1、高中数学步步高大一轮复习讲义文科第一章 131.3全称量词与存在量词、逻辑联结词1 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任意一条”“一切”等(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题3 命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pq綈p綈qp或qp且q綈(p或q)綈(p且q)綈p或綈
2、q綈p且綈q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)命题且q为假命题，则命题p、q都是假命题 ()(2)已知命题p：存在n0N,2n01 000，则綈p：存在nN,2n01 000. ()(3)命题p和綈p不可能都是真命题 ()(4)命题“任意xR，x20”的否定是“任意xR，x20” ()(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题 ()2 命题p：任意xR，sin x1；命题q：存在xR，cos x1，则下列结论是真命题的是 ()Ap且q B綈p且qCp或綈q D綈p且綈q答案B解析p
3、是假命题，q是真命题，綈p且q是真命题3 (2013重庆)命题“对任意xR，都有x20”的否定为 ()A对任意xR，都有x20B不存在xR，使得x20C存在x0R，使得x0D存在x0R，使得x0答案D解析因为“任意xM，p(x)”的否定是“存在xM，綈p(x)”，故“对任意xR，都有x20”的否定是“存在x0R，使得x0”4 (2013湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ()A(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)C(綈p)且(綈q) Dp或q答案A解析“至少有一位学员没有
4、落在指定范围”“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”(綈p)或(綈q)5 若命题“存在xR，x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围是_答案4,0解析“存在xR，x2mxm0”是假命题，则“任意xR，x2mxm0”是真命题即m24m0，4m0.题型一全(特)称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：任意xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.思维启迪否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假解(1)綈p：存在x0R，xx00，真命题(4)綈s：任意xR，x310，假命题思维升
5、华(1)对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定对原命题的结论进行否定(2)判定全称命题“任意xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个xx0，使p(x0)成立(1)已知命题p：任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈p是()A存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0B任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0C存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0D任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x
6、2x1)1”的否定是 ()A对任意实数x，都有x1B不存在实数x，使x1C对任意实数x ，都有x1D存在实数x，使x1答案(1)C(2)C解析(1)綈p：存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)1”的否定是“对任意实数x，都有x1”故选C.题型二含有逻辑联结词命题的真假判断例2命题p：将函数ysin 2x的图像向右平移个单位得到函数ysin的图像；命题q：函数ysincos的最小正周期为，则命题“p或q”“p且q”“綈p”为真命题的个数是 ()A1 B2 C3 D0思维启迪先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p或q、p且q、綈p的真假答案B解析函数ysin 2x的图像向右平移
7、个单位后，所得函数为ysinsin，命题p是假命题又ysincossincossin2cos，其最小正周期为T，命题q真由此，可判断命题“p或q”真，“p且q”假，“綈p”为真思维升华“p或q”“p且q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”形式命题的真假(1)若命题p：函数yx22x的单调递增区间是1，)，命题q：函数yx的单调递增区间是1，)，则 ()Ap且q是真命题 Bp或q是假命题C綈p是真命题 D綈q是真命题(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的_条件答案(1)D(2)必要不充分解析(1
8、)因为函数yx22x的单调递增区间是1，)，所以p是真命题；因为函数yx的单调递增区间(，0)和(0，)，所以q是假命题所以p且q为假命题，p或q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.(2)若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件题型三逻辑联结词与命题真假的应用例3(1)已知p：存在xR，mx210，q：任意xR，x2mx10，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为 ()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m2(2)已知命题p：“任意x0,1，aex”；命题q：“存在xR，
9、使得x24xa0”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_思维启迪利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围答案(1)A(2)e,4解析(1)依题意知，p，q均为假命题当p是假命题时，mx210恒成立，则有m0；当q是假命题时，则有m240，m2或m2.因此由p，q均为假命题得，即m2.(2)若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题由任意x0,1，aex, 得ae；由存在xR，使x24xa0，知164a0，a4，因此ea4.思维升华以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p且q
10、”“p或q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可(1)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”，命题q：“存在xR，使x22ax2a0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 ()Aa|a2或a1 Ba|a1Ca|a2或1a2 Da|2a1(2)命题“存在xR,2x23ax90，且c1，设p：函数ycx在R上单调递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围思维启迪(1)p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真
