL,RR,LR,RL3,13,11,21,2R2,10,02,10,0定义：参与者的一个信息集指满足以下条件的节点的集合：（1） 在此信息集中的每一个节点都轮到该参与者行动（2） 当博弈论进行到信息集中的某一个节点，应该行动的参与者并不知道到达了哪个节点。定义：扩展型博弈的子博弈：（1） 始于单节信息集的决策节（2） 包含博弈树中该节点一下的所有决策节和终节点（3） 没有对任何信息集形成分割。定义：SPNE：如果参与者的策略在每一个子博弈中都构成纳什均衡，则称纳什均衡是子博弈完美的。定理：任何有限的完全信息动态博弈都存在子博弈完
16、美纳什均衡（也许是混合策略的）。证明思路：本身及其每个子博弈都可表示成扩展型。区分均衡和解：定义：两阶段完全且完美信息动态博弈中，逆向归纳解为(a1*,R2(a1*)，但其子博弈完美纳什均衡为(a1*,R2(a1)定义：前面完全非完美信息两阶段博弈中，子博弈完美解为(a1*,a2*,a3*( a1*,a2*),a4*( a1*,a2*)，但其子博弈完美纳什均衡为(a1*,a2*,a3*( a1,a2),a4*( a1,a2)求NE，逆推解以及SPNE扩展：颤抖手均衡顺推归纳法蜈蚣博弈第三章 重复博弈对某一博弈重复进行（不一定要静态的）：比如天天买菜，或者长期合作，所谓“老主顾”。两阶段重复博弈
17、： 参与者2参与者1L2R2L11,15,0R10,54,4逆向归纳法，将第二阶段唯一NE的得益“简单”加到第一阶段去，得第一阶段的博弈为:参与者2参与者1L2R2L12,26,1R11,65,5（L1，L2）是该重复博弈的唯一的NE，合作解（R1，R2）是无法实现的。定义：对给定阶段博弈G（解释一下什么是阶段博弈），令G(T)表示G重复T次的有限重复博弈，并且在下一次博弈开始前，所有以前进行的博弈都能被观测到。G(T)的收益为T次阶段博弈收益的简单相加。定理：如果阶段博弈G有唯一的NE，则对任意有限的T，重复博弈G(T)有唯一的子博弈完美纳什均衡：即G的NE在每阶段重复进行。这里阶段博弈G为
18、完全信息动态时，结论依然成立。若G是完全且完美信息动态博弈且只有唯一的逆向归纳解，则G(T)有唯一的子博弈完美纳什均衡，即每阶段其逆向归纳解重复进行。类似的，若G是上章中的完全不完美信息动态博弈，且有唯一的子博弈完美纳什均衡，则G(T)也有唯一的子博弈完美纳什均衡：G的子博弈完美纳什均衡重复进行T次。上述模型变形：（和前面很像，注意区别在于不是唯一的纳什均衡）G为L2M2R2L11,15,00，0M10,54,40,0R10,00,03,3触发策略：对参与人i，若第一阶段策略组合为（M1，M2）则第二阶段选择（R1,R2）；否则，在第二阶段选择（L1,L2）我们逆推回第一阶段，总得益为两次博弈
19、得益的简单相加：L2M2R2L12,26,11,1M11,67,71,1R11,11,14,4这说明，这样的“触发策略”是NE，同时，第二阶段选（R1,R2）是NE，于是该触发策略是该两阶段重复博弈的“子博弈完美纳什均衡”。当然，这个博弈不止一个SPNE。该例主要说明：对将来行动所作的可信的威胁或承诺可以影响到当前的行为。于是，“合作”即使不是NE，也可能出现在SPNE中。但是这里也说明子博弈完美对于“可置信”的要求并不严格。因为如果第一阶段没有出现合作，那么第二阶段（R1,R2）仍是可选择的纳什均衡，似乎一切都过去了，再选择（L1,L2）有点愚蠢。参与双方出现重新谈判似乎是很自然的事情，从而
