1、概率论与数理统计教案概率论与数理统计教案概率论与数理统计课程教案(按章编写) 刘琼荪 第一章 随机事件及其概率电子书 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,; (3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算; (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。了解概率的公理化定义。 二(本章的教学内容及学时分配 第一节 随机事件及事件之间的关系 2学时 第二节 事件的概率 1(古典概率及几何概率 2学时 2(概率的性质、概率的统计定义和公理化定义 综合案例 2学时 三(
2、本章教学内容的重点和难点 1) 随机事件及随机事件之间的关系; 2) 古典概型及概率计算; 3)概率的性质; 四(本章教学内容的深化和拓宽 归纳一类的古典概型的概率计算问题，例如计算“30位同学的生日都不在同一天”的概率，归结于“30个球随机放入365个盒中，盒子的装球数不超过1”的概率计算问题。 五(教学过程中应注意的问题 1) 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件; ABABABABABA,2) 注意让学生理解事件的具体含义，理解事件的互斥关系; 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律; 4) 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合
3、，复习排列、组合原理; 5) 讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回; 六(思考题和习题 思考题:1. 集合的并运算和差运算,是否存在消去律, ,2. 怎样理解互斥事件和逆事件, 3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点,哪些相同点, 习题:P20-21, 第1、2、3、8、9、11、14、17、25、19、20、26、27、28题 第二章 条件概率与事件的独立性 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解条件概率和事件的独立性的概念; (2) 掌握条件概率公式、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及运用 这些公式进行各种概率计算; (3)理解重复独立试验的概念和二项概率公式的问题
4、背景，会使用事件的独立性和二项概率公式进行各种概率计算 。二(本章的教学内容及学时分配 第一节 条件概率 条件概率定义、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式 2学时 第二节 事件的独立性 两个事件的独立性、多个事件的独立性、独立重复试验、二项概率公式 2学时 第三节 例子与应用(包括第一、二章习题评讲) 2学时 三(本章的教学内容的重点和难点 a) 各种概率公式的理解与运用; b) 事件之间的独立性; 四(本章教学内容的深化和拓宽 两个事件之间的加法公式和乘法公式推广到任意n个事件时间的加法公式和乘法公式，并且注意条件的放宽。 五(教学过程中应注意的问题 PA()PAB(|)PAB(|)PAB()
5、a) 使学生理解条件概率，注意区分与，与; b) 应用全概率公式解决实际问题的关键是从已知条件中找到有限个事件构成样本空间的一个分割，体现“各个击破”，“分而食之”的解题策略。 c) 事件之间的互斥与事件之间的独立性是两个不同的概念，不要混淆; d) 注意抽样方式与独立性的关系，n个事件之间的两两独立不能推出它们相互独立; 六(思考题和习题 思考题:1. 体育比赛中抽签决定先后次序的机会是均等的吗,试用乘法公式给予解释。 2. 试用贝叶斯公式解释医生看病诊断出错的概率。 3. 条件概率公式的性质有哪些,加法公式成立吗, 4(举例说明二项公式的应用。 习题:P36-39, 第4、5、7、9、10
6、、11、12、14、17、18、19题 第三章 一维随机变量及其分布 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续 型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率; (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质; (3) 掌握求简单随机变量函数的概率分布。 二(本章的教学内容及学时分配 第一节 随机变量及分布函数 2学时 第二节 离散型随机变量及其分布 离散随机变量及分布律、分布律的特征、常见分布(0-1分布、二项分布、泊松分布和几何分布) 2学时 第三节 连
7、续型随机变量及其分布 连续随机变量及密度函数、密度函数的性质、常见分布(均匀分布、指数分布、正态分布)及概率计算 2学时 第四节 随机变量的函数的分布 ,()xX 已知X的分布率pi或密度函数，例如求的分布2,()xYfX,()YaXbYXYX,，,|Y率或密度函数。函数分单值和非单值。 2学时 三(本章教学内容的重点和难点 a) 随机变量的定义、分布函数及性质; b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率; c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布); 四(本章教学内容的深化和拓宽 a) 离散型分布和连续型分
