1、材料科学基础习题目录第一章要求一 第一章第一节 第一章第二节 第一章第三节 第一章第四节第二章要求第二章第一次 第二章第二次 第二章第三次 第二章第四次第三章要求第三章第一次 第三章第二次 第三章第三次 第三章第四次 第三章第五次 第三章第六次注意第七章要求第七章第一次 第七章第二次 第七章第三次第八章要求第八章第一次 第八章第二次第四章要求第四章第一次 第四章第二次 第四章第三次第五章要求第五章第一次 第五章第二次 第五章第三次 第五章第四次 第五章第五次 第五章第六次 第五章第七次第六章要求第六章第一次，2，3，4，5，6，7第八章习题参考答案第四章习题参考答案第五章习题参考答案第四章1
2、要求掌握的基本概念：稳态扩散和非稳态扩散；扩散系数、激活能；扩散第一定律、扩散第二定律；交互机制、间隙机制、空位机制；2 理解固体中的扩散现象及其与原子运动的关系，掌握扩散第一定律和第二定律适用的场合及其对相应的扩散过程进行分析的方法。掌握几种重要的扩散机制适用的对象，掌握柯肯达尔效应的意义。掌握温度和晶体结构对扩散的影响。第五章1 掌握相律的描述和计算，及其对相平衡的解释；2掌握二元合金中匀晶、共晶、包晶、共析、二次相析出等转变的图形、反应式；3 掌握二元典型合金的平衡结晶过程分析、冷却曲线；4 掌握二元合金中匀晶、共晶、共析、二次相析出的平衡相和平衡组织名称、相对量的计算；5 掌握铁渗碳体
3、相图，典型合金的平衡冷却曲线分析、反应式、平衡相计算、平衡组织计算、组织示意图绘制；6 掌握三元合金的相平衡分析、冷却曲线分析。第六章1 掌握液体结构的描述及其与固体结构的差异；2 掌握凝固的基本过程和基本条件；3 了解均匀形核过程的热力学分析、临界晶核半径概念、临界形核功概念；4 掌握影响凝固过程的因素的分析，及其对凝固后固体形貌和晶粒大小的影响；5 掌握固溶体在不平衡结晶过程中溶质原子在液相和固相中的分布的定量和定性的描述；6了解成分过冷的概念及其对晶粒形貌的影响。第一章（一）内容及习题引言金属由于其性能的多样性，而被人们广泛的应用。金属的性能由其成分、结构所决定。成分、结构、性能之间的关
4、系，以及它们的变化规律，构成了本课程的基础。金属（或非金属）在固态通常是晶体，故金属的结构通常被称为金属的晶体结构。第一章介绍的是学习和研究晶体结构所需要掌握的一些基本知识晶体学基础。本节课要求1 要求掌握“晶体与非晶体、晶体结构与空间点阵、晶胞与原胞、晶系、布拉菲点阵、点阵常数”概念，理解布拉菲点阵的唯一性。2 看完第一节，并完成习题13。习题1描述晶体与非晶体的区别，从结构、性能等方面。2何谓空间点阵，简述晶体结构与空间点阵的区别。3 对于图1-4（n）的面心立方点阵，如果在该点阵的上下两个底面的面中心各添加一个阵点，请问，新的结构是属于14种空间点阵的哪一种。（返回目录）第一章（二）内容
5、及习题引言晶体的特征在于构成晶体的原子的排列呈现三维周期结构。在材料中，金属与陶瓷通常是晶体，即使高分子或生物材料也有相应的晶体状态。所以，对材料学家来说，了解和掌握晶体结构的基本概念是十分重要的。19世纪出现了布拉菲的空间点阵学说，当时它仅是一个合理的猜想，其正确性到1912年才被劳厄等人的X射线衍射实验所证实。以后，大量的研究探明了成千上万的晶体结构，肯定了晶体的周期性质。现在用高分辩电子显微镜和扫描隧道显微镜等已能直接显示原子的周期排列图像。空间点阵体现了晶体的平移对称性，即：点阵经平移后，可以获得完全的重复。晶胞是构成空间点阵的较小体积单元，通常为一个小的平行六面体。晶胞全面反映了点阵
