1、王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六习题五1.设抽样得到样本观测值为：38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。10_110 _2 2 2 2110 _2 2 21_2 21 1: (38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6) 40.5;10 101 1( ) (38.2 40.5) (40.0 40.5) (40.6 40.5) 2.1587;9 91( ) 2.1587 4.66;91( )10iiiiiiix xs
2、x xs x xx x = = = = + + + = = = 解102194.194.10iS= = 2.设抽样得到100个样本观测值如下：计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。解：由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：6 _16 _2 2 2 216_2 211 1(1 15 2 21 3 25 4 20 5 12 6 7) 3.14;100 1001 1( ) (1 3.14) 15 (6 3.14) 7 2.1216;99 991 99( ) 2.1216 2.1004.100 100i iii iii iix xns x x nx x n = = + + + +
3、 + = = + + = = =3.略4.从总体中抽取容量为n的样本 ，设c为任意常数，k为任意正数，作变换1, ,nX X ( ), 1,2, , .i iY k X c i n = = 证 明 ：（1） （2） 其中 及 分别是 的样本均值及样本 ;YX ck= +222;yxSSk= X2xS1, ,nX X 方差； 及 分别是 的样本均值及样本方差。 Y2yS1, ,nY Y 证明（1） 由 得11,niiX Xn= ( )i iY k X c = iiYX ck= +1 11 1 1( )n niii iY YX c Y nc cn k k n n k= = = + = + = +
4、观测值ix1 2 3 4 5 6频数in15 21 25 20 12 7（2）( ) ( )( )22 21 122 2 2 21 12221 1( )1 1( )n ny i ii in ni i xi iyxS Y Y k X c kX kcn nkX kX k X X k Sn nSSk= = = = = = = = = 5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，设两组的样本均值分别为 及 ，1n2n1X2X样本方差分别为 及 ，把这两组样本合并为一组容量为 的联合样本。21S22S1 2n n +证明：（1）.联合样本的样本均值 ；1 1 2 21 2n X n XXn n+=+
5、（2）.联合样本的样本方差( ) ( ) ( )( )( )22 21 2 1 21 1 2 2 21 2 1 2 1 21 11 1nn X X n S n SSn n n n n n + = + + + 证明：（1）1 1 1 2 2 21 2 1 1 2 21 2 1 2,um umum umS n X S n XS S n X n XXn n n n= =+ += =+ +（2）1 21 22 21 22 1 11 22 21 1 1 2 2 21 11 2( ) ( )1( ) ( )1n ni ii in ni iX X X XSn nX X X X X X X Xn n= = =
6、 + =+ + + + =+ ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )11121 1 112 21 1 1 1 1 11221 1 1 11221 1 1 1( )2( ) 01niini iiniiX X X XX X X X X X X XX X n X Xn S n X X= + = + + = + += + 又( ) ( )( ) ( )( ) ( )222 2 21222 2 2 22 21 1 2 22 2 2 21 1 1 2 2 22 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2( )12 22 2niiX X X Xn S n X Xn X X n X Xn X
7、X X X n X X X Xn X n X X n X n X n X X n X= + = + + = + + += + + + 同理而( )( )( )( )( )1 1 2 21 221 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 22 21 1 1 2 2 2 21 2 1 21 22 2n X n XXn nn X n X n X n X n X n X n X n Xn X n n n Xn n n nn n+=+ + + = + + + + +又化简得( )( ) ( ) ( )( )( )21 2 1 21 222 21 2 1 21 1 2 2 21 2 1 2
8、 1 21 11 1nn X Xn nnn X X n S n SSn n n n n n=+ + = + + + 6设随 机 变 量X,Y,Z相互 独 立 ， 都 服 从 标 准 正 态 分 布N.(0, 1),求随 机 变 量 函 数的分布函数与概率密度；并验证5.4定理1当k=3时成立，即U2 2 2U X Y Z = + +( )23 解：X,Y,Z相互独立且都服从N(0, 1),则U 显然 ( )23 ( )312 2321, 0322, 0uUU e uf u Po u 不然，直接求U的分布函数( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )2 2 22 2 22 2 22
9、2 22 2 232, ,0, 010,2x y z ux y z ux y zx y z uP U u P X Y Z uf x y z dxdydzf x f y f z dxdydzu P U uu P U u e dxdydz+ + + + + + + = + + = = = 当当利用三重积分的性质（略）也可得到结论。7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：随机变量 服从自由度为（1，k）2Y X =的F分布。证明：X ,则可将X记为 N(0, 1),V ( ) t k ,UX UVk= 其中 ( )2k 则 其中 ，V222 1,UUV Vk k = =2U2 ( ) 12 (
