1、三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）ABDAEC （2）+BOC=180（3）OA平分BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）ABEDBC(2)AE=DC(3)AE与DC之间的夹角为60(4)AGBDFB(5)EGBCFB(6)BH平分AHC(7)GF/AC1变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）ABEDBC（2）AE=DC（3）AE与DC之间的夹角为60（4）A
2、E与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）ABEDBC(2）AE=DC(3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H问：（1）ADGCDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？2
3、例4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,ABD=CBE=,连结AE与CD，问：（1）ABEDBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分AHC？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。12AB M C【练1ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AE=BF，连接CE、CF，求证：AC+BCEC+FCCA E F B【例
4、2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE3EAFBDC【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFCFDEA B【练2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD为ABC的角平分线CDEAGBF【练3】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上DE=CD，EF=AC求证：EFABAFB E D C【例3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分
5、别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEFCFMAEB【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE=90若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为_4AD FC E B【练2】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MDND（1）若A=90，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？14AMNBDC【例4】如图所示，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD=2ECAEB CD【练1】已知ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线
6、，且BD=AB，CE为ABC的AB边上的中线求证：CD=2CECA E B D全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1. 如图所示，ABC中，C=900,B=450，AD平分BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。A5C D B如图所示，在ABC中，B=600，ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。AEBODC2. 如图所示，已知1=2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD，求证：BAP+BCP=1800。MBA12PNDCC3.
7、 如图所示，在RtABC中，AB=AC，BAC=900，ABD=CBD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。5如图所示，在ABC中，ABC=900，AD为BAC的平分线，C=300，BEAD于E点，求证：AC-AB=2BE。AEDCBAECB D66.如图所示，已知AB/CD，ABC,BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD 。7.如图，E是 AOB的平分线上一点，EC OA，ED OB，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。BAECDACFEODB7三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_问题2：角平分线（性质）定理是_问题3：等腰三角形
8、的两个底角_，简称_；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也_，简称_问题4：当见到线段的_考虑截长补短，构造全等或等腰转移_、转移_，然后和_重新组合解决问题三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM平分ABC，P为BM上一点，PDBC于点D，BD=AB+CD求证：BAP+BCP=180请你仔细观察下列序号所代表的内容： ；1=2；A=BEP；AP=PE； ； ； ； 以上空缺处依次所填最恰当的是( )A. B.C. D.2.已知，如图，BM平分ABC，点P为BM上一点，PDBC于点D，BD=AB+DC求证：BAP+BCP=180第8页共18页请你
9、仔细观察下列序号所代表的内容：延长BA，过点P作PEBA于点E；延长BA到E，使AE=DC，连接PE；延长BA到E，使DC=AE； ； ； ； 以上空缺处依次所填最恰当的是( )A. B.C. D.3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分CDE，BAE=2CAD，求证：BC+DE=CD第9页共18页请你仔细观察下列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB，连接AF；在DC上截取DF=DE，连接AF；在DC上截取DF=DE；AE=AF；AF=AE，4=3；4=3； ； ；以上空缺处依次所填最恰当的是( )A. B.C. D.4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BA
10、E=2CAD，ABC+AED=180，求证：BC+DE=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长DE到F，使EF=BC，连接AF；延长DE到F，使BC=EF；第10页共18页延长DE到F，连接AF； ； ； ； ；以上空缺处依次所填最恰当的是( )A. B.C. D.第11页共18页四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P是正ABC内的一点，若将PBC绕点B旋转到 BA，则PBP的度数是( )A45 B60C90 D120【例2】如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证