20、两阶段之间出现了“交流”，若“重新谈判”允许，则应该考虑在分析中，若不允许，也可能出现在参与人对局势的分析中。L2M2R2P2Q2L11,15,00,00,00,0M10,54,40,00,00,0R10,00,03,30,00,0P10,00,00,04,1/20,0Q10,00,00,00,01/2,4不仅惩罚，还奖励了惩罚者。无限重复博弈在无限重复博弈中有一个更强的结论：即使阶段博弈只有唯一的NE，无限重复博弈中也可以存在子博弈完美纳什均衡，其中没一个阶段的结果是G的NE。参与者1参与者2L2R2L11,15,0R10,54,4定义 给定贴现因子（=1/(1+r)，r为利率），无限收益序
21、列1，2，3的现值为借助贴现因子，我们可以把无限重复博弈解释称为一个随机结束的有限重复博弈。（毕竟无限重复并不现实，可以想一想为什么需要随机结束？）假设博弈每一阶段结束的概率为p，继续博弈的概率为1-p，假设每阶段的收益为，则博弈进行前，期望收益为(1-p)/(1+r)，贴现率=(1-p)/(1+r)回到博弈：参与者i的触发策略：在第一阶段选择Ri，且在第t阶段，如果所有前面t-1阶段的结果都是（R1，R2），则选择Ri，否则选择Li。首先要证明如果足够接近1，该策略是无限重复博弈的纳什均衡，再证明这一纳什均衡是子博弈完美的。为了证明上述触发策略对博弈双方而言都是纳什均衡，我们假设参与者i已经
22、采取触发策略，可以证明在足够接近1的条件下，参与者j的最优反应也选择同样的策略。如果选择“不合作”，现值为如果选择“合作”，现值为当且仅当时，“合作”才是最优的。于是当=1/4时，采取触发策略是纳什均衡。接下来证明这一纳什均衡是子博弈完美的，这需要重新界定一下相关概念。定义 给定一个阶段博弈G，令G(,)表示相应的无限重复博弈。对于每个t，之前的t-1次阶段的博弈结果在t阶段开始之前都可被观测到，每个参与者在G(,)中的收益为无限次博弈中每一阶段得益的现值。定义 在重复博弈G(T)或无限重复博弈G(,)中，参与者的一个策略指在每一个阶段，针对其前面所有可能的结果，参与者会选择的行动。定义 在有
23、限重复博弈G(T)中，由第t+1阶段开始的一个子博弈为G进行T-t次的重复博弈，可表示为G(T-t)。在无限重复博弈G(,)中，由第t+1阶段开始的每个子博弈都等同于初始博弈G(,)。博弈G(,)到t阶段为止有多少不同的可能进行过程，就有多少从t阶段开始的子博弈。那么，G(,)中的子博弈分为2类：一是之前的结果都是（R1,R2）；二是至少有一个结果不是（R1,R2）从而可以证明无名氏定理（Freedman，1971）令G为一个有限的完全信息静态博弈，令（e1,en）表示G的一个NE下的收益，且（x1,xn）表示G的任意可行收益。如果对每个参与者i有xiei，且如果足够接近1，则无限重复博弈G(
24、,)存在一个子博弈完美纳什均衡其平均收益可以达到（x1,xn）。解释什么是可行收益，什么是平均收益例子：1、 双寡头古诺模型中的共谋市场总供给为：Q=q1+q2，市场价格为P(Q)=a-Q，假定Qa，企业边际成本为c，没有固定成本，同时选择产量。无限次重复，贴现率为。合作的触发策略及其条件：触发策略：在第一阶段生产垄断产量的一半；在第t阶段，若前面t-1阶段两个企业产量都为，则继续生产；否则，生产古诺均衡时的产量。根据前面的计算，我们可知：当双方都生产的时候，各获得利润。当双方都生产古诺产量时，各获得利润。若一方生产，另一方偏离约定，最大化当期利润的产量为，所能获得的利润为。要使得上述触发策略成为纳什均衡，必须满足以下条件：带入、计算可得。若0，偷懒以p的概率获得高产出，1-p的概率获得低产出0.收益：企业y-w，工人w-e，若工人偷懒，e=0，若出现低产量y=0.假定：y-ew0py阶段博弈的纳什均衡触发策略及其条件3、 货币政策的时间一致性问题阶段博弈：1、雇主选择一个通胀的预期e2、货币当局观测到这一预期，并选择真实通胀率。收益：雇主：-(-e)2 货币当局：U(,y)=-c2-(y-y*)2对收益函数作说明：y=by*+d(-e)阶段博弈的SPNE：触发策略：
