1、中考数学压轴题精选汇编二次函数二次函数1设函数ykx 2(2k1)x1（k为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数k，当xm时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值2在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx 2( m3)x3（m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求点A的坐标；（2）当ABC45时，求m的值；（3）已知一次函数ykxb，点P（n，0）是x轴上的一个动点在（2）的条件下，过点
2、P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx 2( m3)x3（m0）的图象于N若只有当2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式3已知平面直角坐标系xOy，一次函数yx3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数yx的图象上，且MOMA，二次函数yx 2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）若点B在y轴上，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数yx3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标4已知二次函数yax 2bxc和一次函数ybx，其中实数a、b、c满足abc，abc0（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点
3、；（2）设这两个函数的图象交于A、B两点，作AA1x轴于A1，BB1x轴于B1，求线段A1B1长的取值范围5已知二次函数yax 24bx4c（a0）有两个实数根x1，x2，且2x1x23（1）求证：存在以a，b，c为边长的三角形；（2）求证： 6已知二次函数yx 2bxc（c0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，ABC的外接圆的圆心为点P（1）证明：P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为P的直径且SABC 2，求b和c的值7已知关于x的二次函数y1( m2)x 22x1和y2( m2)x 2mxm1的图象都经过x轴上的点（n，0）（1）求m的值；（2）将二次函数y1( m2)
4、x 22x1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象求y3的解析式；在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象，并结合函数的图象回答：当x取何值时，y3y2？8已知关于x的方程： a10有一个增根为b，另一根为c（1）求a、c的值；（2）若二次函数yax 2bxc7（x ）图象与x轴交于E、F两点，在此二次函数的图象上求一点P，使PEF的面积最大，求点P的坐标9已知：二次函数yx 2bx3的图象经过点P（2，5）（1）求b的值，并写出当1x 3时y的取值范围；（2）设P1（m，y1）、P2（m1，y2）、P3（m2，y3）在这个二次函数的图象上当m4时，y1、y2、
5、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由10已知A（1，0），B（0，1），C（1，2），D（2，1），E（4，2）五个点，抛物线ya( x1)2k（a0）经过其中的三个点（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线ya( x1)2k（a0）；（2）点A在抛物线ya( x1)2k（a0）上吗？为什么？（3）求a与k的值11已知二次函数yx 2(2m1)x4m6（1）试说明不论m取任何实数，函数图象都经过x轴上的一个定点A；（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当ABC为直角三角形
6、时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点B在点A的右侧，点D的坐标为（0，3），点E是函数图象上一点问：在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由12已知二次函数yx 2bxc，其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x10123y05898（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；（2）若A（m，y1），B（m4，y2）两点都在该函数的图象上试比较y1与y2的大小；若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答下列问题：（）求实数m的取值范围；（）是否存
7、在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由13已知二次函数yx 2( 2a1 )x2a（1）若函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两侧，求实数a的取值范围；（2）若函数图象不经过第三象限，且当x2时，函数值y随x的增大而增大，求实数a的取值范围14已知关于x的一元二次方程x 24xc0有实数根，且c为正整数（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中，抛物线yx 24xc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得
8、到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围15已知一次函数y12x，二次函数y2mx 23( m1)x2m1的图象关于y轴对称，y2 的顶点为A（1）求二次函数y2的解析式；（2）将y2左右平移得到y3，y3交y2于点P，过P点作直线lx轴交y3于点Q，若PAQ为等腰三角形，求P点坐标和函数y3的解析式；（3）是否存在二次函数y4ax 2bxc，其图象经过点（5，2），且对于任意一个实数x，y1y4y2均成立，若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由16已知二次函数yax 2bxc（a0）
9、图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标为（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1 S2为常数，并求出该常数17已知二次函数yax 2bxc图象的顶点坐标为（2，4）（1）试用含a的代数式分别表示b，c；（2）若一次函数ykx4（k0）图象与y轴及二次函数yax 2bxc图象的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（3）在（2）的条件下，若线段EF的长m满足3m3，试确定
10、a的取值范围18已知二次函数yx 2bxc的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（A在B的左侧），且x1x24（1）求b的值及c的取值范围；（2）若AB2，求二次函数的表达式；（3）设该二次函数的图象与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E问是否存在这样的二次函数，使AOCBED？若存在，求二次函数的表达式；若不存在，请说明理由19已知二次函数yx 2mxm 2（m0）的图象与x轴交于A、B两点（1）求证：该函数图象的对称轴在y轴的左侧；（2）若（O为坐标原点），求二次函数的表达式；（3）设函数图象与y轴交于点C，若ABC是直角三角形求ABC的面积20已知二次函数yx 2x的
11、图象如图所示（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该函数图象沿它的对称轴向上平移，设平移后的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB90，求此时函数的解析式；（3）设（2）中平移后的函数图象的顶点为M，以D为圆心，AB为直径作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由.21已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线yx1所得线段的长为2，求m的值22已知二次函数y3ax 22bxc（1）若ab1，c1