6、（晶体结构）的平移对称性或周期性。如果知道了晶胞的大小和形状，并且知道了晶胞内各阵点的坐标，也就确定了晶体结构。在研究晶体结构时，并不需要了解晶胞（或晶体）内各阵点的坐标，只需要了解阵点之间的相对位置，即阵点之间的几何关系，晶面指数和晶向指数就反映了点阵中阵点之间的几何关系。本节课要求1 掌握晶面指数、晶向指数的概念及其确定，掌握晶面与晶向平行或垂直，理解晶面族，晶向族。2 看完第二节，并完成习题46。习题4在简单立方晶系中，（1）作图表示下述的晶面和晶向；（2）判断其中哪些晶面与晶向是垂直的，哪些是平行的，并指出垂直或平行的条件。5 请写出简单立方晶系中111的等价晶面，的等价晶向。并在图中
7、画出。6 试在六方晶系的晶胞上画出晶面、和晶向。第一章第三节内容及习题引言在研究晶体结构时，并不需要了解晶胞（或晶体）内各阵点的坐标，只需要了解阵点之间的相对位置，即阵点之间的几何关系，晶面指数和晶向指数就反映了点阵中阵点之间的几何关系。晶面指数表示的是一组平行的晶面，每个晶面的原子（阵点）排列情况都是相同的，晶面与晶面之间的距离都为d，称为晶面间距。晶向指数表示的是一组平行的方向。在对六方晶系的晶面、晶向指数进行操作时，要注意：若已知指数要求作图，则先要将四指数换算成三指数，再以三指数进行作图；若由图求指数，则先要在图中读出三指数，然后再换算成四指数。绝大多数金属具有简单的结构，用A1（面心
8、立方）、A2（体心立方）和A3（密排六方）结构。若将原子或点阵看成是硬的小球，则可以用硬球的堆积来反映相应的结构。本节课要求1 掌握面心立方、体心立方、密排六方晶胞结构，掌握原子数、配位数、紧密系数、间隙的概念，理解和定性分析间隙种类，间隙大小（定性），间隙位置2学习第三节，并完成习题78。习题4在简单立方晶系中，（1）作图表示下述的晶面和晶向；（2）判断其中哪些晶面与晶向是垂直的，哪些是平行的，并指出垂直或平行的条件。5 请写出简单立方晶系中111的等价晶面，的等价晶向。并在图中画出。6 试在六方晶系的晶胞上画出晶面、和晶向。7、分别对面心立方A1和体心立方A2的（100）、（110）、（1
9、11）面，请问：（1） 计算上述晶面的紧密系数，指出最紧密排列的晶面（注：面的紧密系数晶面中实占的原子面积 / 晶面面积）。（2） 画出上述晶面的原子排列方式。8、分别对面心立方A1和体心立方A2的100、110、111晶向，请计算上述晶向中相邻两个阵点之间的距离（若点阵常数为a），指出最紧密排列的晶向。（返回目录）第一章第四节内容及习题引言绝大多数金属具有简单的结构，用A1（面心立方）、A2（体心立方）和A3（密排六方）表示。若将原子或点阵看成是硬的小球，则可以用硬球的堆积来反映晶体的结构。如：面心立方，就可以看成是由（100）晶面顺序堆积而成的，也可以看成是由（110）晶面或（111）晶面
10、顺序堆积而成的。同样，其它的结构也都可以看出是由某一晶面顺序堆积而成的。由此，可以了解和分析晶体的结构本节课要求1 掌握面心立方和密排六方的堆垛方式，及其它们之间的差异；理解堆垛层错的概念。2 学习第四节，并完成习题9、10、11。习题9、铁有两种结构，分别为体心立方A2（称为Fe或铁素体）和面心立方A1（称为Fe或奥氏体），铁的原子半径分别为0.127nm，问：（1）哪种结构更致密。（2）两种结构中，四面体间隙和八面体间隙中可以容纳的原子的最大半径是多少？（3）碳原子的半径为0.077nm，当碳原子进入上述结构的间隙时，铁的结构会发生怎样的变化？10 由表13可见，A1（面心立方）和A3（密