8、布是两种重要的分布，但并不是所有的分布都是这两种分布;可能存在混合性随机变量。 YfX,()Xb) 归纳当随机变量的连续型时，随机变量函数的密度函数的一般公,11,()|()|()yfyfy,YX式:; 五(教学过程中应注意的问题 FxPXx(),a) 注意分布函数的特殊值及左连续性概念的理解; Fx()b) 构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数之间的关系; Fx()c) 构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数之间的关系; Fx()PXx()0,xd) 连续型随机变量的分布函数关于处处连续，且，其中为任意PA()0,xA,实数，同时说明了不能推导。 e) 注意正态分布的标准
9、化以及计算查表问题; 六(思考题和习题 x,ex,0,Fx(),x1,0,ex,思考题:1. 函数是否是某个随机变量的分布函数, PXxorPXx,Fx() 2. 分布函数有两种定义，主要的区别是什么, 3. 均匀分布与几何概率有何联系, 4. 讨论指数分布与泊松分布之间的关系。 5(列举正态分布的应用。 习题:P61-63, 第1、2、5、6、8、9、10、12、15、16、17、18、19、21、22、23、24、26、28、29、31、32、33题 第四章 二维随机变量及其分布 一(教学目标及基本要求 (1) 了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变
10、量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。 (2) 会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3) 掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4) 会求两个独立随机变量的简单函数(如函数X+Y, max(X, Y), min(X, Y)的分布。 二(教学内容及学时分配 第一节 二维随机变量的分布函数 离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、 二维均匀分布和正态分布的特征 2学时 第二节 边缘分布与条件分布 边缘分布律、边缘密度函数、条件分布 2学时 第三节 随机变量的独立性 2学时 第四节 二维随机变量的函数的分布 ,
11、(,)xyZfXY,(,) 已知(X,Y)的分布率pi，求的分布律或密度函数或密度函数j,()zZXYZXYZXY,max(,),min(,)Z。特别如函数形式:。 2学时 三(本章教学内容的重点和难点 a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处; ，,()(,)xxydy,X,b) 边缘密度函数的计算公式:的运用，特别是积分限的确定和,变量x的讨论; 的取值范围c) 随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘分布律或密度函数可以确定联合分布律或联合密度函数; ，,()(,)txtxdx,XY，,ZXY,，d) 推导的密度函数的卷积公式:，正确使用卷,积公式
12、; ZXYZXY,max(,),min(,)e) 在X，Y独立性的条件下，推导的密度函数，注意它们在可靠性方面的应用。 四(本章教学内容的深化和拓宽 Fxxx(,.,)Fxy(,)12na) 将二维随机变量的分布推广到n维随机变量的分布，并且,(,)()()xyxy,XY将二维密度函数在独立性的条件下满足的性质:推广到如下n,(,.,)()xxxx,12nXii,1i公式:; ，,tax,()(,)txdx,aXbY，,bb) 卷积公式的推广: ,ZXYZXY,max(,),min(,)c) 将确定的密度函数的方法拓宽到确定 ZXXXZXX,max(,.,),min(,)？121nn的密度函数
13、的方法。 d) 将二项分布、泊松分布和正态分布的两个变量的线性可加性拓展到n个变量的线性2XX,？Na(,),1n可加性。例如，设独立同分布于正态分布，则n2XNnan(,),i,1i。 五(教学过程中应注意的问题 a) 注意联合分布函数能决定任意随机变量X或Y的分布(边缘分布)，反之则不能确定(X，Y)的联合分布，由正态分布可以说明; (,)xy00b) 在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点，使得: PXxYyPXxPYy(,)()(),(,)()()xyxy,00000000XY或，则称变量X与Y不独立; c) 一般计算概率使用如下公式: PXYGxydxdy(,)(,),(,)