11、，确定p、q的真假规范解答解函数ycx在R上单调递减，0c1. 2分即p：0c0且c1，綈p：c1. 3分又f(x)x22cx1在上为增函数，c.即q：00且c1，綈q：c且c1. 5分又“p或q”为真，“p且q”为假，p真q假或p假q真 6分当p真，q假时，c|0c1. 10分综上所述，实数c的取值范围是. 12分第一步：求命题p、q对应的参数的范围第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p且q”或“p或q”第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应
12、的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1 把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解2 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”失误与防范1 p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真2 p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3 命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否
13、定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 设命题p：函数ysin 2x的最小正周期为；命题q：函数ycos x的图像关于直线x对称则下列判断正确的是 ()Ap为真 B綈q为假Cp且q为假 Dp或q为真答案C解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确2 (2013四川)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：任意xA,2xB，则 ()A綈p：任意xA,2xB B綈p：任意xA,2xBC綈p：存在xA,2xB D綈p：存在xA,2xB答案D解析命题p：任意xA,2xB是一个全称命题，其命题
14、的否定綈p应为存在xA,2xB，选D.3 已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ()A綈p或q Bp且qC綈p且綈q D綈p或綈q答案D解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题4 已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列an中(其中公差d0)，mnpq是anamapaq的充分不必要条件(m，n，p，qN)则下面选项中真命题是 ()A綈p且綈q B綈p或綈qC綈p或q Dp且q答案B解析对于命题p，如图所示，作出函数yax(a1)与ylogax(a1)在(0，)上的图像，显然当a1时，函
15、数yax的图像在函数ylogax图像的上方，即当a1时，axlogax恒成立，故命题p为真命题对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，mnpq是anamapaq的充要条件，故命题q为假命题命题綈p为假，綈q为真，故綈p或綈q为真5 下列命题中，真命题是 ()A存在x0，sin x0cos x02B任意x(3，)，x22x1C存在x0R，xx01D任意x，tan xsin x答案B解析对于选项A，任意x，sin xcos xsin，此命题为假命题；对于选项B，当x(3，)时，x22x1(x1)220，此命题为真命题；对于选项C，任意xR，x2x120，此命题为假命题；对于选项D，当x时
16、，tan x0sin x，此命题为假命题故选B.6 下列结论正确的个数是 ()命题p：“存在x0R，x20”的否定为綈p：“任意xR，x22N”是“MN”的充分不必要条件A0 B1 C2 D3答案C解析对于，易知是正确的；对于，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p是綈q的充分条件，正确；对于，由MN不能得到MN，因此是错误的故选C.二、填空题7 若命题p：关于x的不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|ax0.则命题“p且綈q”是假命题；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l
17、1l2的充要条件是3；命题“若x23x20，则x1”的逆否命题：“若x1，则x23x20”其中正确结论的序号为_答案解析中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且綈q为假命题，故正确；当ba0时，有l1l2，故不正确；正确所以正确结论的序号为.三、解答题9 写出下列命题的否定，并判断真假：(1)q：任意xR，x不是5x120的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：存在x0R，|x0|0.解(1)綈q：存在x0R，x0是5x120的根，真命题(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题(3)綈s：任意xR，|x|0，假命题10已知c0，设命题p：函数ycx为减函数命题q：当x时，函数f(x)x恒成
18、立如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围解由命题p为真知，0c1，由命题q为真知，2x，要使此式恒成立，需，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是00B任意xN，(x1)20C存在xR，lg x1D存在xR，tan x2答案B解析A正确；对于B，当x1时，(x1)20，错误；对于C，当x(0,1)时，lg x01，正确；对于D，存在xR，tan x2，正确2 “命题存在xR，x2ax4a0为假命题”是“16a0”的 ()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为“存在xR，x2a
19、x4a0”为假命题，所以“任意xR，x2ax4a0”为真命题所以a216a0，即16a0.所以“命题存在xR，x2ax4a1的解集是x|x0；q：函数y的定义域为R.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是_答案1，)解析根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为Pa|0a1，对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2xa0恒成立当a0时，不等式为x0，解得x0，显然不成立；当a0时，不等式恒成立的条件是，解得a.所以命题q为真命题时，a的取值集合为Qa|a由“p或q是真命题，p且q是假命题”，可知命题p，q一真一假，当p真q假时，a的取值范围是P(RQ)a|0a1a|aa|0a2或a2或a2