11、排六方）结构具有相同的紧密系数，为0.7404。数学家曾经证明，若将相同直径的硬球，在空间进行堆积，其最大的紧密系数就是0.7404。所以，A1和A3结构都是最紧密堆积的结构。问题（1）请指出A1和A3堆积结构的差异。（提示：请先分析A1以（111）晶面进行的堆积，A3以（0001）晶面进行的堆积，再讨论两者之间的差异。）问题（2）请指出，A1结构经过怎样的变化，可以变成A3结构。11 铜为面心立方结构，X射线衍射测定a=0.3615nm，（1）按刚球密堆模型计算最近邻原子中心距离是多少？以任一原子为中心，这样距离的原子数目是多少？（2）原子密排面和密排方向是什么？（3）原子密排面hkl和密排
12、方向组成的hkl（注意：uvw须位于(hkl)面上）共有多少组？（返回目录）第一章要求掌握的内容第一节 晶体与非晶体，晶体结构与空间点阵，晶胞与原胞，晶系，布拉菲点阵，点阵常数。第二节 晶面指数、晶向指数的确定，晶面族，晶向族，晶带轴，晶面与晶向平行或垂直。第三节 面心立方、体心立方、密排六方晶胞结构，原子数，配位数，紧密系数，间隙种类，间隙大小（定性），间隙位置，第四节 面心立方和密排六方的堆垛方式，堆垛层错（返回目录）第二章主要内容第二节 波尔理论和波动力学理论对原子核外电子的运动轨道的描述。波粒两相性的基本方程。第三节 五种结合键的特点第四节 结合键与晶体结构第五节 合金，合金系，合金相
13、结构分类第六节 影响相结构因素，第七节 固溶体，置换固溶体，间隙固溶体，有限固溶体，无限固溶体，有序固溶体，无序固溶体，端部固溶体，中间固溶体第八节 离子化合物的结构类型和特点第九节 硅酸盐结构的一般特点（返回目录）第二章第一次内容及习题提示 我们可以从不同的学科侧面来观察材料的结构问题。在第一章中，从晶体学的侧面分析了材料的结构，也就是分析了原子的排列（或堆垛）方式、及其规律性。在分析的过程中，不涉及到单个原子的种类和性质。实际上，原子的排列（或堆垛）是依赖于原子之间的键合而实现的，而不同的键合方式是由原子的核外电子分布及其性质所决定的。这是从化学的侧面来分析材料的结构，也是第二章的内容。本
14、节课的要求1 掌握波尔理论和波动力学理论对原子核外电子的运动轨道的描述。掌握波粒两相性的基本方程。掌握离子键、共价键、金属键、分子键和氢键的概念，理解结合键与电子分布的关系，理解形成离子键、共价键、金属键、分子键和氢键时键合作用力的来源2学习完第二章的第一、二、三节，完成习题13。习题1 简述波尔理论和波动力学理论分别是如何描述原子核外电子的运动轨道。2 粒子具有波粒二象性，请计算下列粒子的波长。A， 质量为20g，速度为1000m/s的子弹；B， 质量为10-15kg，速度为0.01m/s的尘埃；C， 质量为9.110-31kg，速度为106m/s的电子。3 何谓结合键；简述离子键、共价键、
15、金属键、分子键和氢键与电子分布的关系；指出形成离子键、共价键、金属键、分子键和氢键时键合作用力的来源。 （返回目录）第二章第二次内容及习题提示 原子的排列（或堆垛）是依赖于原子之间的键合而实现的，不同的键合方式是由原子的核外电子分布及其性质所决定的。 一个自由、孤立的原子，其电子的实际分布区域是从靠近原子核起一直分布到无限远。由于电子的能级是确定的，根据测不准，其位置是在空间中散布的。通常以电子出现大几率的区域范围作为原子的半径。 电子的具体分布遵循如下原则：泡利不相容原理、能量最低原理、洪德定则。对于多电子的原子，它的化学键中真正起作用的是外壳层电子。但是，过渡、稀土与锕系元素的内壳电子也可
16、能起作用。本节课的要求1 掌握结合键与晶体结构的关系，掌握合金、合金系、合金相结构的概念，掌握固溶体、化合物的概念和结构特点。2学习完第二章的第三、四、五节，完成习题46。习题4 举例说明元素的结构特性是依赖于结合键的，并由此而影响了其性质。（如：石墨的层片状结构是由于碳以共价键结合形成层，层与层以分子键结合，其性质表现为层与层之间易滑移。）指出下述元素的结合键类型和结构类型：铝、硅、砷、碘、-Fe、镁。5 何谓合金，简述合金与纯金属的区别。何谓相、单相合金、多相合金。6 合金相可以分成哪两类。何谓固溶体，何谓化合物。从晶体结构上讲，纯金属、固溶体、化合物之间有何区别。（返回目录）第二章第三次