14、xyG, ，注意二重积分运算知识点的复习。 d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。 六(思考题和习题 XY,思考题:1. 由随机变量的边缘分布能否决定它们的联合分布, 2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导, 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致, 4(如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题:P94-96, 第2、3、4、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、17、19、20题 第五章 随机变量的数字特征 一(教学目标及基本要求 (1) 理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式; (2) 掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函
15、数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。 (3) 熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期 望和方差; (4) 了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 二(教学内容及学时分配 第一节 数学期望 离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质 3学时 第二节 方差 方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳 2学时 第三节 协方差与相关系数(包括矩的概念) 1学时 三(本章教学内容的重点和难点 a) 数学期望、方差的具体含义; b) 数学期望、方差的性质，使用
16、性质简化计算的技巧;特别是级数的求和运算。 c) 期望、方差的应用; 四(本章教学内容的深化和拓宽 将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵;协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。 五(教学过程中应注意的问题 a) 一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子; b) 数学期望的一个具体的数字，不是函数; c) 由方差的定义知，方差是非负的; ，反之则d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，X与Y独立，则X与Y不相关不然，但对于正态分布，两者却是等价的; 六(思考题和习题 思考题:1. 假定一个系统由
17、5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少,并比较其优劣。 EXEX|, 2. 方差的定义为什么不是, 3. 工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念, 4(协方差与相关系数有什么本质上的区别, cov(,)0XY,XY 5(随机变量与独立可以推导，反之呢,对正态分布又如何呢, 习题:P115-117, 第1、4、5、6、8、9、12、13、14、16、17、18、19、20、23、24、27、29题。 第六章 大数定律和中心极限定理 一(教学目标及基本要求 了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。
18、 二(教学内容及学时分配 第一节 切比雪夫不等式 第二节 大数定律 第三节 中心极限定理 12学时 三(本章教学内容的重点和难点 大数定律和中心极限定理的含义; 四(本章教学内容的深化和拓宽 中心极限定理的条件拓宽。 五(教学过程中应注意的问题 1)大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式; 2)注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题; 六(思考题和习题 思考:用c语言编程实现中心极限定理的一个极限过程，观察的结果用图形呈现出来。 习题:P126, 第1、2、6、7题。 第七章 数理统计的基本概念 一(教学目标及基本要求 (1) 理解总体、样本和统计量的概念;
19、了解经验分布函数和直方图的概念 (2) 掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 (3) 了解卡方分布、t-分布和F分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算概率。 体下样本均值、样本方差、t统计量的分布及性质。 (4) 掌握在正态总二(教学内容及学时分配 (1) 第一节 总体与样本 第二节 统计量 第三节 顺序统计量、经验分布函数和直方图 (合计:3学时) 第四节 抽样分布 2,(2) 几个重要分布(正态分布，-分布，t-分布，F-分布)、抽样分布定理、分位数 3学时 三(本章教学内容的重点和难点 a) 数理统计与概率论在研究问题和方法上的根本区别; b) 总体、样本的概念; c) 统计量
