1、很显然，按照我们对自然数的界定，1是自然数，1.1不是自然数。原因就是鱼的条数是天然单位，确定起来容易，没什么可争议的。但1.1公斤是鱼的重量，如果拿更精确的秤来称，可能是1.11公斤呢？可见自然与否，还是显然易见的。那哪个数是第一个自然数呢？这是一个存在争议的问题。在数论专家看来，1是第一个自然数。而在集合论研究者看来，0才是第一个自然数。那么中小学老师该听谁的呢？听教育部的。专家说的都是浮云，只有教育部制定的课程标准才是最硬的。而从数学史的角度来说，人们认识1远比认识0要早。在所有自然数中，即便1当不了领头羊，它也有着自己的独特魅力。那就是1还可以升级为抽象意义中的单位1。森林里有很多树。
2、当我们说“一棵树”时，就是将一棵树看作是1个单位。当我们说“一片树林”时，就是将一片树林看作是1个单位。1就好像是孙悟空的金箍棒，可变大也可缩小，看你怎么用着方便就好。下面这个故事中的小学生就把单位1的思想用到了极致。古时候，一位国王问身边的大臣：“王宫前面的水池里共有几杯水?”大臣回禀：“这种问题只要问一个小学生就能得到正确的答复。于是一个小学生被召来了。“王宫前面的水池里面共有几杯水?”国王问他。“要看是怎样的杯子，”小学生不假思索地应声而答，“如果杯子和水池一般大，那就是一杯，如果杯子只有水池的一半大，那就是两杯，如果杯子只有水池的三分之一大。那就是三杯。如果”“你说得完全对!”国王说着
3、，奖赏了小学生。池子里的水当然可以看作是1个单位，至于找不找得到承载“这1个单位”的水的容器，那是另外一回事了。还有一个小气鬼做帽子的故事也很有意思。有个小气鬼拿了一块布去请一个裁缝做一顶帽子。他问布够不够？裁缝量了布之后说：布够了。但是，这个小气鬼疑心裁缝要赚他的布。于是，他就问这块布够不够做两顶帽子？裁缝看透了他的心思，就回答说：够做。小气鬼还不罢休，又问够不够做三顶帽子？他添上一顶又一顶，直到五顶，裁缝总说能够做。就这样，他们谈妥了，这块布做五顶帽子。等到约定取帽子的那一天，小气鬼到了裁缝店。他看到裁缝拿出做好的五顶帽子，小得只能套在手指头上。小气鬼发现自己上了当，于是就到桑丘总督那里告
4、裁缝的状。在法庭上，原告小气鬼坚持要裁缝赔他的布，而被告裁缝却坚持要小气鬼付工钱。桑丘总督听了两人的话之后，作了这样的判决：裁缝不准要工钱，小气鬼也不准要布；做好的帽子充公，送到牢里给囚犯用。那么裁缝与小气鬼的争吵，究竟是因为什么而引起的呢？其实就是对单位1的看法不同。裁缝认为只要每顶帽子的基本部件齐全，就是一顶合格的帽子，小一点就小一点。一个单位1分解之后，可以得到很多个单位1。而小气鬼也是自作自受，只讲数量，也没指定一定要符合自己头的大小尺寸。单位1就像孙悟空的毫毛一样，一根毫毛可以变出很多东西来。单位1在小学数学解题中很有作用，在奥数题中的作用更是让人吃惊。下面两道小学奥数题，我原以为都
5、是要列三元一次方程才能解决的，结果单位1出马，轻松搞定！例1：张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的3/5，王用了自己钱数的3/4，李用了自己钱数的2/3，各买了一支相同的钢笔。张和李两人剩下的钱共有多少元?解法1：设张、王、李各有x、y、z元，列方程:x+y+z=54，3/5x=3/4y=2/3z，则x=10/9z，y=8/9z，z=18；所以（1-3/5） x+（1-2/3）z=7/9z=14。解法2：设钢笔价格为单位1，则张有5/3，王有4/3，李有3/2，这样钢笔价格是54（5/3+4/3+3/2）=12元。张剩下12（5/3-1）=8，李剩下12（3/2-1）=6，所以张和李共剩