17、内容及习题提示金属从结构的角度可以分为纯金属、固溶体和化合物。其中，纯金属由一个组元组成，固溶体和化合物由二个或二个以上的组元组成。固溶体的结构与一个组元（溶剂）的结构相同，化合物的结构与组元的结构都不相同。若固溶体的溶剂为化合物，则这类固溶体称为第二类固溶体，也称为中间固溶体，它的本质是化合物。本节课的要求1掌握影响相结构因素，掌握原子半径、负电性、价电子浓度的概念，掌握置换固溶体、间隙固溶体、有限固溶体、无限固溶体、有序固溶体、无序固溶体、端部固溶体、中间固溶体的概念，理解不同固溶体的结构差异。2学习完第二章的第六、七节，完成习题710，课后完成习题11。习题7请问影响合金相结构的因素主要
18、有哪几个。8何谓原子半径、负电性和价电子浓度。9固溶体可以分成哪几类，说明各类固溶体之间在结构上的差异。10 （1）钢是由铁和碳元素组成的，请问钢是纯金属还是合金。（2）铁在室温是体心立方，碳（石墨）是六方结构，钢在室温由铁素体和渗碳体组成，其中铁素体是体心立方，铁原子位于阵点，碳原子位于间隙；渗碳体（Fe3C）是正交结构，请问铁素体与渗碳体是固溶体还是化合物，若是固溶体则是哪种固溶体。（3）钢在室温是单相还是多相。11（课后）说明原子半径、负电性和价电子浓度分别是如何影响合金相结构的。（返回目录）第二章第四次内容及习题提示 陶瓷材料是以各种粘土为主要原料，成形后经高温烧制而成的制品。它是人类
19、制得的第一类经化学变化而成的产品，它的出现比金属材料早得多。 陶瓷材料的特点是熔点高、硬度高、化学稳定性高，因此具有耐高温、耐磨损、耐氧化和腐蚀，以及质量轻、弹性模量大、强度高等优良性能。组成陶瓷材料的基本相为：晶相、玻璃相（非晶相）和气相（气孔）。其中，晶相是最主要的组成相。 陶瓷材料是以离子键、共价键以及离子键和共价键的混合键结合在一起的。 离子化合物和硅酸盐是两种重要的陶瓷材料。本节课的要求1理解离子化合物的结构类型和特点，理解硅酸盐结构的一般特点2学习完第二章的第八、九节，完成习题12、13。习题12何谓离子化合物，离子化合物有哪些结构类型，其具体的结构是怎样的。13简述硅酸盐结构的基
20、本特点。（返回目录）第三章内容和习题(一)第一节 理想晶体与晶体缺陷，缺陷种类第二节 点缺陷种类，空位形成本质，点缺陷平衡浓度，空位种类，点缺陷对性能的影响第三节 位错与滑移，螺位错，刃位错，混合位错，柏矢量第四节 螺位错和刃位错的特征，应变能，线张力，位错线受力第五节 滑移，攀移，割界，应力集中第六节 位错反应，全位错，不全位错，扩展位错第七节 晶界，亚晶界，相界，共格界，孪晶界提示： 晶格的周期性，也称为平移对称性。所谓平移对称性，就是晶格中的点阵经过平移后，可以获得完全的重复。 本节课的要求1 理解理想晶体与缺陷的概念，掌握缺陷的种类。掌握点缺陷的概念及其结构特点，理解空位形成的本质，理
21、解点缺陷对晶体性能的影响。2学习第三章的第一、二节，完成习题13。习题1 何谓理想晶体，何谓晶体缺陷2 缺陷可以分为几类？对每一类缺陷说出一种具体的缺陷名称。3 点缺陷的存在，对晶体结构将造成怎样的影响？对晶体的性能将造成怎样的影响？形成点缺陷的驱动力是什么？（返回目录）第三章内容和习题(二)提示：点缺陷是一种热力学平衡缺陷，也就是说，在一定的温度下，点缺陷的数目是一定的。可以定性地进行分析：从热力学上来说，在一定的温度下，随点缺陷数目增加，晶体结构的畸变增加，导致系统自由能增加。另一方面，随点缺陷数目增加，系统的熵值增加，导致系统的自由能下降。当增加的自由能与下降的自由能相等时，系统达到平衡
