1、四年级下数学思维训练教程尖子生四年级下期第一讲 定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。例1设a、b都表示数，规定ab3a2b。(1)求43，34。(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(176)2，17(62)。(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5b1，求b。解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3a和2b的值，再求出3a与2b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：(
2、1)4334231266。343324981。(2)由(1)可知，43与34的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。(3)(176)2(31726)2(5112)2392339221174113。17(62)17(3622)17(184)1714317214512823。(4)由(3)可知，(176)2与17(62) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。(5)因为5b352b152b，而152b1，所以2b151，2b14，b7。通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严
3、格按照它的意义进行运算。例2如果ab2a3b，a*b(ab)2，那么(3*5)7？解：“”的意义是先求出2a和3b，再求出2a与3b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。因为3*5(35)24，所以，(3*5)747243729。例3规定：aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示自然数。(1)求1100的值；(2)已知x1075，求x。解：(1) a(a1)(a2)(ab1) 1(11)(12)(11001)123100(1100)100210110025050。(2) x(x1)(x2)(x101)75 10x(129)75 10x4575 10x7545 10x30x3010
4、x3例4羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼狼；狼羊狼；狼狼狼。以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：羊(狼羊)羊(狼狼)。解：羊(狼羊)羊(狼狼)羊羊羊狼
5、羊羊狼羊狼狼练习一1设a、b都表示数，规定：ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab4a3b。试计算：(1)56； 65。2a、b是自然数，规定aba5b3，求89。3设ab8a18b，求79？4规定ab(a3)(b5)，求5(67)的值。5设ababab，试求58。6如果规定ab13ab8，那么1724的最后结果是多少？7设a、b都表示数，规定：ab2ab2。求(1)106； (2)7(48)。8规定ABBBA，计算(23)(45)。9如果规定ab4a3b1，那么57和75相等吗？10对于两个数x、y，xy表示yAx2，并且已知826531。计算：(1)2957；(2)38(1423)。11如果
6、34345618，6567891040。计算20006。12如果“、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？(1)878；(2)7776；(3)(783)939；(4)333。第二讲图形问题(一)例1有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差1644(厘米)，所以图中正方形B的面积是4416(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(8016)232(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是3248(厘米)
7、，面积是8864(平方厘米)。 A B例2下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。解法一：图形的总面积是40401600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20202200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是16002004800(平方厘米)。解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40402800(平方厘米)。例3如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影
8、部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是10002500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是2402430(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图这个新正方形的面积是3030900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900500)2200(平方厘米)。例4如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少？ AB DC解：如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a1，左上角正方形的边长就是a11，右上角正方
9、形的边长就是a111。因为CDAB，所以aa(a1)(a11)(a111)，即3a12a5，于是a4。从而，CDaa(a1)13，AD(a1)(a11)11。因此，矩形ABCD的面积是1311143。练习二1已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？甲3 乙 15 82把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？3一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？4下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？AB5一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分
10、是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？7如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？8有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。 2 2 39如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？ 19 574510将边长为a的正
11、方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？12如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？ 第三讲枚举与计数例1数列A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，。把这个数
12、列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，。(1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？(3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？解：(1)数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第91803192个数。(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100991，而912461，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的
13、第一位数，这个数是94655，它的第一位（十位）数字是5。(3)数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3, 13, 23, 30, 31, 32，33, ，39, 43, 53，所以数字3共出现16次。答：(略)。例2个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？解：当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个；当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个；当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个；共有1234567836(个)。这些两位数的十位数字的和是8172635445362718120，个位数字的和是9887766554433221240，所以这些两位数的和是101202
14、401440。答：个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。例3有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？解：与某一小朋友不相邻的小朋友有7个，所以不相邻的小朋友有71070(对)，每对小朋友都重复算了一次，所以共有70235(种)选法。答：有35种不同的选法。例4在校级运动会上，运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上，他们也是100米短跑的前三名。(1)如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能？(2)如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的
