1、高中数学解题基本方法 换元法高中数学解题基本方法-换元法 高中数学解题基本方法-换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式
2、、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r
3、0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和0,。、再现性题组：1.ysinx?cosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f x1 log 4x （a 1），则f x 的值域是_。3.已知数列 a 中，a1，a?aaa，则数列通项a_。4.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程3的解是_。6.不等式log 21 ?log 22 2的解集是_。
4、【简解】1小题：设sinx+cosxt,，则yt，对称轴t1，当t，y；2小题：设x1t t1 ，则f t log- t-1 4，所以值域为 ,log4；3小题：已知变形为1,设b，则b1,b1 n1 -1 n，所以a；4小题：设xyk，则x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小题：设3y，则3y2y10,解得y，所以x1；6小题：设log 21 y，则y y1 2，解得2 y 1，所以x log,log3 。、示范性题组：例1. 实数x、y满足4x5xy4y5 （ 式） ，设Sxy，求的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由Sxy联想到cossin1,于是进行三角换元，设代入式求
5、S和S的值。【解】设代入式得： 4S5S?sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】 由Sxy，设xt，yt，t， 则xy代入式得：4S5 5， 移项平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件Sxy与三角公式cossin1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式Sxy而按照均值
6、换元的思路，设xt、yt，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设xab，yab，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S ab ab 2 ab a,，再求的值。例2 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B，求cos的值。（96年全国理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于180”的性质，可得 ；由“AC120”进行均值换元，则设 ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中
7、已知AC2B，可得 ,由AC120，设，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。【另解】由AC2B，得AC120，B60。所以2，设m，m ，所以cosA，cosC，两式分别相加、相减得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。【注】 本题两种解法由“AC120”、“2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由AC2B，得AC120，B60。所以2，
8、即cosAcosC2cosAcosC，和积互化得：2coscoscos A+C cos A-C ，即coscos A-C 2cos1 ，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 设a 0，求f x 2a sinxcosx sinx?cosx2a的最大值和最小值。【解】 设sinxcosxt，则t-,，由 sinxcosx 12sinx?cosx得：sinx?cosx f x g t t2a （a 0），t-,t-时，取最小值：2a2a当2a时，t，取最大值：2a2a ；当0 2a时，t2a，取最大值： 。 f x 的最小值为2a2a，最大值为。【注】 此题属于局部换元法
9、，设sinxcosxt后，抓住sinxcosx与sinx?cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t-,）与sinxcosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f sinxcosx，sinxcsox ，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4. 设对所于有实数x，不等式xlo
10、g2x loglog 0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设logt，则loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式简化为（3t）x2tx2t 0，它对一切实数x恒成立，所以：，解得 t 0即log 00 1，解得0 a 1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指
11、数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。例5. 已知，且 式 ，求的值。【解】 设k，则sinkx，cosky，且sincosk x+y 1,代入式得： 即：设t，则t , 解得：t3或 或【另解】 由tg，将等式两边同时除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，设tgt，则3t10t30，t3或， 解得或。【注】 第一种解法由而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为，不难发现进行结果为tg，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了
12、换元法使方程次数降低。例6. 实数x、y满足1，若xyk 0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件1，可以发现它与ab1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由1，设cos，sin，即： 代入不等式xyk 0得：3cos4sink 0，即k 3cos4sin5sin + 所以k -5时不等式恒成立。【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 y x xyk 0 k 平面
13、区域本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc 0 a 0 所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk 0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k -3时原不等式恒成立。、巩固性题组：已知f x lgx x 0 ，则f 4 的值为_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4函数y x1 2的单调增区间是_。A. -2,+ B. -1,+ D. -,+ C. -,-1设等差数列 a 的公差d，且S145，则aaaa的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5已知x4y4x，则xy的范围是_。已知a0，b0，ab1，则的范围是_。不等式 ax的解集是 4,b ，则a_，b_。函数y2x的值域是_。在等比数列 a 中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx2mcosx4m1 0恒成立。已知矩形ABCD，顶点C 4,4 ，A点在曲线xy2 x 0,y 0 上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 教育资源教育资源