22、。显然，这时所对应的点缺陷数目是一定的。所以，从平衡的角度来说，在一定的温度下，点缺陷的数目是一定的。点缺陷的存在，对晶体结构造成影响，从而对晶体的性能也会造成影响。这又是一个结构与性能之间存在关系的例子。位错是晶体中最为常见的缺陷之一，它对晶体材料的各种性质都有程度不同的影响，很早就被人们关注和研究，有了比较成熟的理论和大量的实验研究结果，是本章的重点。本节课的要求1 掌握空位的分类，掌握点缺陷的平衡浓度概念及其计算。掌握位错的分类及其结构特点，掌握柏矢量的物理意义及其求法。2学习第三章的第三节，完成习题47。习题4 何谓肖脱基空位、弗仑克尔空位、点缺陷的平衡浓度5 已知铁的空位形成能为10
23、4.6kJ/mol。试问，（1）从20加热到850，空位的数目将增加多少倍？（2）若将加热后的铁快速淬冷到20，这些“额外”的空位会消失吗？6 简述：位错概念是在怎样的情况下被提出的，位错概念的提出首先解决了什么问题。7 位错有哪两种类型，简述它们的几何特点。8 （1）请说明柏氏矢量的物理意义。（2）先在一个简单立方（点阵常数为a）的二维晶格中画出一个正刃型位错，再用柏氏回路求出正刃型位错的柏氏矢量，并具体写出柏氏矢量的方向和大小。（返回目录）第三章内容和习题（三）提示：人们发现，经塑性变形的晶体的表面存在大量的台阶，提出塑性变形是通过晶体的滑移来实现的，计算了晶体发生整体滑移所需的临界分切应
24、力，发现其值与实测值相差很大，由此提出设想：晶体可能是借助于位错的运动，通过逐步滑移来实现塑性变形的。经计算，位错运动所需的临界分切应力与实测值很接近，从而间接地证明了晶体中可能有位错的存在，直至几十年后，人们通过电子显微镜，才真正证明了位错的存在。位错的提出，一方面解决了理论强度与实验值的差异，同时也对塑性变形过程提出了见解：当一个位错在切应力的作用下滑移出晶体时，就在晶体的表面出现一个台阶，台阶的宽度就是一个柏矢量。当有许多位错滑移出晶体时，晶体就发生了宏观的塑性变形。正、负刃型位错的区别是多余半原子面的位置，左、右螺型位错的区别是螺旋方向的不同。位错的本质是原子的畸变区，这一区域的横截面
25、仅有几个原子的尺寸，区域的长度是非常多的原子尺寸，所以为线缺陷。由于位错是原子的畸变区，所以，位错的存在，导致了体系能量的升高。本节课的要求1 进一步理解位错的结构特点，进一步理解柏矢量的求法，掌握位错的应变能、线张力的概念及其表示方法，了解用位错的应变能进行位错运动趋势分析的方法。2 先完成上次的习题，再学习第三章的第三、四、五节，其中的第四节从第15页开始学习，15页前的内容，有兴趣的同学自己看。完成习题914。习题9 判断图（1）中螺旋的方向（是右螺旋还是左螺旋）。10 判断图中为何位错，求图（2）中位错的柏矢量（为简单立方晶胞，点阵常数为a）。11 求图（3）中位错的柏矢量（为简单立方
26、晶胞，点阵常数为a）。12 何谓位错的应变能。位错是热力学平衡缺陷还是不平衡缺陷。13 何谓位错的线张力，其估算值为多少。14当两个位错相遇时，定性地判断：同号位错将如何，异号位错将如何。（课后：请从应变能的角度对此进行判断。）（返回目录）第三章内容和习题(四)提示：正、负刃型位错的区别是多余半原子面的位置，左、右螺型位错的区别是螺旋方向的不同。位错的本质是原子的畸变区，这一区域的横截面仅有几个原子的尺寸，区域的长度是非常多的原子尺寸，所以为线缺陷。由于位错是原子的畸变区，所以，位错的存在，导致了体系能量的升高。本节课的要求1进一步理解位错的结构特点，掌握位错的标注方法，理解位错周围原子的应力