20、的定义和常用的统计量; d) 正态分布以及由正态分布导出的三大统计分布，抽样分布定理，分位数的概念。 2,t,F,e) -分布、分布和分布的定义 四(本章教学内容的深化和拓宽 对抽样分布定理的深入理解，构造某些统计量并推导该统计量的分布; 五(教学过程中应注意的问题 Xa,(0,1)N2XNa(,),a) 正态分布的标准化:若，则; b) “独立正态变量之和仍为正态变量”和中心极限定理的应用; c) 对三大统计分布定义深入分析，补充例子加以说明，如 2XX,？N(0,2)14取自正态总体，的一个样本，令 222YaXXbXX,，,(2)(34)ab,1234，求系数，使Y服从-分布，并求自由度
21、; d) 查常用分布数值表是实际计算中不可缺少的一步，务必掌握; e) 掌握统计学的思想应该从正态总体出发，因为数理统计学的许多基本理论是在正态总体的假定下建立起来的; 六(思考题和习题 思考题:1. 样本平均值、中位数、众数的定义和区别。 XX,？1n 2(样本是相互独立且具有相同分布的，那么顺序统计量是否也XX,？(1)()n是独立同分布的, 3. 经验分布函数是统计量吗, 4. 什么叫上侧分位数, 习题:P146-148, 第5-9、13、16、17题。 第八章 参数估计 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解总体参数的点估计和区间估计的概念; (2) 掌握求点估计的方法矩估计法和极
22、大似然法; (3) 了解估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性)。 (4) 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间; 二(本章的教学内容及学时分配 第一节 点估计量的求解方法矩估计法和极大似然法 2学时 第二节 估计量的评选标准(无偏性、有效性、一致性) 2学时 第三节 区间估计 1学时 三(本章教学内容的重点和难点 a) 点估计量的求解方法矩估计法和极大似然法; b) 估计量评价标准无偏性; c) 置信区间的求解方法; 四(本章教学内容的深化和拓宽 1) 求极大似然估计实际上是一个最优化问题，因此要从优化的角度去思考问题;理解参数取什么样的值才能使概率达到最大。 2XXNa,(,)？,PX
23、A0.05,nA12) 设，求使的参数的极大似然估计。该问题的解决要用到极大似然估计的函数也是极大似然估计。 五(教学过程中应注意的问题 a) 要善于比较矩估计法和极大似然法各自的优良性; b) 强调极大似然函数的正确书写步骤以及典型例子分析步骤; c) 强调估计量的无偏性的实际含义，提出对不满足无偏性的估计量进行修正，讲解修正的方法; d) 讲清楚区间估计方法的实际含义; 六(思考题和习题 X思考题:1. 设服从如下分布: 0 1 2 3 X 222(1),12,P, ,利用总体的样本观测值:3，1，3，0，3，1，2，3，求参数的矩估计和极大似然估计，如何求, n 2(利用参数的置信区间，
24、如何求样本容量, p 3. 比例参数的置信区间如何求, 习题:P165-166, 第1、2、3、4、6、8、9、10、12、13、14、15题。 第九章 假设检验 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解显著性假设检验的基本思想; (2) 掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。 (3) 掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验，了解两个正态总体的均值和方差的假设检验。 二(本章的教学内容及学时分配 第一节 假设检验的基本思想 基本概念与两类错误、假设检验的基本原理和主要步骤 2学时 第二节 参数假设检验(着重讲一个正态总体的均值、方差的检验) 2学时 三(本章教学内容的重点和
25、难点 假设检验的基本思想和基本检验步骤; 四(本章教学内容的深化和拓宽 由参数假设检验问题及方法拓宽到非参数假设检验问题和方法。 五(本章教学过程中应注意的问题 a) 通过举例叙述假设检验的思想; b) 强调典型例子分析，使学生理解假设检验的步骤; c) 对实际问题提出假设(特别是单侧检验)比计算更难; 六(思考题和习题 思考题:1. 怎样计算两类错判概率,列举生活中遇到的12个错判事件。 2(为什么说假设检验的基本思想是数学上的反证法, p 3. 比例参数的假设检验怎样进行, 习题:P194-197, 第16、7、9-18题。 第十章 回归分析 一(本章的教学目标及基本要求 (1) 理解回归
26、分析的概念; (2) 掌握确定回归系数的最小二乘估计方法及其性质; (3) 掌握一元线性回归模型的建立、基本计算方法以及应用。 二(本章的教学内容及学时分配 第一节 一元线性回归 一元线性回归模型、最小二乘估计方法、回归模型的推断 2学时 三(本章教学内容的重点和难点 回归模型的建立与分析 四(本章教学内容的深化和拓宽 将一元线性回归模型拓展到多元线性回归模型。 五(教学过程中应注意的问题 明确回归模型的基本任务是:1)模型未知参数的估计;2)模型检验;3)预测与控制; 六(思考题和习题 思考题:1. 模型中未知参数的估计为什么采用最小二乘法, 2(最小二乘估计具有什么样的优良性质,与极大似然估计相同吗, 习题:P237, 第5、6题。 总复习 归纳知识点和典型例题 2学时 评讲往年考题 2学时
