1、受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示：由+,得 由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： =这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而
2、且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式.自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。一、 设：S=12+22+32+n2另设：S1=12+22+32+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+（n+n）2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想.有了此步设题，第一：S1=12+22
3、+32+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+（n+n）2中的12+22+32+n2=S，（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+（n+n）2可以展开为（n2+2n+12）+（ n2+22n+22） +（ n2+23n+32）+（ n2+2nn+n2）=n3+2n（1+2+3+n）+ 12+22+32+n2,即S1=2S+n3+2n（1+2+3+n）.。（1）第二：S1=12+22+32+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+（n+n）2可以写为：S1=12+32+52+ （2n1）2+22+42+62+（2n）2，其中：22+42+62+（2n）2=22（12+22+3
4、2+n2）=4S。.（2）12+32+52+（2n-1）2=（211）2+（22-1）2+（23-1） 2+ （2n-1） 2= （2212-221+1） +（222222+1）2+（2232-23+1）2+ （22n2-2n+1）2=2212+2222+2232+22n221-22-23-2n+n（12+22+32+n2）-22 （1+2+3+n）+n=4S-4（1+2+3+n）+n。.（3）由（2）+ （3）得：S1=8S-4（1+2+3+n）+n。（4）由（1）与（4）得：2S+ n3+2n（1+2+3+n） =8S-4（1+2+3+n）+n即：6S= n3+2n（1+2+3+n）+ 4
5、（1+2+3+n）-n = nn2+n（1+n）+2（1+n）-1 = n（2n2+3n+1） = n（n+1）（2n+1） S= n（n+1）（2n+1）/ 6亦即：S=12+22+32+n2= n（n+1）（2n+1）/6（5）以上可得各自然数平方和公式为n（n+1）（2n+1）/6，其中n为最后一位自然数.由（5）代入（2）得自然数偶数平方和公式为2n（n+1）（2n+1）/3，其中2n为最后一位自然数。由（5）代入（3）得自然数奇数平方和公式为n（2n-1）（2n+1）/3，其中2n-1为最后一位自然数。二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+n3.（1）有S
6、=n3+（n1）3+（n-2）3+13。.（2）由（1）+ （2）得:2S=n3+13+（n1）3+23+（n2）3+33+n3+13=（n+1）（n2n+1）+ （n+1）（n-1）22（n1）+22） + （n+1）（n2）23（n-2）+32） 。 .（n+1）（12n（n-n+1）（nn+1+ n2）即2S=（ n+1）2（12+22+32+n2）n2（n1） 3（n-2）-n （nn+1） 。由12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）/ 6代入（2）得：2S=（n+1）2n（n+ 1）（2n+1）/6-n2n3n-nn+21+32+n（n1） =（n+1）2n（n+1）（2n
7、+1）/6n（1+2+3+n）+（1+1）1+（2+1）2+（n1+1）（n-1） =（n+1）2n（n+1）（2n+1）/6-n2 （1+n）/2+12+1+22+2+（n-1）2+ （n1） =（n+1）2n（n+1）（2n+1）/6-n2（1+n）/2+12+22+（n1）2+1 +2+ （n1） 。由12+22+（n1）2= n（n+1）（2n+1）/6n 2，1+2+（n-1）=n（n1）/2代入（4）得: 2S=（n+1）3n（n+1）（2n+1）/6n2+n（n1）/2 =n2（n+1）2/2即S=13+23+33+n3= n2（n+1）2/4结论：自然数的立方和公式为n2（n+
8、1）2/4，其中n为自然数。三、自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+（2n）3有S=23（13+23+33+n3）=8n2（n+1）2/4=2n2（n+1） 2结论:自然数偶数的立方和公式为2n2（n+1）2，其中2n为最后一位自然偶数.四、自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+（2n） 3由自然数的立方和公式为n2（n+1）2/4,其中n为自然数代入左边有n2（2n+1）2=23+43+63+（2n） 3+13+33+53+（2n1）3 =2n2（n+1）2+13+33+53+（2n1）3移项得：13+33+53+（2n1）3 =n2（2n+1）2-2n2（n+1）2
9、=n2（2n2-1）自然数奇数的立方和公式为n2（2n2-1），其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。自然数平方和公式的推导与证明（二）这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。12+22+32+42+.。.。n2=？ （n2表示nnn2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+n=（1+n）n/2 2+3+4+n=（2+n）（n1）/2 3+4+n=（3+n）（n-2）/2 . （i+1）+n=（n+i+1）（n-i）/2 （i=0,n1） S = （2n3+3*n2+n2S）/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 +
10、4x5 +.。.+ nx（n+1）=1/3xn（n+1）（n+2）（数学归纳法易证，而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx（n+1）=（1x1 + 2x2 + .。 nxn）+（1+2+。+n）于是1x1 + 2x2 + . + nxn=1/3xn（n+1）（n+2）-1/2xn（n+1）=1/6xn（n+1）（2n+1）3、二项式推导：23=13+3*12+3*1+133=23+322+32+143=33+3*32+33+1.。.（n+1）3=n3+3n2+3n+1sum up both sides substract common terms：（n+1）3=3b+
11、3（n+1）n/2+n+1= solve for bb=12+22+.。+n2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法12+22+32+n2=n（n+1）（2n+1）/6 当n=1时，显然成立. 设n=k时也成立,即:12+22+32+k2=k（k+1）（2k+1）/6 那么当n=k+1时,等式的左边等于:12+22+32+k2+（k+1）2 =k（k+1）（2k+1）/6+（k+1）2 =（k+1）k（2k+1）/6+（k+1） =（k+1）2k2+k+6k+6/6 =（k+1）（k+2）（2k+3）/6 而等式的右
12、边等于:（当n=k+1时） （k+1）（k+1+1）（2k+2+1）/6 即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边 所以对于一切n,等式都成立 此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12223242。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=11=1、22=22=22、32=33=333、42=44=4444，则12223242=1223334444。把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。（其实学生如果
13、会算自然数n项和,下面的说明就可省了,不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60得到图2，另一个顺时针旋转60得到图3。先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看,第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=241。而10=1234=（14）42。图5中所有数的和应是图1中所 有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9103=（241）（14）23=4 （14）（21/6.即12223242=41/6。观察这个算式,用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：12223242n2=n （1n）n1）1/6这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。
