1、一次函数与反比例函数培优拔高专题复习讲义含答案一次函数与反比例函数 培优、拔高专题复习讲义中考考点梳理一、平面直角坐标系1 、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。2、点的坐标的概念点的坐标用( a， b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时，( a，b)和( b， a)是两个不同 点的坐标。二、不同位置的点的坐标的特征1 、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一象限 x 0,y 0；点 P(x,y) 在第二象限 x 0,y 0 ；点 P(x,y) 在第
2、 三象限 x 0,y 0 ；点 P(x,y) 在第四象限 x 0, y 02、坐标轴上的点的特征点 P(x,y) 在 x 轴上 y 0 ，x 为任意实数；点 P(x,y) 在 y 轴上 x 0 ，y 为任意实数；点 P(x,y) 既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为( 0，0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等；点 P(x,y) 在第二、四象限夹角平分线 上 x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点
3、的横坐标相同。5、关于 x 轴、 y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等， 纵坐标互为相反数； 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数；点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 .三、函数及其相关概念 1、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。2、函数的三种表示法及其优缺点： （ 1）解析法 （2）列表法 （3）图像法四、正比例函数和一次函数1 、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 y kx b （k，b 是常数， k 0），那么 y
4、 叫做 x 的 一次函数 。特别地，当一次 函数 y kx b中的 b 为 0 时， y kx（k 为常数， k 0）。这时， y 叫做 x 的正比例函数 。 2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 y kx b的图像是经过点 （ 0，b）的直线； 正比例函数 y kx的图像是经过原点 （0， 0）的直线。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数 y kx 有下列性质：（ 1）当 k0 时，图像经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（ 2）当 k4 Cx 0 且 x 22. 函数 y=
5、的自变量 x 的取值范围是（Ax 2 B x 2 且 x0 Cx0答案】 B解析】试题分析：根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0可得 x+20且 x0，解得 x2且 x0，故 答案选 B考点：函数自变量的范围考点典例三、函数图象【例 3】小明的父亲从 家走了 20 分钟到一个 离家 900 米的 书店 ，在书 店看了 10 分钟 书 后 ，用 15 分 钟 返 回 家 ，下 列 图 中 表 示 小 明 的 父 亲 离 家 的 距 离 与 时 间 的 函 数 图 象 是【答案】 B.【解析】考点：函数图象 .【点睛】这是分段函数，根据实际情况解决即可 .【举一反三】1.如图，AD、BC是 O
6、的两条互相垂直的直径， 点 P从点 O出发，沿 OCDO的路线匀速运动 设 APB=y（单位：度） ，那么 y与点 P运动的时间 x（单位：秒）的关系图是（ ）答案】 B解析】考点：动点问题的函数图象考点典例四、一次函数例 4】若一次函数 y = ax + b的图像经过第一、 二、四象限， 则下列不等式中总是成立的是 （ ）解析】试题分析：已知一次函数y = ax + b的图像经过第一、二、四象限 ,可得a 0,选项 A错误；22a-b 0，选项 B错误； a20,所以 a2 +b 0，选项 C正确; a + b的大小不能确定，选项 D错误， 故答案选 C.考点：一次函数的性质 .【点睛】熟练
7、掌握一次函数图象与性质是解决此类问题的关键【举一反三】1. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作 效率该绿化组完成的绿化面积 S（单位： m2）与工作时间 t （单位： h）之间的函数关系如图所示， 则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ）2 2 2 2A300m2 B150m2 C 330m2 D450m2答案】 B.解析】考点：一次函数 .2.一次函数 y=-2x+1 的图像不经过（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】 C【解析】试题分析：对于一次函数 y=kx+b ；当 k0 时，函数图象经
8、过一、二、四象限，则本题选择C.考点：一次函数的图象 .考点典例五、反比例函数3【例 5】反比例函数 y 的图象上有 P1（x1， 2），P2（ x2， 3）两点，则 x1与 x2的大小关系是 x（）Ax1x2 B x1=x2 Cx1-3 ，x1x2.故选 A.考点：反比例函数图像与性质 .点睛】根据反比例函数的增减性求解即可。【举一反三】1. 某村耕地总面积为 50公顷，且该村人均耕地面积 y（单位：公顷 / 人）与总人口 x（单位：人）的 函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例 C若该村人均耕地面积为
9、2 公顷，则总人口有 100 人D当该村总人口为 50 人时，人均耕地面积为 1 公顷答案】 D.解析】考点：反比例函数的应用 .22. 已知 A（x1，y1）、 B（x2，y2）、 C（x3，y3）是反比例函数 y 上的三点，若 x1x2x3，y2 x y1y3，则下列关系式不正确的是（ ）A x1?x20 B x1?x3 0 C x2?x3 0 D x1+x2 0）图象上的一点， 分别过点 P作 PAxx轴于点 A，PBy轴于点 B若四边形 OAPB的面积为 3，则 k 的值为（ ）A3 B 3 C D【答案】 A.【解析】考点：反比例函数系数 k 的几何意义k7.已知 点 A（ 2， y
