1、MATLAB非线性规划问题封面作者：PanHongliang仅供个人学习一非线性规划课题实例1 表面积为36平方M的最大长方体体积.建立数学模型：设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积.max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)实例2 投资决策问题某公司准备用5000万元用于A、B两个工程的投资，设x1、x2分别表示配给工程A、B的投资.预计工程A、B的年收益分别为20%和16%.同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小.建立数学模
2、型： max f=20x1+16x2-2x12+x22+(x1+x2)2 s.t x1+x25000x 10,x20目标函数中的0是权重系数.由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题.非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题.实例1为无约束问题，实例2为有约束问题.二无约束非线性规划问题：求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量用fminbnd,fminsearch,fminunc。多变量用fminsearch,fminnuc1fminunc函数调用格式： x=f
3、minunc(fun,x0) x=fminunc(fun,x0,options) x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2) x,fval=fminunc() x,fval, exitflag=fminunc() x,fval, exitflag,output=fminunc()x,fval, exitflag,output,grad=fminunc()x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminunc()说明：fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的初始点.options指定优化参数.返回的x为最优解向量；fval为x处的目标函
4、数值；exitflag描述函数的输出条件；output返回优化信息；grad返回目标函数在x处的梯度.Hessian返回在x处目标函数的Hessian矩阵信息.例1 ：求程序：通过绘图确定一个初始点：x,y=meshgrid(-10:.5:10)。z= 8*x-4*y +x.2+3*y.2。surf(x,y,z)选初始点：x0=(0,0)x0=0,0。x,fval,exitflag=fminunc(8*x(1)-4*x(2) +x(1)2+3*x(2)2,x0)结果：x = -4.0000 0.6667fval = -17.3333exitflag = 1 例2：程序：取初始点：x0=(1,1
5、)x0=1,1。x,fval,exitflag=fminunc（4*x(1)2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)2,x0)结果： x = 1.0e-007 * -0.1721 0.1896fval = 2.7239e-016exitflag = 12 minsearch函数调用格式： x=fminsearch(fun,x0) x=fminsearch(fun,x0,options) x=fminsearch(fun,x0,options,P1,P2) x,fval=fminsearch() x,fval, exitflag=fminsearch() x,fval, exitflag,out
6、put=fminsearch()x,fval, exitflag,output,grad=fminsearch()x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminsearch()说明：参数及返回变量同上一函数.对求解二次以上的问题，fminsearch函数比fminunc函数有效.3. fminbnd函数 调用格式： x,fval=fminbnd(fun,x1,x2,options)x=fminbnd()例5 求min e-x+x2,搜索区间为（0，1）x,fval=fminbnd(exp(-x)+x.2,0,1)x = 0.3517fval = 0.8272
7、4多元非线性最小二乘问题：非线线性最小二乘问题的数学模型为：其中L为常数.调用格式： x=lsqnonlin(fun,x0) x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,options) x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2) x,resnorm=lsqnonlin() x,resnorm, residual,exitflag=lsqnonlin() x,resnorm, residual , exitflag,output=lsqnonlin()x,resnorm, residual,exitflag, output,l
8、ambda=lsqnonlin()x,resnorm, r esidual,exitflag, output,lambda,jacobian=lsqnonlin()说明：x返回解向量；resnorm返回x处残差的平方范数值：sum(fun(x).2)；residual返回x处的残差值fun(x)；lambda返回包含x处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian返回解x处的fun函数的雅可比矩阵.lsqnonlin默认时选择大型优化算法.Lsqnonlin通过将options.LargeScale设置为off来作中型优化算法.其采用一维搜索法.例4求 minf=4(x2-x1)2+(x2-4)2
9、，选择初始点x0(1,1)程序：f =4*(x(2)-x(1)2+(x(2)-4)2x,reshorm=lsqnonlin(f,1,1)结果： x = 3.9896 3.9912reshorm =5.0037e-009结果：x = 0.2578 0.2578resnorm = 124.3622二有约束非线性规划问题：数学模型： min F(x)s.t Gi (x)0 i=1,m Gj (x) =0 j=m+1,n xlxxu其中：F(x)为多元实值函数，G(x)为向量值函数，在有约束非线性规划问题中，通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础.其基于K-T方程解的
10、方法.它的K-T方程可表达为：方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消.由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子i来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异.调用格式: x=fmincon(f,x0,A,b) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x,fval=fmincon() x, fval, exitflag=fmincon(
11、) x, fval, exitflag, output=fmincon() x, fval, exitflag, output, lambda=fmincon()说明：x=fmincon(f,x0,A,b)返回值x为最优解向量.其中：x0为初始点.A,b为不等式约束的系数矩阵和右端列向量. x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题.若没有不等式约束，则令A= 、b= .x=fmincon(f, x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, nonlcon ,options) 中lb ,ub为变量 x的下界和上界；nonlcon=fun,由M文件fun.m给定非线
12、性不等式约束c (x)0和等式约束g(x)=0；options为指定优化参数进行最小化.Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式,其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量，是非线性向量函数.Matlab中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量，其中FUN是用M文件定义的函数；X0是的初始值；A,B,Aeq,Beq定义了线性约束，如果没有等式约束，则A=,B=,Aeq=,Beq=；LB和UB是变量的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=，UB=，如果无下界，则LB=-inf，如果无上界，则UB=in
13、f；NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数；OPTIONS定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置. 例2 求下列非线性规划问题（）编写M文件fun1.mfunction f=fun1(x)。f=x(1)2+x(2)2+8。和M文件fun2.mfunction g,h=fun2(x)。g=-x(1)2+x(2)。h=-x(1)-x(2)2+2。 %等式约束（）在Matlab的命令窗口依次输入options=optimset。x,y=fmincon(fun1,rand(2,1),zeros(2,1), .fun2, options)就可以求得当时，最小值.例6：求解：min 10
14、0(x2-x12 )2+(1-x1)2 s.t x12。x22程序：首先建立ff6.m文件：function f=ff6(x)f=100*(x(2)-x(2)2)2+(1-x(1)2。然后在工作空间键入程序：x0=1.1,1.1。 A=1 0。0 1。b=2。2。x,fval=fmincon(ff6,x0,A,b)结果： x = 1.0000 1.0000fval = 3.1936e-011例8求解：minf=ex1(6x12+3x22+2x1x2+4x2+1) s.t x1x2-x1-x2+10 -2x1x2-50程序：首先建立目标函数文件ff8.m文件：function f=ff8(x)
15、f=exp(x(1)*(6*x(1)2+3*x(2)2+2*x(1)*x(2)+4*x(2)+1)。再建立非线性的约束条件文件：ff8g.mfunction c,ceq=ff8g(x)c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；ceq=。然后在工作空间键入程序：x0=1,1。 nonlcon=ff8gx,fval =fmincon(ff8,x0,nonlcon)结果： x = -2.5000 1.0000fval = 3.3244exitflag = 1 当有等式约束时，要放在矩阵g的位置，如上例中加等式约束： x(1)+2*x(1)=0程序
16、：首先建立 fun1.m文件：functionc,g=ff8g1(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5； g(1)=x(1)+2*x(2)。然后在工作空间键入程序：x0=-1,1。 nonlcon=ff8g1。x,fval,exitflag =fmincon(ff8,x0, nonlcon)结果： x = -2.2361 1.1180fval = 3.6576exitflag = 1版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。版权为潘宏亮个人所有This article includes some parts,
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