1、242 与圆有关的位置关系教材详解及典例分析24.2 与圆有关的位置关系【重点难点点拨】重点：（1）用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。（2）用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系（3）切线的识别方法及性质的运用（4）切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。（5）用数量关系识别圆与圆的位置关系。难点与关键：（1）运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。（2）用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系（3）切线识别方法的理解及实际运用（4）三角形的内心及其半径的确定。（5）用数量关系识别圆与圆的位
2、置关系。【规律方法指津】 1、在求解等腰三角形外接圆半径时，我们往往需要运用方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。2、当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。3、识别一条直线是圆的切线，有三种方法： (1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线， 说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某
3、一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可。4、“有切线，连半径，得垂直”，这是已知圆的切线时常用的技巧之一。5、因为三角形的内心是三角形三内角角平分线的交点，故在计算与证明中，有内心时，我们常连接内心与顶点，以便利用角平分线的性质。6、判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时，两圆内含。7、两圆相交时，最常作的辅助线是连接两圆的交点，即作公共弦，利用公共弦，把两圆中的条件联系在一起做题。【知识详细解读】1
4、、点和圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的数量关系决定的，一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：drP在圆外注意：已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，反过来，由点的位置也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系。2、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。注意：（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽略，因为过共线的三点不能作圆。（2）“确定”一词是指不仅能作出圆，而且只能作一个圆，即“有且只有”。3、三角形的外接圆经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外
5、接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。注意：（1）“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点（或三角形各顶点都在圆上）。而“内”、“外”是相对位置关系，是以一个图形为准，说明另一个图形在它的里面或外面。如“圆的内接三角形”是以圆为准，说明三角形在它的里面。（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。只要三角形确定，那么它的外心与外接圆的半径就确定了。4、直线与圆的位置关系的特征与识别5、切线经过半径的外端并且垂直
6、于这条半径的直线是圆的切线。注意：定义中有两个已知条件，即直线一要经过半径的外端，二要和这条半径垂直，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。6、切线的识别方法直线与圆只有唯一一个公共点，直线和圆相切；当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。注意：实际上是的另一种说法，但我们在做题时，往往连结圆心和圆上的一点，证明这条半径垂直于经过切点的这条切线即可。7、切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。注意：切线长定理体现了圆的本质特征-轴对称性，它为识别线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理
7、论依据。8、三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。注意：一个三角形又且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形，三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，三角形内心到三边的距离相等。9、圆和圆的位置关系（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另
8、一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5）。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3）注意：（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。（2）两圆外切和内切
9、统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。10、两圆位置关系的数量特征设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。【典型例题感悟】 例1、OA平分BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是（ ）（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不确定分析：因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离解：A例2、ABC的三边长分别为a、b、c，它的内
10、切圆的半径为r，则ABC的面积为（ ）（A）（abc）r （B）2（abc）（C）（abc）r （D）（abc）r分析：连结内心与三个顶点，则ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以ABC的面积为arbrcr（abc）r解：A例3、如图24.2-1，点I为ABC的内心，点O为ABC的外心，O140，则I为（ ）（A）140 （B）125 （C）130 （D）110分析：因点O为ABC的外心，则BOC、A分别是所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A14070又因为I为ABC的内心，所以I90A9070125解：B点拨：本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念注意三角形的内心与两顶点组成的
11、角与另一角的关系式例4、如图24.2-2，在ABC中，ABAC，C72，O过A、B两点，且与BC切于点B，与AC交于D，连结BD，若BC1，则AC_分析：在ABC中，ABAC，则 ABCACB72， BAC36又 BC切O于B， ADBC36 BDC72 ABD723636 ADBDBC易证CBDCAB， BC 2CDCA ADBDBC， CDACADACBC BC2（ACBC）CA解关于AC的方程，得ACBC AC（1）2解：2金钥匙：本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质注意底角为72的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为，即成黄金比例5、如图24.2-
12、3，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径长为6 cm，PO10 cm，则PDE的周长是_分析：连结OA，则OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切线长定理，得EAEC，CDBD，PAPB， PDE的周长为PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）解：16 cm金钥匙：本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换例6、已知：如图24.2-4，O1与O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交O1、O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交O1于点E，连BE（1）求证：BE是O
13、2的切线；（2）如图24.2-5，若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和O2的位置关系（不要求证明）分析：（1）过B作O2的直径BH，连结AB、AH，证EBH90（2）用类似的方法去探求证明：（1）连结AB，作O2的直径BH，连结AH则 ABHH90，HADB，EBAECA 图24.2-4 ECBD， ADBACEEBA EBAABH90即 EBH90 BE是O2的切线（2）同理可知，BE仍是O2的切线 图24.2-5金钥匙：证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径），再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无90的角，故作直径构造90的角，再进行角的转换同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题例7、已知A、B相切，圆心距为10 cm，其中A的半径为4 cm，求B的半径。分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以B的半径就有两种情况。解：设B的半径为R（1） 如果两圆外切，那么d104R，R6（2） 如果两圆内切，那么dR410，R6（舍去），R14所以B的半径为6 cm或14 cm金钥匙：本题要注意分类讨论，不要漏解。
