1、60年代，数学基础与证明，单一功能程序，多种单元；70年代，单元库丰富，线性到非线性通用程序，如SAP，NONSAP等；80年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等；90年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等；目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软件。说明：有限元法的发展与计算机学科的发展紧密相关。,有限元法的发展简介,现有有限元软件的计算功能与应用 可求解结构位移场、温度场、电磁场、流场、耦合场等多种问题。,有限元法与其他课程的关系,有限元法与其他课程的关系,材料力学：研究杆状构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力
2、和位移。其中引入了构件形变状态或应力分布的假设。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构（杆件系统），例如行架等的应力与位移。弹性力学：针对非杆状结构（如板和水坝等实体结构）以及对杆状构件作进一步较精确的分析。以微元体为研究对象，通过建立应力、形变与位移间的关系进行求解。计算力学：是结构力学、弹性力学、计算数学、计算机学的结合，提供近似的数值计算方法解决问题。有限元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力、形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。,有限元法的基本概念与求解方法,2.1 结构离散化与刚度矩阵2.2 位移函数与形函数2.3 单元刚度方程2.4
3、载荷移置与等效节点载荷2.5 结构刚度方程2.6 位移边界条件的处理2.7 应力计算2.8 有限元法的普遍公式2.9 有限元方程组的解法,结构离散化与刚度矩阵,结构离散化：1）网格划分 将结构划分为有限个单元；2）载荷移置 将作用在结构上的非节点载荷等效地移置为节点载荷；3）简化约束 把结构边界上的约束，用适当的节点约束代替。,结构离散化与刚度矩阵,有限元网格划分原则,有限元中单元的网格剖分原则）各节点必须相连。如图所示中（a）是正确的，而（b）是错误的。,结构离散化与刚度矩阵,有限元网格划分原则,结构离散化与刚度矩阵,有限元网格划分原则,）单元不能奇异，也就是单元中的边长不能相差太大，或者有
4、过大的钝角或过小的锐角，如图示：,结构离散化与刚度矩阵,有限元网格划分原则,）单元的大小、数目取决于计算精度要求和计算容量限制分网时首先满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称性、循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。也可以采用子结构法。）同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。,结构离散化与刚度矩阵,网格划分示例,结构离散化与刚度矩阵,结构离散化与刚度矩阵,刚度矩阵 描述单元特性的矩阵，表示了单元抵抗变形的能力。它由刚度系数组成，由单元节点的个数和自由数决定规模。如图平面三角形
5、三节点单元中，有3个节点，每个节点有2个自由度，故刚阵中的元素个数为36个。刚度系数Kij 相当于一维弹簧的刚度K的含义。即产生单位位移时需要的作用力的大小。,结构离散化与刚度矩阵,位移函数,结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移函数。,位移函数与形函数,位移函数的一般介绍,.定义：把单元中任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式。.选择位移函数的原因（）决定了单元的力学特性。（意义）（）反映了单元的位移形态。（物理意义）（）它是利用位移法求解问题的开始。（基础）
6、.位移函数必须具备的条件（）在节点上的值应等于节点的位移（）所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解,位移函数与形函数,位移函数的一般形式,位移函数一般为多项式形式，这样处理是从两方面出发的（）进行数学运算（如微分，积分）较简单（）任意阶次的多项式可以近似地表示精确解，其一般形式为：u=u（x,y）=1+2x+3y+4x2+5xy+6y2+myn v=v（x,y）=m+1+m+2x+2myn（-）式中:,其中1 m为待定系数。式中的也称为广义坐标，这种描述方式又称为广义坐标形式。（一维形式多项式u（x）=1+2x+x2+nxn）,位移函数与形函数,位移函数的一般形式,（-）式也可以参照帕斯卡
