1、A1个 B2个 C3个 D4个7任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解npq（pq）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算例如：121122634，则那么以下结论中：；若n是一个完全平方数，则F（n）1；若n是一个完全立方数（即na3，a是正整数），则正确的个数为（）8若x3+2x2mx+n可以分解为（x+2）2（x2），则m，n的值分别是（）Am4，n8 Bm4，n8 Cm4，n8 Dm4，n89下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）（1）（m3+m2m）1；（2）4b2+（9a26ac+c2）；（3）（5x2+6y）+（15x
2、+2xy）；（4）（x2y2）+（mx+my）10将多项式xx3因式分解正确的是（）Ax（1x2） Bx（x21） Cx（1+x）（1x） Dx（x+1）（x1）11若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（）A1 B1 C1 D212如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2bab2的值为（）A60 B50 C25 D1513小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：ab，xy，x+y，a+b，x2y2，a2b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2y2）a2（x2y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A
3、我爱美 B济南游 C我爱济南 D美我济南14下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）Ax23x+2 Bx2x+1 C2x2xyy2 Dx2+3xy+y215已知dx42x3+x212x5，则当x22x50时，d的值为（）A25 B20 C15 D10第卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明二填空题（共9小题）16因式分解：14a2 17将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q）将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为 18已
4、知xy，x+y5，则2x3y+4x2y2+2xy3 19已知a2018x+2017，b2018x+2018，c2018x+2019，则多项式a2+b2+c2abbcac 20已知m2+m10，则m3+2m2+1 21多项式x24x+m分解因式的结果是（x+3）（xn），则 22已知a，b，c是ABC的三边，且a4a2c2b4b2c2，那么ABC的形状是 23因式分解：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+a（a+1）99 24分解因式：x3+3x24 三解答题（共16小题）25分解因式：（1）m24mn+4n2 （2）2x21826分解因式（1）3x36x2y3xy2；（2）（a2+9）236
5、a2（3）25m2（4m3n）2；（4）（x22x）22（x22x）327问题背景：对于形如x2120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x60）2，对于二次三项式x2120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了此时常采用将x2120x加上一项602，使它与x2120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x240x+351；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长28定义：任意两个数a，b，按规则ca+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b
6、的“机智数”（1）若a1，b2，直接写出a，b的“机智数”c；（2）如果，am2+2m+1，bm2+m，求a，b的“机智数”c；（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？29阅读题材料一：若一个整数m能表示成a2b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，32212，93202，124222，则3，9，12都是“完美数”；再如，Mx2+2xy（x+y）2y2，（x，y是整数），所以M也是”完美数”材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：npq（p、q是正整数，且pq）如果pq在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解，并且规定F（n）例
7、如181182936，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F（18）请解答下列问题：（1）8 （填写“是”或“不是”）一个完美数，F（8） （2）如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”（3）若一个两位数n的十位数和个位数分别为x，y（1xy9），n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F（n）的最大值30如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪（1）用代数式表示草坪的面积；（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a15，b2.5时草坪的面积31如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数
8、”，如：42202，124222，206242，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？32因式分解：（1）x2y2xy2+y3（2）4ax248ax+128a；（3）（x2+16y2）264x2y233在任意n（n1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为1
9、3264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324132643060，306017180，所以1324是“最佳拍档数”（1）请根据以上方法判断31568 （填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除34在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了有一种用“因式分解法产生的密码，
10、方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2x2因式分解的结果为（x1）（x+1）（x+2），当x18时，x117，x+119，x+220，此时可以得到数字密码171920（1）根据上述方法，当x21，y7时，对于多项式x3xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m3n）x2nx21因式分解后，利用本题的方法，当x27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值35一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字
11、，继续进行下去，直到容易判断为此，如：42581去掉个位是4258，4258减去1的差是4257，4257去掉个位后是425，425减去7的差是418，418去掉个位8后是41，41减去8的差是33，显然33能被11整除，所以42581是“一心一意数”（1）请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；（2）一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”（千位数字是a，十位数字是b，百位数字和个位数字都是c，0a9，0b9，0c9），求的值36阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值小明发现，
12、可以设另一个因式为（x+n），得x24x+m（x+3）（x+n）则x24x+mx2+（n+3）x+3n利用方程组可以解决请回答：另一个因式为 ，m的值为 ；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（x4），求另一个因式以及k的值37我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止如：1131：113+41117，117139，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+42337，33+4761，因