27、状态及其与溶质原子的交互作用。2再次学习第三章的第四、五节，完成习题1518。习题15 请简要的说明：（1）位错是一种线缺陷，（2）缺陷的存在，一般是使体系的能量上升还是下降？使体系处于稳定状态还是非稳定状态？16 请简要说明：（1）刃型位错周围的原子处于怎样的应力状态（为切应力还是正应力，为拉应力还是压应力）;(2)若有间隙原子存在，则间隙原子更容易存在于位错周围的哪些位置（可以以图示的方式说明）。17 请判断如下为何种位错：18 在简单立方晶体中，假定有一刃型位错A，其柏氏矢量为b1=a0-10，沿着（100）晶面滑移；假如还有一个螺型位错B，柏氏矢量为b2=a100，并在（001）晶面上
28、滑动，请在三维晶格图中画出位错A和B。（返回目录）第三章内容和习题（五）提示位错在力的作用下会发生运动，位错运动的结果，使晶体发生了塑性变形，而位错运动的难易程度又反映了晶体的强度。本节课的要求1 掌握位错的运动形式，掌握滑移和攀移的概念，理解刃型位错与螺型位错在运动形式上的差异，了解割阶的概念，掌握位错之间的交互作用。2 学习第三章的第五节，完成习题1922。习题19 位错运动通常具有哪两种形式，它们的区别何在。20 简述刃型位错和螺型位错在运动形式上的差异。21 （1）请问图示分别是何种位错。（2）指出位错运动的方向。（3）作图表示位错在应力的作用下运动出晶体后，晶体所发生的变化。22 在
29、简单立方晶体中，假定有一刃型位错A，其柏氏矢量为b1=a0-10，沿着（100）晶面滑移，（a）请在三维晶格图中画出位错A。（b）如果有另一个刃型位错B，柏氏矢量为b2=a010方向，沿着（001）晶面上运动，请画出位错B。（c）如果位错B运动经过位错A，请问位错A将发生什么情况？请作图表示。（d）如果有一个柏氏矢量为b3=a100，并在（001）晶面上滑动的螺型位错C通过位错A，首先请画出位错C。若位错C运动经过位错A，试问位错A将发生什么情况？请作图表示。（返回目录）第三章内容和习题（六）提示 在前面的学习中，我们通过简单立方晶体结构为代表，得到了位错知识和一般讨论。实际金属材料具有面心立
30、方、体心立方和密排六方等结构。在不同的晶体结构中位错的组态和性质是不同的，它们对晶体性能也有不同的影响。界面是一种面缺陷，如晶体的外表面，在外表面上的原子与内部的原子相比，外表面的原子处于不平衡位置，所以，晶体的外表面是一种缺陷。类似的缺陷还有好几种。本节课的要求1 掌握位错反应的判断，理解全位错、不全位错、扩展位错的概念，了解弗兰克不全位错和肖克莱不全位错的形成。掌握面缺陷的种类，掌握晶界，亚晶界，相界，共格界，孪晶界的概念。2 学习第三章的第六和七节，完成习题2325。习题23 位错反应的基本条件是什么？指出面心立方（fcc）和体心立方（bcc）中的特征位错（以最短点阵矢量为柏矢量的位错）
31、，并判断第六节中第5页和第14页的位错反应是否可以进行，为什么。24 何谓全位错、不全位错？说明弗兰克不全位错是如何形成的。25 指出面缺陷的种类。若将一个包含有许多晶粒的晶体加热，请问，随加热时间的延长或加热温度的提高，这些晶粒将长大还是缩小还是不变？为什么？（返回目录）第三章主要内容第一节 理想晶体与晶体缺陷，缺陷种类第二节 点缺陷种类，空位形成本质，点缺陷平衡浓度，空位种类，点缺陷对性能的影响第三节 位错与滑移，螺位错，刃位错，混合位错，柏矢量第四节 螺位错和刃位错的特征，应变能，线张力，位错线受力第五节 滑移，攀移，割界，应力集中第六节 位错反应，全位错，不全位错，扩展位错第七节 晶界，亚晶界，相界，共格界，孪晶界（返回目录）注意1：作柏氏矢量时，先要确定一个坐标，然后在有缺陷的晶体中画个柏氏回路，再在理想晶体中依样画个回路，从终点至起点连线即为柏氏矢量，用
