1、精编版华东师大初中数学九年级上册图形的相似全章复习与巩固 知识讲解基础图形的相似全章复习与巩固-知识讲解（基础） 【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、掌握三角形中位线以及梯形中位线、三角形重心的定义、性质及应用；4、相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题
2、的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说
3、这四条线段是成比例线段，简称比例线段要点诠释：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）要点二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似
4、，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（三）： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似
5、比的平方要点三、中位线1三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.2梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.性质：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.3.三角形的重心概念：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心性质：重心与一边中点的连线的
6、长是对应中线长的要点四、位似1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点五、图形与坐标根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定
7、x轴，y轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(xa，y)或(xa，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，yb)或(x，yb)要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都
8、加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. （2016崇明县一模）如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长【思路点拨】（
9、1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果【答案与解析】解：（1）ADBECF，AC=14，AB=4，BC=144=10；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又ADBECF，AD=7，AD=HE=GF=7，CF=14，CG=147=7，BECF，BH=2，BE=2+7=9【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线
10、分线段成比例求出BH是解决问题的关键举一反三【变式】如图，已知直线abc，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC4，CE6，BD3，则BF （ ）.A7 B7.5 C8 D8.5【答案】B.类型二、相似三角形【高清课堂:相似专题复习 ID号： 394502关联的位置名称（播放点名称）：“一线三等角”问题及例5】2. 在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP【答案与解析】BP=3PC，Q是CD的中点，又ADQ=QCP=90，ADQQCP.【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.3.如图所示，在AB
11、C中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AFBC交ED的延长线于点F，连接AE，CF求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FGBE=CEAE【答案与解析】（1）证明：AFBC，AFD=DEC，FDA=CDE，D是AC的中点，ADFEDC，AF=CE，AFBC，四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：四边形AFCE是平行四边形，AFC=AEC，AF=CE，AFBC，FAB=ABE，AFGBEA，FGBE=AFAE，FGBE=CEAE【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明AFGBEA是解决问题的关键举一反三【变
12、式】在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点连结AE（1）若AB=AE，求证：DAE=D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值【答案与解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，ADBC，AEB=EAD，AE=AB，ABE=AEB，B=EAD，B=D，DAE=D；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，BEFAFD，E为BC的中点，BE=BC=AD，EF：FA=1：2类型三、中位线与重心4. 在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接CF，过点F作FHF
13、C，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明【思路点拨】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证1=2=90-DFC，CEF=FGH=135，由AAS证出CEFFGHCF=FH（2）通过证明CEFFGH得出【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC证明如下：延长DF交AB于点G，由题意，知EDF=ACB=90，DE=DF，DGCB，点
14、D为AC的中点，点G为AB的中点，且DC=AC，DG为ABC的中位线，DG=BCAC=BC，DC=DG，DC-DE=DG-DF，即EC=FGEDF=90，FHFC，1+CFD=90，2+CFD=90，1=2DEF与ADG都是等腰直角三角形，DEF=DGA=45，CEF=FGH=135，CEFFGH，CF=FH（2）FH与FC仍然相等【总结升华】考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大举一反三【变式】如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）.A. B. C
15、.3 D. 4 【答案】C.BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），PQ是ADE的中位线，BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，DE=BE+CD-BC=6，PQ=DE=3故选C5. 如图，梯形ABCD中，ADBC，E为BC上任意一点，连接AE、DE、G1、G2、G3分别为ABE，ADE，DEC的重心，BC=2AD=12，梯形的高为6，求G1G2G3的面积【答案与解析】连接AG1，并延长交BC于点F，连接DG3，并延长交BC于点K，连接EG2，并延长交AD于点Q，交G1G3于点P，G1、G2、G3分别为AB
16、E，ADE，DEC的重心，ADFKG1G3，EF=BE，CK=EC，FK=BE+EC=BE+EC=BC，BC=2AD=12，FK=AD，四边形AFKD是平行四边形，AD=FK=G1G3=6，G2Q=EQ，EP：EQ=G3K：DK=1：3，即EP=EQ，G2P=EQ，梯形的高为6，G1G2G3的高为：6=2，G1G2G3的面积为：62=6【总结升华】考查了三角形重心的性质、平行线的性质以及平行四边形的性质与判定此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用类型四、图形与坐标6.已知ABC中，AB=2，AC=4，BC=6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与AB
17、C相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的1010的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形请你在所给的网格中画出格点A1B1C1与ABC全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）【答案与解析】（1）AMNABC，M为AB中点，AB=2，AM=，BC=6，MN=3；AMNACB，BC=6，AC=4，AM=，MN=1.5；（2）如图所示：每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个【总结升华】注意平移关键是先确定几个关健点，接着把这几个点分别移动，再连成图形便可位似作图其实就是从位似中心开始做相似图形，对应点的连线在位似中心交于一点