7、三角形来确定,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,.位移函数形式 就是最简单的情况而言，可以选取位移为坐标的线性函数形式，也就是：u（x,y）=1+2x+3yv（x,y）=4+5x+6y（-）对于图中的三角形单元，为了确定（-）式中的待定系数16，可以将节点i，j，m的位移值及坐标值代入上式，得到方程组：ui=1+2xi+3yivi=4+5xi+6yi（i=i，j，m）（-）式中ui，vi节点位移 xi，yi节点坐标,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,这是一个一阶线性方程组，可使用克来姆法则求解。,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,.克来姆法则设有一线性方程组
8、：a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2an1x1+an2x2+annxn=bn（a11 ann系数）当其系数行列式不等于零时 上述的方程组有唯一解：（j，n）其中是将中第j列元素替换为右端项而得到的行列式,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,.待定系数1 的求解如果用节点位移（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）及节点坐标（xi,yi）,（xi,yi）,（xi,yi）代入（2-3）式可以得到：ui=1+2xi+3yi uj=1+2xj+3yj um=1+2xm+3ym vi=4+5xi+6yi vj=4+5xj+6yj vm=4+
9、5xm+6ym,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,由克来姆法则可知：当2 0，上述方程有唯一解：,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,为了描述方便，引入系数 ai=xj ym-xmyj bi=yj-ym ci=-xj+xm aj=xmyi-xi ym bj=ym-yi cj=-xm+xi am=xi yj-xj yj bm=yi-yj cm=-xi+xj,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,代入上式后可以得到,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,.位移函数的插值函数形式假设这样一个函数：（i=i,j,m）代入（-）式后可得u=iui+juj+mum v
10、=ivi+jvj+mvm 式中：i，j，m被称为单元的形状函数，简称形函数或插值函数。,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,把（-）式写成矩阵形式：简写为：f=Ne（-）,位移函数与形函数,三节点三角形单元的位移函数,式中的矩阵反映了单元的位移形态，又是坐标的函数，我们称之为形函数矩阵，这种描述方式称为位移函数的插值函数形式。通过上面的推导，我们得到了两种形式的位移函数，（-）式与（-）式后一种描述更简单，更直观，通常采用。这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系。,位移函数与形函数,位移函数及其性质,当节点位移一定时，单元形态完全决定于i，j，m这时形函数就具有如
11、下的性质：.形函数i在节点i处的值为，而在其他两个节点（j，m）处的值为零。即：i（xi，yi）=1 而i（xj，yj）=i（xm，ym）=0同样的j（xi，yi）=0 j（xj，yj）=1 i（xm，ym）=0 m（xi，yi）=0 m（xj，yj）=0 m（xm，ym）=1,位移函数与形函数,位移函数及其性质,.在单元任一节点处，三个形函数之和等于。证明如下：i（x，y）+j（x，y）+m（x，y）=（ai+bix+ciy+aj+bjx+cjy+am+bmx+cmy）（）=（ai+aj+am）+（bi+bj+bm）x+（ci+cj+cm）y（）=（+0+0）/（）=1此外，形函数与位移函数
12、是同样类型的函数。如：位移函数u=1+2x+3y形函数i=（ai+bix+ciy）（）,位移函数与形函数,位移函数与解的收敛性,选择位移函数时，为保证有限元法的收敛性，必须满足以下个条件：.位移函数必须包含单元的常量应变.位移函数必须包含单元的刚体位移.位移函数在单元内部必须是连续函数（连续性要求）.位移函数应使得相邻单元间的位移协调（保续性要求）上述四个条件中，若全部满足，这样的位移函数构成的单元称为协调单元，若只满足前三条，则称为非协调单元,位移函数与形函数,位移函数与解的收敛性,下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数（）由=x,y,xyT=2,6,5+3 T 因2,6,5