10、 ) k由F分布的定义知Y= F(1,k).28.设随机变量X服从自由度为 的F分布，证明：随机变量 服从自由度为 ( )1, 2k k1YX=的F分布；从而证明等式（5.33）： ( ) 1, 2k k( )( )1 1, 22, 11F k kF k k=证明：XF ,则X可写成 ( ) 1, 2k k ( )2 112, ,UkU kVk 其中 ( )22, V k 其 中 ， ， 由F 分 布 定 义 知211,VkYU Xk= = ( )21U k ( )22V k ( )( ) ( )( )2, 11 1, 21 1, 211 11Y F k kP X F k kPX F k k
11、= = = ( )( ) ( )( )( )2, 11 1, 22, 11 1, 21,1P Y P Y F k kF k kF k kF k k = = =又( )( )1 1, 22, 11F k kF k k即 9.设总体X服从正态分布 ( )2, 5 N(1)从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值 与总体均值 之差的绝对值小于1 X 的概率 ( )1 ; P X （2）抽取样本容量n多大时，才能使概率 达到0.95？ ( ) 1 P X 解：(1) ( ) 0, 1XNn ( ) ( ) 1 1 1 P X P X = 1 15 5 564 64 64XP = 8 8 82 15 5
12、 5 = = 2 0.9452 1 0.8904 = =(2)( ) ( ) 1 1 1 P X P X = n X nPn = 2 1 0.95n = = 0.97551.96 9.8 965nnn n = = = =10.从正态总体N 中抽取容量为10的样本 ， ( )2, 0.5 1 2 10, , X X X （1）已知 ，求 的概率。 0 =10214iiX= （2）未知 ，求 的概率。 1021( ) 2.85iiX X= 解：(1)10 102 22 21 11 14 40.5 0.5i iP X P X= = = 又 （P133，定理3）210.51021iiX= ( )210
13、 ( ) ( )210 16 0.10 P = 原式（2）10 102 22 21 11 1( ) 2.85 ( ) 2.850.5 0.5i iP X X P X X= = = 又 （定理4 P133）102211( )0.5iiX X= ( )29 ( ) ( ) ( ) ( )2 29 11.4 1 9 11.4 P P = 原式1 0.25 0.75 = =11. 设总体 ，总体 ，从总体X中抽取容量为10的样本， ( )250, 6 X N ( )246, 4 Y N 从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：（1） （2） ( ) 0 8 P X Y 228.28xySPS 解：（
14、1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 8 0 50 46 50 46 8 50 46 P X Y P X Y = =( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 50 46 50 46 8 50 466 4 6 4 6 410 8 10 8 10 8X YP + + + 有136定理6知，( )( )2 250 460, 16 410 8X YN +( )2 250 46 4 45.6 5.66 410 8X YP + 原式42 1 0.9095.6 = = （2）228.28xySPS 2222 22468.2864xySPS = 又由P139， ( )2222610 1, 8
15、 14xySFS ( ) ( )( ) ( )9, 7 3.681 9, 7 3.68 1 0.05 0.95FF = = （2） ( )1 2, 10min , , 5 P X X X 解：（1） 1 ( )1 2, 10max , , 10 P X X X ( )1 2, 10max , , 10 P X X X ( )( ) ( ) ( )( )( )1 2 101 2 1010110101 10, 10, , 101 10 10 108 10 81 ( )2 21 11 0.8413 0.8224P X X XP X P X P XXP= = = ( )( )( )( )1 2 101
16、0110110101 5, 5, , 51 1 58 5 81 1 ( )2 21 1 1.51 1.5 0.4991P X X XP P XXP= = = = = =14.设总体X服从泊松分布 ，抽取样本 ，求： ( ) P1, ,nX X （1）样本均值 的期望与方差； X（2）样本均值 的概率分布。 X解 ：（1）X( )1 1 12 211 1 1,1 1n n ni ii i iniiX X Xn n nDX DX nn n n = = = = = = = = （ 2 ） 由 泊 松 分 布 的 可 加 性 有 ：( ) ( )1 2 nnY X X X P P n = + + +
17、+ + 个，则YXn = ( )( ), 0,1,2,!yny nP X P Y y e yn y = = = = = 15.设总体X服从指数分布 ，抽取样本 ，求： ( ) e 1, ,nX X （1）样本均值 的期望与方差； X（2）样本方差 的数学期望。2S解：（1）211 1iiX XDX DXn n = = =2 212 212 211(2) ( )11( )11)1niiniiniiS X XnX nXnX n Xn= = = = ( )( )222 22 2222 222 2 22 221 1 2,1 11 2 1 111 111i i i iDX X X XX DX XnnS nn nnn = = + = = + = + = + = =1第六章参数估计2.设总体 的概率密度为 X nx x x , , ,2 1 解：（1）先求总体一阶矩：1 011) ; ( ) (1101+=+= = =+ + x dx x x dx x xf X E样本一