11、：BDCF并求出DOH的度数。【例3】如图，正方形ABCD中，FADFAE。求证：BEDFAE。1题干中出现对图形的旋转现成的全等2图形中隐藏着旋转位置关系的全等形找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形ABCD中，MAN45，MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证：BMDNMN。【例5】如图，正方形ABCD中，EAF45，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，证明：DN2BM2MN2【例6】如图，已知OAB和OCD是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，AC和BO交于点F，连结BC。求AEB的大小。【例7】如图所示：ABC
12、中，ACB90，ACBC，P是ABC内的一点，且AP3，CP2，BP1，求BPC的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)1图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形)2这些相等的边中存在共端点。3如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1大角夹半角2手拉手(寻找旋转)3被分割的特殊角测试题1如图，P是正ABC内的一点，且BP是ABC的角平分线，若将PBC绕点P旋转到PBA，则PBP的度数是( )A45 B60 C90 D120AFBPAPE2如AB
13、DCBC中，ABAC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BDCE，F为BA延长线上一点，BFCD，则下列正确的是( )ADFDE BDCDF CECEA D不确定3如图，四边形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，则下列正确的是( )ABD2AB2BC2 BBD2AB2BC2 CBD2AB2BC2 D不确定4已知ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE为角平分线交CD于F，则图中的直角三角形有( )A7个 B6个 C5个 D4个5如图，DAAB，EAAC，ADAB，AEAC，则下列正确的是( )AABDACECBMFCMSACBADFAESDADCABEDEDAAFBDEPB
14、EFFBCMS， ，6如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上的一点(不与A、C重合)PEBC与点EPFCD与点F，若四边形PECF绕点CC逆时针旋转，连结BE、DF，则下列一定正确的是( )ABPDP BBE2EC2BC2 CBPDFDBEDF7如图，等腰直角ADB与等腰直角AEC共点于A，连结BE、CD，则下列一定正确的是( )ABEDC BADCE CBECE DBECEEAFDDAB CEBGAOFBECC8如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE，则EOB的度数为( ) A45B60C90 D1209如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F
15、分别是边BC、CD上12AEF=BE+FD BEFBE+FDCEFBE+FD DEF2=BE2+FD210在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，则BAEDCF为( )A45 B60 C90 D120ADFEB C五、寻找全等三角形的几种方法.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考一、利用公共角例1如图1，ABAC,AEAF.求证:BC.分析：要证明BC，只需证明BOECOF或ABFACE.而由图形可知A是公共角，
16、又由已知条件ABAC,AEAF,所以ABFACE，于是问题获证二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例2如图2，B、E、F、D在同一直线上，ABCD，BEDF，AECF，连接AC交BD于点O求证：AOCO分析：要证明AO，只需证明 AOECOF或AOBCOD即可根据现有条件都无法直接证明而由已知条件ABCD，BEDF,AECF可直接证明ABECDF，则有AEBCFD，进而有AEOCFO,再利用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例3如图3，ABCD，ACBD求证：BC分析：设AC与BD交于点O，此时B与C分别在AOB和DOC中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等
17、的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形此时可以连接AD，那么AD是ABD和DCA的公共边，这样可以证明ABDDCA四、利用相等线段中的公共部分例4如图4，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AFCE.求证：BEDF.分析：要证明BEDF,只需证明BECDFA，此时可以转换为证明AEBCFD,进而证明AEBCFD.ACBADADEFEEOOOFB 图1FCD图2AB图3CB图4C五、利用等角中的公共部分例5如图5，已知E30，ABAD，ACAE，BAEDAC求C的度数分析：已知E30，要求，可考虑证明ABCADE,由BAEDAC,结合图形可知BACDAE，于是问题获解六、利用互余或互
18、补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6，已知DCE90，DAC90，BEAC于B,且DCEC,能否找出与AB+AD相等的线段，并说明理由分析：由于ACAB+BC，可以猜想ACAB+AD，或BEAB+AD，此时只需证明ADBC即可而事实上，用同角的余角相等可得到DCA，从而证明 ADCBCE，问题获证例7，如图71，在正方形ABCD中，M,N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O,若BON=90，求证：DNCCMB.变式：如图7，在等边 ABC中，M,N分别是AC,AB上的点，BM与CN相交于点O,若BON=60，求证:ANCCMBEEANDABNCAMMD图5ADB图6CBO图7
19、-1CBO图7-2C七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等例8，如图8，点P是ABC的平分线BN上一点，PE垂直AB所在的直线与E,PF垂直BC所在的直线于F,PAB+PCB=180。求证PA=PC.考点二：利用截长补短法构造全等三角形所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。例9，如图9，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.“分析：从结论分析，截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。.所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形类型一：直角三角形中的“一线三等角”例10，如图， ABC中，B=90，CDAC，过D作DEAB交BC延长线与E。且AC=CD，求证：ABCCED。类型二：等腰三角形中地边上的“一线三等角”例11，如图，在 ABC中，AB=AC，点D,E分别在AB,BC上，作DEF=B，射线EF交线段AC于F若DE=EF,求证：DBEECF；AEPNA12ADDAFB图8FCDCBC图10EBC