13、+3都是常数，与某坐标无关，因此含有常应变项（）将位移函数可改写成,位移函数与形函数,位移函数与解的收敛性,当发生刚体位移时：x=x=xy=0也就是2=6=5+3=0这时：其中u0,v0为平动位移分量。0为单元绕垂直于x，y平面的轴线作刚体转动时的角位移，它表示了刚体位移。,位移函数与形函数,位移函数与解的收敛性,（）位移函数（-）或是x，y的单值连续函数，故满足连续性要求。（）位移函数（-）式是线性函数，由于相邻单元在公共节点处的位移值相等，而通过两个节点可以连成一直线，其连线上的位移相同，因此边界上各点的位移是连续的，不会出现：综上所述，三角形常应变单元属于协调元,位移函数与形函数,面积坐
14、标,面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置的一种方法。优点：简明，方便。,位移函数与形函数,面积坐标,对于图中三角形单元任一点P（x,y）可用下三个比值来确定：Li,Lj,Lm 称为P点的面积坐标，显然面积坐标具有以下性质：性质.Li+Lj+Lm=1（i+j+m=）性质.平行于三角形jm边的直线上所有点其Li相同 AB变化时，hi不变,故i不变，Li 不变,位移函数与形函数,面积坐标,性质.Li=1 Lj=0 Lm=0（i）Li=0 Lj=1 Lm=0（j）Li=0 Lj=0 Lm=1（m）性质.Li=Lj=Lm=1/3在三角形形心处面积坐标与形函数的关系：,位移函数与形函数,
15、面积坐标,同理：Lj=Nj，Lm=Nm 所以，面积坐标与形函数相同（量值）但意义不同,位移函数与形函数,单元刚度方程,对单元进行力学特性分析目的在于确定单元节点力与节点位移的关系，并称之为单元刚度方程：e e=e式中：Fe，e 单元节点力及节点位移列阵e 单元刚度矩阵,基本方法,单元刚度方程,基本方法,建立上述方程时可采用的方法（）直接刚度法（）虚位移原理或最小势能原理位移型有限元（）余虚功原理或最小余能原理力型有限元（）变分法（非结构问题）,单元刚度方程,基本方法,单元特性分析的步骤（）假设位移函数（）建立应力，应变与节点位移间的关系（）由能量原理，建立单元节点力与节点位移间的关系（）得到单
16、元刚阵,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,（）上节的知识可以知道位移函数为：u=iui+juj+mum v=ivi+jvj+mvm式中i=（ai+bix+ciy）（）（i=i,j,m）（）应力应变与节点位移的关系对三节点三角形单元，节点位移e=ui,vi,uj,vj,um,vmTFe=Fix,Fiy,Fjx,Fjy,Fmx,FmyT,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,由弹力知识可知，几何方程为：,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,令：=Bi,Bj,Bm且（i=i,j,m）方程可简写为：=e,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,我们称单元的几何矩阵，其物理意
17、义反映了单元任一点的应变与单元位移之间的关系。对于一个给定的单元，节点坐标一定，系数bi，ci也随之确定，也为常数，所以几何矩阵为常量矩阵，这也证明节点三角形单元是一种常应变单元。由弹性理论中关于平面问题的物理方程可知，当不考虑变温影响时，单元中任一点的应力为:=D式中为弹性矩阵，反映了单元材料方面的特性。,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,由上面应变与节点位移之间的关系代入后可得=D=DBe若令S=DB则=Se式中，S称为单元的应力矩阵物理意义：反映了单元中任一点的应力与节点位移之间的关系，对于节点三角形单元D，B为常量矩阵，S也为常量矩阵，这种常应变单元，也是一种常应力单元，回顾
18、一下，平面应力问题：,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,而对于平面应变问题如果采用：代入,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,两种问题具有相同的描述形式，只是对材料的弹性模量与泊松比进行相应的代换，则在计算中可以采用同样形式的弹性矩阵。（）单元节点力与节点位移之间的关系在位移型有限元法中，对单元的力学特性分析，最终是需要建立节点位移和节点力之间的关系，也就是确定单元的刚度矩阵。应用虚位移原理来建立这种关系式。设某单元发生一虚位移，则该单元各节点上的虚位移为e，相应地单元内任一点处的虚应变为：。根据与间的关系有：=B e,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,这时单元体在