15、排名不同，那么排名情况有多少种可能？解：(1)设A的排名不变，那么B排第三，C排第二，只有这1种情况。同理B、C的排名不变，也各有1种情况。因此，共有3种情况。(2)如果排名情况都改变，A可能排第二或第三：当A排第二时，B排第三，C排第一，有1种情况；当A排第三时，B排第一，C排第二，也有1种情况。因此，排名均不同的可能性有2种。答：(略)。练习三1三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是多少？2由数字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一能组成多少个不同的三位数？把这些数按照从小到大的顺序排列，第14个数是多少？3一个三位数，三个数字各不相同且
16、不为0，如果三个数字之和为10，这样的三位数有个？4一个两位数的十位数字比个位数字大5。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来小多少？5编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字，这本书一共有多少页？6新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有36人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人？最少是多少人。7一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始顺序报数，规定：报7的倍数时要拍一次手，报带7的数时要拍两次手，报既带7又是7的倍数时要拍三次手。则报到100时共拍了多少次手？8。一只口袋里有5个小球，另一只口
17、袋里有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同。(1)从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同的情况？(2)从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况？9某地区有50个县城，每个县城都有3条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路？10如图，从B逐步往下走到A，有多少条不同的路线？ BA11如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？小丽家学校12小明的爸爸买了6电影票(如下图)，想和小家一块去看电影。但因临时有事不能和小同时出发，小明只好撕下3连在一起的票给小家送去。那么有多少种不同的撕法？第四讲推理与判断例1小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、
18、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学校读书还不清楚。只知道：(1)小东不在一中；(2)小兰不在二中；(3)爱好排球的不在三中；(4)爱好游泳的在一中；(5)爱好游泳的不是小兰。那么谁在一中？谁在二中？小兰爱好什么？解：由(4)爱好游泳的在一中，由(1)这个人不是小东，由(5)这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。由(3)爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。例2小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说：“小华做对了第一题”，“
19、小华第二题没有做对”，“小华第一题没有做对”。老师看完三道题后发现：小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题？解：假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符；假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符；假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。所以小华做对了第二题。例3标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开关。现在B、E、G开着，其余5盏灯关着，小明从灯A开始，循环逐个拉动8盏灯的开关，拉了2004次后，关着的灯是哪几盏？解：因为20048商
20、250余4，从A开始拉动开关250次后，由于250的双数，所以B、E、G仍然开着，其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后，A、C、D变成开着的，B又灭了，所以最后关着的灯是B、F、H。例4购物单上某商品的单价是49.36元千克，总价是7.28元，方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克？解：写成竖式进行推导。先考虑个位数： 4 9 3.6 4 9 3.6 3 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 7.2 8 7.2 8进一步考虑十位数：4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 2 3 7 3 4 8 9 8 1
21、 4 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 8 9 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4 4 8 3 7.2 8 7.2 8 7.2 8 7.2 8 所以至少购买98千克。练习四1甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说：我的对面是“南”；丙说：我在乙的左边；丁说：我的对面不是乙。甲坐在哪边？2甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，获得前五名。他们的得分情况如下：(1)丙比乙低，但比戊高；(2)甲比丁高，但比戊低；(3)乙比戊高。这次歌咏比赛的第一名是谁？3甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。已知丙比教师的年龄大，甲与农民不
22、同岁，农民比乙的年龄小。那么谁是教师？4甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是谁？5、代表三个数，并且800那么、各代表多少？6下图中的“？”应填多少？2313？583 532 5 4 571号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。赛后他们接受小记者的采访。1号说：“3号在我前面冲向终点。”另一个得第三名的运动员说：“1号不是第四名。”小裁判员说：“他们的与他们的名次都不相同。”则第一名是几号？第二名是几号？第三名是几号？8将99棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子
23、中装5粒。已知盒子数大于10个，那么有多少个大盒子？多少个小盒子？9会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人？10某次数字竞赛有20道题，初始分为60分。规定：答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。最后得分是奇数还是偶数？11“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字？希望 希望杯希望杯赛 2 0 0 512下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少？小 学 希 望 杯 赛 赛 9 9
24、9 9 9 9第五讲解决问题(一)例1祖父与父亲的年龄之差是子年龄的6倍，而子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁，子今年多少岁？解：当用子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有子的615倍。所以子今年3056(岁)。答：子今年6岁。例2幼儿园分饼干，如果每人分3块，余14块；如果每人分4块，还有3个小朋友没分到。一共有多少个小朋友？有多少块饼干？解：改变分法后，从余15块到缺4312(块)，一共要多分141226(块)，这是因为每人多分431(块)的缘故，所以一共有26126(个)小朋友，有3261492(块)饼干。答：一共有26个小朋友，92块饼干。例3运输公司为
25、客户装运1600只瓷盘，每只运费1元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘，并得到1540元。则瓷盘价格为每只多少元？解：如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到116001600(元)，实际少得了1600154060(元)。损坏一只瓷盘运输公司少得60512(元)，其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半，所以瓷盘的价格是(121)222(元)。答：每只瓷盘22元。例4怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题：A、B、C三人各有硬币若干枚。A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分
26、给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是8枚。请问他们原来各有硬币多少枚？解：用倒推法。第三次调整后：A有8枚，B有8枚，C有8枚；第二次调整后：A有824(枚)，B有824(枚)，C有84416(枚)；第一次调整后：A有422(枚)，C有1628(枚)，B有42814(枚)；原来：B有1427(枚)，C有824(枚)，A有27413(枚)。答：原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。练习五1有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人？2在第二届“希望杯
27、”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？3菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐，小承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？4小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少？5幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个。苹果有多少个？小朋友共几组？6某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无
