1、高中数学 212 空间中直线与直线之间的位置关系能力强化提升 新人教A版必修2【成才之路】2014高中数学 2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系能力强化提升 新人教A版必修2一、选择题1异面直线是指()A空间中两条不相交的直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C平面内的一条直线与平面外的一条直线D不同在任何一个平面内的两条直线答案D解析对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面A应排除对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，B应排除对于C，如右图的a，b可看做是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相
2、交直线，C应排除只有D符合定义应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项2a，b为异面直线，且a，b，若l，则直线l必定()A与a，b都相交 B与a，b都不相交C至少与a，b之一相交 D至多与a，b之一相交答案C解析若a，b与l都不相交，则al，bl，即ab，与a，b是异面直线矛盾故选C.3直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A相交 B平行C异面 D以上都有可能答案D解析如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB与A
3、A1相交，A1B1与AA1相交，所以ABA1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面故选D.4正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A3条 B4条C6条 D8条答案C解析画一个正方体，不难得出有6条5下列命题中，正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个 B2个C3个 D4个答案
4、B解析是正确的6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为()A30 B45C60 D90答案A解析取AD的中点H，连FH、EH，在EFH中 EFH90，HE2HF，从而FEH30，故选A.7正方体A1B1C1D1ABCD中，BD与B1C所成的角是()A30 B45C60 D90答案C解析A1DB1C，A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.A1DB为正三角形，A1DB60.8空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC4，BD2，PR3，则AC和BD所成的角为()A90 B60C45 D30答案
5、A解析如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，PQAC，QRBD，PQR为AC和BD所成角又PQAC2，QRBD，RP3PR2PQ2QR2，PQR90即AC和BD所成的角为90，故选A.二、填空题9分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_，不平行的两条直线的位置关系是_，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是_，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为_答案平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面10若ABAB，ACAC，则下列结论：ACBACB；ABCABC180；BACBAC或BACBAC180.一定成立的是_答案11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别
6、为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则MN与PQ的位置关系为_，它们所成的角为_DB1与MN的位置关系为_，它们所成的角是_答案相交60异面90解析连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQD1C，同理MNAC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，D1CA60.连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OHB1D，连AH，HC，则AHHC，OHAC，又MNAC，OHB1D，MNB1D.12正方体ABCDA1B1C1D1中AC和DD1所成角是_度AC和D1C1所成的角是_度AC和B1D1所成的角是_度AC和A1B所成的角是_度O为B1D1中点，AC和BO所
7、成角是_度A1B和B1D1所成角是_度答案90，45，90，60，90，60.解析DD1面ABCD，DD1AC；D1C1DC，DCA45，D1C1与AC成45角；B1D1BD，BDAC，B1D1AC；A1BD1C，D1AC为等边三角形，成60角；在正方体中，O是B1D1中点，O为A1C1中点，又A1BBC1BOA1C1，又ACA1C1，BOAC，AC与BO成90角；B1D1BD，A1BD为等边三角形，成60角三、解答题13如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由分析由于BCB1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1
8、C1即可解析如图所示，在面A1C1内过P作直线EFB1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求理由：EFB1C1，BCB1C1，EFBC.14如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角解析由已知得BCAC，又BCAC，ABC45.又在VBC中，D、E分别为VB、VC中点，DEBC，DE与AB所成的角为ABC45.15如右图，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值分析根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平
9、行线，换句话说，平移BE(或CD)设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为BEF或其补角，解EFB即可获解解析取AC的中点F，连接BF、EF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.16如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点求证：EA1
10、FE1CF1.证明如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BFA1MAB.又BFA1M，四边形A1FBM为平行四边形A1FBM.而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，则F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，F1MBC，且F1MBC.四边形F1MBC为平行四边形，BMF1C.又BMA1F，A1FCF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N綊DE，四边形A1NDE为平行四边形A1EDN.又E1NCD，且E1NCD，四边形E1NDC为平行四边形DNCE1.A1ECE1.EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反EA1FE1CF1.规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明EA1F与E1CF1全等来证明角相等