19、节点力作用下处于平衡状态，根据虚位移原理，当虚位移发生时节点力在虚位移上所做的功等于单元的虚应变能，即：式中：e为单元的体积，上式称为单元的虚功方程。把=DBe和=B e代入上式得由于节点位移e及节点虚位移e均为常量，提出积分外，有：,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,进一步可得：令：则上式可写为求得了我们所要的形式的方程，称之为单元刚度方程，式中的e称为单元的刚度矩阵，反映了节点力与节点位移之间的关系。同样，可采用最小势能原理来建立单元节点力与节点位移的关系式。我们得到的单元刚度矩阵e是普遍公式，适用于各种类型的单元，对于三角形常应变单元的具体表达式见下。,单元刚度方程,三角形平面
20、单元的单元刚度矩阵,（）三角形常应变单元刚度矩阵的显式：由于普遍公式中，均为常量矩阵，可以提出积分符号，而d是单元的微元体体积且d=t dx dy式中t为单元的厚度，同一单元，厚度t为常数，故单元体积（为单元的面积）普遍公式就可写为：为了便于计算利用B=Bi Bj Bm将上式展开,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,单元刚度方程,式中子刚阵为：Krs=tBrTDBs（r,s=i,j,m）,三角形平面单元的单元刚度矩阵,Krs是一个阶矩阵，因此三角形常应变单元的刚度方程为的方程，也就是单刚阶数单元的自由度数。对与平面应力问题：将：B=Bi Bj Bm及代入,单元刚度方程,三角形平面单元的
21、单元刚度矩阵,（r,s=i,j,m）,单元刚度方程,三角形平面单元的单元刚度矩阵,简写为：相应的：,单元刚度方程,单元刚度矩阵的性质,（）单元刚度矩阵是对称矩阵（）单元刚度矩阵的主对角元素恒为正值（）单刚为奇异阵（）单元刚度仅与单元的几何特性（）及材料特性有关（）而与外力无关。上述四条性质，与杆系的单刚性质相同,单元刚度方程,.由于在进行有限元分析中，单元和单元之间仅通过节点相互联系当外载不是直接作用在节点上，那么需要将非节点载荷向节点移置，也就是真实外载（理想化）节点上的集中载荷移置后的载荷称之为等效节点载荷。,非节点载荷移置,载荷移置与等效节点载荷,非节点载荷移置,.结构的非节点载荷移置将
22、各单元所受的非节点外载荷分别移置到各单元的相应节点上，在公共节点处应用载荷叠加原理，就可以得出.载荷移置的原则能量等效的原则单元的实际载荷与移置后的等效节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。.单元载荷移置的方法（）直接法：利用能量等效原则，直接进行单元载荷移置只适用于线性位移函数的单元,载荷移置与等效节点载荷,非节点载荷移置,（）普遍公式法：根据能量等效原则，推导出普遍公式适用于各种类型的单元说明：由圣维南原理可知，载荷移置后，只会在结构的局部产生误差。对整个结构的变形或应力状态的影响不大，由于有限元分析中，单元一般都很小，移置的结果不会带来很大的误差。,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置的普
23、遍公式,.集中力的移置公式：设（）单元i,j,m中任意一点（x，y）作用集中载荷P=Px，Px（）各节点上的等效节点载荷向量为：Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,Rmy（）发生微小位移时，集中力作用点相应的虚位移为：f*=u,v（）各节点相应的虚位移为：*e=ui*,vi*,uj*,vj*,um*,vm*,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置的普遍公式,推导：（）根据单元内位移与节点位移关系 f=u,v=N e f*=N*e P（）根据能量等效原则：*e Re=f*P*e Re=（N*e）P=*e NP Re=NP 这就是集中力的移置公式，式中为单元的形函数矩阵。,载荷移置与等效节点载
24、荷,载荷移置的普遍公式,.体力g的移置公式设：单元ijm上作用有体力g=gx,gy 推导（）将单元体tdxdy上的体积力gdxdy当作集中力，应用集中力的移置公式Re=NP 有微元体上dRe=N g tdxdy（）积分在整个单元上有 Re=N g tdxdy=t N g dxdy,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置的普遍公式,3.表面力q的移置公式设单元ijm的jm边上作用有表面力q=qx，qy可将微元面积上tds上的面力qtds当作集中力则Re=sjmdRe=sjm qt ds=tsjm q ds上述公式适用于任何单元及任意坐标方向。,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,以单元自重（或作用在