13、为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”（1）请判断42356是否为“超越数” （填“是”或“否”），若+4c13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）（2）一个四位正整数N，规定F（N）|a+d2bc|，例如：F（4953）|4+3259|32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且ac，其中1a4求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值38如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2（1）请直接用含a，b的代数式表示S1 ，S2 ；（2）写出利
14、用图形的面积关系所揭示的公式： ；（3）利用这个公式说明2161既能被15整除，又能被17整除39发现与探索（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解a212a+20（a1）28（a1）+7a26ab+5b2（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题说明：代数式a212a+20的最小值为16请仿照小丽的思考解释代数式（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式a2+12a8的最大值40计算（ax+b）（cx+d）acx2+adx+bcx+bdacx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd（ax+b）（cx+d）我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公
15、式我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法如图1所示示例：例如因式分解：12x25x2解：由图2可知：12x25x2（3x2）（4x+1）请根据示例，对下列多项式因式分解：2x2+7x+6 6x27x3参考答案与试题解析1D 2B 3D 4C 5A 6B 7C 8C 9B 10C 11A 12B 13C 14B15A16（12a）（1+2a） 17（a+b）（2a+b）， 1825 19 3 20 2 213 22等腰三角形或直角三角形23（a+1）100 24（x1）（x+2
16、）225解：（1）m24mn+4n2（m2n）2；（2）2x2182（x29）2（x+3）（x3）26解：3x（x2+2xy+y2）3x（x+y）2；（a2+9+6a）（a2+96a）（a+3）2（a3）2；（3）25m2（4m3n）2（5m）2（4m3n）2，（5m+4m3n）（5m4m+3n）3（3mn）（m+3n）；（4）（x22x）22（x22x）3（x22x3）（x22x+1）（x3）（x+1）（x1）227解：（1）x240x+351x240x+40049（x20）249（x20+7）（x207）（x13）（x27）；（2）一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，这
17、个长方形的长为：a+6b，即这个长方形的长是a+6b28解：（1）a1，b2，c，c即a，b的“机智数”c是（2）am2+2m+1，bm2+m，c（m2+2m+1）+（m2+m）m；（3）cm，cm为一个整数，m1或m1（舍去），即m的整数值是129解：（1）83212，8是一个完美数，81824，F（8）故答案为：是，（2）设ma2b2，nc2d2，其中a，b，c，d均为整数，则mn（a2b2）（c2d2），a2c2a2d2b2c2+b2d2，（a2c2+2abcd+b2d2）（a2d2+2abcd+b2c2），（ac+bd）2（ad+bc）2，a，b，c，d均为整数，ac+bd与ad+bc
18、也是整数，即mn是“完美数”（3）x+y能够被8整除，且1xy9，x，y都是整数，x+y8或16，n79或97或88或71或17或26或62或35或53或44，n为“完美数”，n为79或97或88或71或17或35或53或44，其中，79179，F（79）97197，F（97）88188244422118，F（88）71171，F（71）17117，F（17）3513557，F（35）53153，F（53）44144222411，F（44）F（n）的最大值是30解：（1）剩余部分的面积为（a24b2）平方米；（2）当a15，b2.5时，a24b2（a+2b）（a2b）（15+5）（155）20
19、0（平方米）31解：（1）288262，202050625042，28和2020是“和谐数”；（2）（2k+2）2（2k）24（2k+1），两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数32解：y（x22xy+y2）y（xy）2；（2）4ax248ax+128a4a（x212x+32）4a（x4）（x8）；（x2+16y2+8xy）（x2+16y28xy）（x+4y）2（x4y）233（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为36156831566845900，45900172700，所以31568是“最佳拍档数”；设“最佳拍
20、档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8x，yx，N5000+100y+10x+8x100y+9x+5008，N是四位“最佳拍档数”，50000+6000+100y+10x+8x50000+1000y+100x+60+8x，6000+100y+9x+81000y100x68+x，594090x900y，90（66x10y），66x10y能被17整除，x2，y3时，66x10y34，能被17整除，此时N为5326；x3，y8时，66x10y17，能被17整除，此时N为5835；x5，y1时，66x10y51，能被17整除，但xy，不符合题意；x6，y6时，66x10y0，能被17整除
21、，此时N为5662；x8，y3时，66x10y28，不能被17整除，但xy，不符合题意；当x9，y4时，66x10y17，能被17整除，但xy，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；是；设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，（1000z+600+10y+x）（1000z+100y+60+x）54090y90（6y），任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，（100
22、00a+6000+100z+10y+x）（10000a+1000z+100y+60+x）5940900z90y90（6610zy），任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：34解：（1）x3xy2x（x2y2）x（x+y）（xy），当x21，y7时，x+y28，xy14，可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m3n）x2nx21（x+p）（x+q）（x+r），当x27时可以得到其中一个密码为242834，27+p24，27+q28，27+r34，解得，p3，q1，r7，x3+（m3n）x2nx21（x3）（x+1）（x+7），x3+（m3n
23、）x2nx21x3+5x217x21，得即m的值是56，n的值是1735解：（1）2018去掉个位是201，208减去8的差是200，200去掉个位后是20，20减去0的差是20，20显然不能被11整除，所以2018不是“一心一意数”；20180116去掉个位是2018011，2018011减去6的差是2018005，2018005去掉个位后是201800，201800减去5的差是201795，201795去掉个位5后是20179，20179减去5的差是20174，20174去掉个位是2017，2017减去4的差是2013，2013去掉个位后是201，201减去3的差是198，显然198能被1
24、1整除，所以20180116是“一心一意数”；（2）是祥和数是66的倍数，即也是2的倍数，也是11的倍数c是偶数能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除a+b2c11k且0a9，0b9，0c9a+b2c11，0a+b18c2，则a+b1536解：解方程组得：即另一个因式为x7，m21；设二次三项式2x2+3xk的另一个因式为2x+a，则2x2+3xk（x4）（2x+a），2x2+3xk2x2+（a8）x4a，所以解得：a11，k44，即另一个因式是2x+11，k44，x7，2137解：（1）4235+464259且4259不能整除134235不是
25、超越数+4c13k10a+b+4c13k10a+b13k4c100a+10b+c10（10a+b）+c130k40c+c130k39c13（10k3c）10k3c（2）由题意得d5，ac，N1000a+100b+10c+5N能被13整除设100a+10b+c+4513k101a+10b+2013k，且a正整数，b，k为非负整数，1a4a2，b9，k24 或a3，b8，k31，或a4，b7，k38F（N）|2+2518|9，或F（N）|3+2524|4，或F（N）|4+2528|1F（N）最小值为138解：（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a