10、1）、 B（ 4， y2） 都在 反 比 例 函数 y=x（ k y2 B y1 y2 C y1=y2 D 无 法确 定【答案】 B.【解析】k试题分析：当 k0 时， y= x在每个象限内， y 随 x 的增大而增大， y1y2，故选 B.x 考点：反比例函数增减性 .8 在反比例函数1 3m yx图象上有两点A（ x1， y1）、B（ x2，y2 ）， x10 x2， y1B m 1C m 1D m 13333【答案】 B解析】考点：反比例函数的性质 .9. 如图，直线 y= x+4 与 x 轴、 y轴分别交于点 A和点 B，点 C、D分别为线段 AB、OB的中点，点 P 为 OA上一动点
11、， PC+PD值最小时点 P 的坐标为（ ）A（ 3， 0） B（ 6，0） C（ ，0） D（ ，0）【答案】 C.解析】D关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD值最小，如图所示直线 y= x+4 与 x 轴、 y 轴的交点坐标为 A（ 6，0）和点 B（0，4），因点 C、D分别为线段 AB、OB 的中点，可得点 C（ 3， 2），点 D（ 0， 2）再由点 D和点 D关于 x 轴对称，可知点 D的坐标为（0，2）设直线 CD的解析式为 y=kx+b ，直线 CD过点 C（3，2），D（0，2），所以 ，解得： ，即可得直线 CD的解析式为 y= x2令
12、y= x2 中 y=0，则 0= x 2，解得： x= ，所以点 P 的坐标为（ ，0）故答案选 C 考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称 - 最短路线问题10. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 P、 Q分别是 CD、 AD的中点，动点 E 从点 A向点 B运动，到点 B时停止运动；同时，动点 F从点 P出发，沿 PDQ运动，点 E、F 的运动速度相同设点 E的 运动路程为 x， AEF的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ）答案】 A解析】考点： 1动点问题的函数图象； 2应用题二填空题k11已知反比例函数 y= （k0）的图象经过（ 3， 1），则当 1
13、y3 时，自变量 x 的取值范围x是【答案】 3 xkx6的解集答案】 x 3.【解析】试题分析：由图象得到直线 yxb 与直线 ykx6的交点 P（3， 5） ，在点 P（3，5） 的右侧，直线 yxb 落在直线 ykx6 的上方，该部分对应的 x 的取值范围为 x3, 即不等式 xbkx6 的 解集是 x 3考点：一次函数与一元一次不等式 .k13.已知反比例函数 y= k 的图象在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大，请写一个符合条件的反比例x函数解析式 2y【答案】 x （答案不唯一，符合 k0 即可）【解析】k试题分析：已知反比例函数 y= k 的图象在每一个象限内 y 随 x 的
14、增大而增大，根据反比例函数的性x质即可得出 k 0，写出一个符合条件的解析式即可 . 考点：反比例函数的性质14.在平面直角坐标系中，点（ 4， 4）在第 象限【答案】二【解析】考点：平面直角坐标系中各象限点的特征 .15.如图，点 A 的坐标为（ -4,0 ），直线 y 3x n 与坐标轴交于点 B，C，连结 AC，如果 ACD= 90， 则 n 的值为 .433【答案】【解析】试题分析：已知直线 y 3x n 与直线 AC互相垂直，可设直线 AC的解析式为 y 3 x b ，把3A的坐标（ -4,0 ）代入得 0 4 3 b，解得 b= 4 3 ，所以点 C的坐标为（ 0， 4 3 ），即
15、可得3 3 343n= .3考点：一次函数的性质 .416.如图，一次函数 y kx 2与反比例函数 y （ x 0 ）的图象交于点 A，与 y 轴交于点 M，与xx 轴交于点 N，且 AM： MN=1： 2，则 k= 3 答案】 3 4解析】考点：反比例函数与一次函数的交点问题117. 在函数 y x 3 2 中，自变量 x 的取值范围是 x2【答案】 x 3 ，且 x 0 【解析】2试题分析： 由题意得， x 3 0 ， x 0 ，解得： x 3 ，且 x 0 故答案为： x 3 ，且 x 0 考点：函数自变量的取值范围18.如图，已知直线 y k1x b与 x轴、y轴相交于 P、Q两点，
16、与 y=k2 的图像相交于 A（ 2，m）、 x1B（1，n）两点，连接 OA、OB. 给出下列结论： k1k2 k2 的解集是 x2 或 0x0）的 图 象 交于点 B（ 2 ， n），过 点 B作 BC x 轴 于点 C，点 P（3n4，1）是 该 反比例 函数图 象 上 的 一 点 ， 且 PBC= ABC， 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 解析】试题分析：把 B、P 坐标代入可求得 m得值，反比例函数解析式即可求出 . 过点 P作 PDBC，垂足 为 D，并延长交 AB与点 P易证 BDP BDP，得到点 P的坐标，再根据 P和 B的坐标即可 求出一次函数的
17、解析式考点： 1 反比例函数； 2一次函数； 3 全等三角形 .k21.如图，已知反比例函数 y= 的图象与直线 y= x+b 都经过点 A（ 1， 4），且该直线与 x 轴的交x点为 B（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）求 AOB的面积x解析】考点：反比例函数与一次函数的交点问题21. 已知一次函数 y=2x+4（ 1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（ 2）求图象与 x 轴的交点 A的坐标，与 y 轴交点 B的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，求出 AOB 的面积； （4）利用图象直接写出：当 y0时， x的取值范围答案】（1）详见解析；（2）A（ 2，0）B（0，4）；（3）4；（4）x 2解析】试题分析：（1）求得一次函数 y=2x+4 与 x 轴、 y 轴的交点坐标，利用两点确定一条直线就可以画出 函数图象；（ 2）由（ 1）即可得结论； （3）通过交点坐标根据三角形的面积公式即可求出面积； （4）观察函数图象与 x 轴的交点就可以得出结论考点：一次函数图象与系数的关系；一次函数的图象