25、单元形心处的集中力）为例。设一个均质等厚的三角形单元ijm，其厚度为t，面积为，材料比重为，则单元的自重为：W=t,且其作用在单元形心c处,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,思路：（）欲求哪个节点在哪个方向上的载荷分量，就在该方向加一单位虚位移，其他自由度为。（）利用线性位移函数的特点导出几何关系。（）根据能量等效原则列出虚功相等，解出节点载荷分量,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,.直接法求解先求，i在y方向的等效节点载荷设 vi*=1 而ui*=uj*=vj*=um*=vm*=0相当于上图由于，单元具有线性位移函数，当vi*=1时变形情况见上图jm边不动，点b亦不动，由几何关系可知
26、：,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,又根据能量等效原则：式中“”号表示与y轴方向相反 同理可得：,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,类似可以得出：各节点沿x方向的等效节点载荷Rix=Rjx=Rmx=0Re=Rix,Riy,Rjx,Rjy,Rmx,RmyT=-t 0 1 0 1 0 1 T/3上式也表明对三角形单元（均厚，等厚）所受重力，只需将自重平均的移置到节点上，方向与重力方向相同。,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,.普遍公式法求解对于此处为集中力P=0-W T作用在形心c处由Re=N T P可知,载荷移置与等效节点载荷,载荷移置举例,可以证明：在三角形形心c处，有Ni=Nj
27、=Nm=1/3代入上式可得 Re=-W0 1 0 1 0 1 T/3=-t 0 1 0 1 0 1 T/3可见采用上述两种方法移置的结果相同说明：单元具有线性位移函数时，采用直接法移置较简单单元具有非线性位移函数时，只能采用普遍公式法进行。,载荷移置与等效节点载荷,结构刚度方程,通过单元特性分析，可建立单元刚度矩阵Ke同时得到单元刚度方程 Kee=Fe 通过单元载荷移置，可建立节点载荷列阵Re 集合成结构刚度方程的三个方面的内容是：（）单元的节点位移e 结构的节点位移列阵（）单元的节点载荷列阵Re 结构的节点载荷列阵R（）单元的单刚Ke 结构的总刚K 得到 K=R（2-45）,结构刚度方程,结
28、构刚度方程,上为结构刚度方程，表示了节点载荷与节点位移间的关系，是一个以节点位移为未知量的线形代数方程组，可求得，进一步求出应变，应力。,结构刚度方程,集合的基本原则,（）在相互连接的公共节点处，各单元的节点位移必须相等，即必须满足变形协调条件。i=i=i=i 所以，节点位移不须按单元来区分。,结构刚度方程,集合的基本原则,（）公共节点处，各单元对节点的作用力，与作用在该节点上的外载荷Ri之间，必须满足静力平衡条件。Ri=Fi+Fi+Fi+Fi所以，若Ri=0，则有Fi+Fi+Fi+Fi=0,结构刚度方程,结构刚度方程的建立,例：1.结构的节点位移列阵 根据公共节点处的变形协调条件，不同单元在
29、公共节点处的位移相等，则有节点位移列阵=1 2 3 4 T=u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 T（按总体节点编号顺序写出）,结构刚度方程,结构刚度方程的建立,2.结构的节点载荷列阵：（1）若存在非节点载荷，须进行单元载荷移置，并按移置后的等效节点载荷进行叠加 即：Ri=Rix Riy T=Ri+（2）不考虑约束反力的作用（3）与节点位移相对应，结构的节点载荷列阵R亦按总体节点编号顺序排列那么，对于上例 R=R1 R2 R3 R4 T=0 0 0.5P 0 0.5P 0 0 0 T,结构刚度方程,结构刚度方程的建立,式中约束反力 R1=R4=0 0 0 0 T3.结构刚度方程 3节点三角形单元的自由度数为6，单刚Ke为66阶矩阵。总体K由单刚Ke组合而成 总刚K的阶数=结构的自由度数 对于图示的例子，4个节点，共8个自由度，结构刚度矩阵为8 8的方阵。把图中的两个单元离散开为：,结构刚度方程,结构刚度方程的建立,图中，数字为总体节点编号1，2，3，4 字母i,j,m为局部节点编号。,结构刚度方程,结构刚度方程的建立,对应关系，单元 i,j,m 1，2，3 单元 i,j,m 1，3，4则单元 的节点力列阵为：F=F1x F1y F2x F2y F3x F3y T=F1 F2 F3 T单元 节点力列阵为：F=F1 F3 F4