6、下8+6=14元。例2：甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品。如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的2/13；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的9/16；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的1/3。问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？设甲乙丙各带x，y，z元,列方程:x-100=2/13（y+z）y-100=9/16（x+z）z-90=1/3（x+y）解得：x=200，y=370，z=280。将总钱数少100看做单位“1”。甲剩下的钱占“2/15”,乙剩下的钱占“9/25”,那么丙全部的钱加100元占整体的1-2/
7、15-9/25=38/75，这样丙花90元，是“38/75”少190元。此时剩下的钱是丙的4倍，是“152/75”少760元。而这个数目应当是“1”多10元。因此“1”是（760+10）（152/75-1）=750元。甲带钱7502/15+100=200；乙带钱7509/25+100=370；丙带钱75038/75-100=280。所以说，当你看到一个小学奥数题，切莫轻易下判断，这要用中学的知识才能解，更不着大声批判：奥数题就是拿高年级的题为难低年级的学生。我在“提前学”还是“温故知新”一文中说过：当我们遇到一个问题解答不了，我们应该反思：是数学知识储备还不够，还是知识储备够了，只是我们没有灵
8、活地运用？如果是知识储备不够，那么我们就应该去多学一点；如果是没有灵活运用已有知识，那么我们就应该多思考，“温故”也是“知新”的一条途径。下面是天龙八部中一段，很让人受启发。枯荣大师道：“本因，咱们练功习艺，所为何来？本因没料到师叔竟会如此询问，微微一愕，答道：“为的是弘法护国。“外魔来时，若是吾等道浅，难用佛法点化，非得出手降魔不可，该用何种功夫？本因道：“若不得已而出手，当用一阳指。枯荣大师部道：“你在一阳指上的修为，已到了第几品境界？本因额头出汗，答道：“弟子根钝，又兼未能精进，只修得到第四品。枯荣大师再问：“以你所见，大理段氏的一阳指与少林牛花指、多罗叶指、无相劫指三项指法相较，孰优孰
9、劣？“指法无优劣，功力有高下。”枯荣大师道：“不错。咱们的一阳指若能练到第一品，那便如何？“渊深难测，弟子不敢妄说。枯荣道：“倘若你再活一百风，能练到第几品？本因额上汗水涔涔而下，颤声道：“弟子不知。“能修到第一品么？“决计不能。枯荣大师就此不再说话。“师叔指点甚是，咱们自己的一阳指尚自修习不得周全，要旁人的武学奇经作甚？明王远来辛苦，待敝寺设斋接风。”这么说，自是拒绝大轮明王的所求了。彭翕成 pxc417 武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079部分网友回帖：小马过河 此前从没有收藏过个人的博客，彭老师的我收藏了，这才叫传播数学。我儿子快三年级，很喜欢数学。虽然只能懂很少
10、的一部分，但也会很受用的。我想他一定会喜欢彭老师的文章的。路亨老师 很好很多五年级学生在刚接触分数时，并不清楚单位1有什么样神奇的效用，所以很多学生会觉得工程问题难，会觉得分数应用题不知所云。其实，如果能明白单位1是一个整体，它可大可小，那么，把题目条件多读几遍，选择出合适的单位1，无论是工程，还是牛吃草，还是部分与比例相关的应用题，其实都是很好理解的大嘴 讲的很透！好贴！曹文雯我观武侠受我父影响，独尊金庸。盖以金庸所写，不仅武，不仅侠。能令人有所悟。话说我们小时候单位“1”是要求加引号的，或者，“1”就表示单位“1”之类的。那时看学校发的数学报纸，亦有谈论“1”的妙用的。与此文相比，实例多些
11、，但不免有就题论题之感。观彭老多篇文章，皆旁证博引，除数学外，亦令人有所悟。得见大师文章，吾辈之幸。xmgao非常有意思！我以为大师的文章我只能顶膜相拜，原来也深入浅出。功力啊再谈单位“1”（2011-05-22 15:21:46） 单位1数学科普趣味数学数学思想小学数学解题 数学随笔 桌上有什么？1个苹果。再放1个上去呢？那就是2个苹果。可不可以将两个苹果合二为一，看作是一个整体呢？这不太合适吧！如果用一个盘子把两个苹果装起来呢？那就行了，可称之为一盘苹果。可问题是没有盘子啊？哎，什么时候你才能达到“手中无盘，心中有盘”的境界！有人曾建议，将单位“1”用整体“1”来代替。理由是小学生在学习时
12、，觉得“一个苹果可看作是单位“1”，怎么两个苹果还可以看作是单位“1”啊，难以理解。这位老师的提议也不是没有道理。从1个单位发展成为单位“1”，是从具体到抽象，使得1异常简单的数字包罗万象，从此它不仅仅代表一个物品或是一个计量单位，它还表示由一些物品组成的整体。这一新观点的产生，可认为是人们认识上的一大飞跃。小学生出现理解上的偏差，是完全可以理解的。单位“1”中的“1”具有双重身份。在计算过程中, 它与自然数1一样计算, 但在概念上, 它们有着本质的区别。单位“1”中的“1”在分数中表示分率, 在百分数中表示百分之百,为区别自然数1,我们通常将单位“1”中的“1”加上了双引号。“苹果比香蕉多5
13、斤”，可以等价转化为“香蕉比苹果少5斤。”但“苹果比香蕉多1/2”与“香蕉比苹果少1/2”则不能简单地换算。假设香蕉是10斤，按前一句话，苹果应该是15斤；按后一句话，苹果应该是20斤。怎么回事呢？就是看似同样的1/2，其基准不一样，也就是所取单位“1”有区别。前者是以苹果为单位“1”，后者则是以香蕉为单位“1”。与此相关的，有一个非常经典的数学问题。水结成冰后，体积增加了原来的1/11，冰化成水后，体积减少了几分之几？水结成冰时，体积增加了原来的1/11，即11单位体积水变成12单位体积冰。反过来，冰化成水后，12单位体积冰变成11单位体积水，所以它的体积减少了冰的（12-11）/12=1/
14、12。单位“1”在小学阶段非常重要，原因之一就是，它是构建分数概念的前提。什么是分数？把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。大家平时对“平均分”强调较多，对单位“1”则有所忽视。可你要知道，脱离单位“1”的分数只是一堆没有意义的符号。什么是1/2，其实指的是单位“1”的1/2，单纯地提1/2是没有意义的。单位“1”的思想在解题中实在太有用了。略举两则数学趣题。顺水逆水小刚沿某公路步行上学，沿途发现每隔9分钟有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟遇到一辆迎面而来的公共汽车，若汽车发车的间隔相同，汽车的速度也相同，公共汽车发车的间隔是多少分钟？解：每两辆公共汽车之间的距离相等
15、，设该距离为单位“1”。由每隔9分钟后面超越，可知车与人速度差为每分钟1/9。由每隔7分钟迎面遇上，可知车与人速度和为每分钟1/7。（1/9+1/7）2=8/63，即为车的速度。那么单位“1”的距离，两车之间间隔时间为1（8/63）=63/8分钟。 船在水中行走，分顺水和逆水两种情况。此题与之相似，只不过条件隐藏更深。三车追赶客车在前，货车在中，小车在后。在某一时刻，客车与货车、货车与轿车的距离相等。从这一刻起，10分钟后小车追上货车，又过5分钟，小车又追上客车，再过多少分钟后货车通追上客车。假设当时每车之间的距离是单位“1”，可知：小车速度-货车速度=1/10，小车速度-客车速度=2/（10+5），那么货车速度-客车速度=2/15-1/10=1/30,货车总共需要30分钟追上客车。30-10-5=15分钟，所以再过15分钟后货车追上客车。