12、，求函数图象与x轴交点的坐标；（2）若ab1，且当1x1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；（3）若abc0，且当x0和x1时，对应的函数值y均大于0试判断当0x1时，函数图象与x轴是否有交点？请说明理由23在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作一直线与二次函数yax 2（a0）图象交于A、B两点，且使AOB90（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；（2）求a的值；（3）当AOB的面积为4 时，求直线AB的解析式24已知二次函数yx 24xm（m为常数）的图象经过点（0，4），将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，已知平移后的函数图象满足下述
13、两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的函数图象的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为8（1）求平移后的二次函数的表达式；（2）试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由25使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数yx1，令y0，可得x1，则1就是函数yx1的零点己知函数yx 22mx2( m3)（m为常数）（1）当m0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为x1和x
14、2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线yx10上，当MAMB最小时，求直线AM的函数解析式26已知二次函数yx 22mxm 24的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（2）当m1时，将函数yx 22mxm 24的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象当直线yxb与这个新的图象有两个公共点时，求实数b的取值范围27已知二次函数yx 22mx4m8（1）当x2时，函数值y随x的增大而减小，求m的
15、取值范围；（2）以抛物线yx 22mx4m8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线yx 22mx4m8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值28已知二次函数yax 2bxc图象与一次函数ymxn图象相交于（0，）和（mb，m 2mbn）两点（a，b，c，m，n均为实数，且a，m不为0）（1）求c的值；（2）设二次函数图象与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；（3）当1x1时，设二次函数图象上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求此时| y
16、0|的最小值29已知二次函数yax 2bxc的图象的顶点坐标为（0，），且ac（1）若该函数的图象过点（1，1）求使y0成立的x的取值范围；若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标（2）过点A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1设MAM1，AM1N1，ANN1的面积分别为S1，S2，S3 ，是否存在m，使得对任意实数p0都有S22mS1S3 成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由30在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），第一象限内的点P在直线y2x上，且PAO45（1）求点P的坐标；（2）若二次函数的图象
17、经过P、O、A三点，求该二次函数的解析式；（3）设（2）中的二次函数图象的顶点为M，将该二次函数图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y2x上的点Q处，求APM与APQ的面积之比31已知二次函数yx 22 (a1)x(a 22a )的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x11x2（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；（2）设二次函数图象的顶点为C，求ABC的面积；（3）若a是整数，P是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），在x轴上方作等边APM和等边BPN，记线段MN的中点为Q，求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围32已知二次函数ya( a1)x 2( 2a1)x1（a
18、是正整数）（1）求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长；（2）当a依次取1，2，3，n时，该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别为L1，L2，L3，Ln，求L1L2L3 Ln的值33已知abc，且2a3b4c0（1）求证：abc0；（2）若抛物线yax 2bxc在x轴上截得的线段长为，求该抛物线的对称轴34已知关于x的方程( a2)x 22axa0有两个不相等的实数根x1和x2，且抛物线yx 2(2a1)x2a5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两侧（1）求实数a的取值范围；（2）当|x1|x2|2时，求a的值35已知二次函数y1ax 2xc的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2
19、，0）（x10，x20），与y轴的交点C在y轴的负半轴上，且tanACO，SABC 3 （1）求该二次函数的解析式；（2）若该二次函数的图象与反比例函数y2（k0）的图象在第二象限内的交点的横坐标x0满足3x02，求k的取值范围36已知方程ax 2bx1x（a0）的两个实数根为x1，x2（1）若x12x24，二次函数yax 2bx1图象的对称轴为xx0，求证：x01；（2）若| x1|2，| x2x1|2，求b的取值范围37已知二次函数yax 2bxc（a0），且方程ax 2bxcx的两个根x1，x2满足0x1x2（1）求证：当0xx1时，xax 2bxcx1；（2）若二次函数yax 2bxc
20、的图象关于直线xx0对称，求证：x038已知关于x的二次方程x 2axb0有两个实数根x1，x2（1）若|x1|2，|x2|2，求证：2|a|4b且|b|4；（2）若2|a|4b且|b|4，求证：|x1|2，|x2|239已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|2，图象的对称轴为x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围40已知二次函数yax 24axb（b0）的图象开口向上，与x轴的两个交点分别为A、B，且（O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且|k|（1）求A、B两点的坐标；（2）
21、求t的取值范围；（3）当t取最小值时，求该二次函数的表达式41已知a，b为常数，当k取任意实数时，函数y(k 2k1)x 22(ak)2x(k 23akb)的图象与x轴都交于点A（1，0）（1）求a、b的值；（2）若函数图象与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的取值范围42已知二次函数yx 2mxm2（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，求m的值；（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且SMNC 27，求m的值43已知两个二次函数y1，y2，当xm（m0）时，y1取最小值6且y25，又y2最小值为，y1y
22、22x 23x9（1）求m的值；（2）求二次函数y1、y2的表达式44已知ab0，且函数y1x 22ax4b与y2x 24ax2b有相同的最小值m，函数y3x 22bx4a与y4x 24bx2a有相同的最大值n，求证：mn045对于x的二次三项式ax 2bxc（a0）（1）当c0时，求函数y2|ax 2bxc|1的最大值；（2）若不论k为任何实数，直线yk(x1)与抛物线yax 2bxc有且只有一个公共点，求a、b、c的值46已知二次函数y3ax 22bxc，若abc0，且当x0和x1时，函数值y均大于0（1）求证：a0且21；（2）求证：方程3ax 22bxc0有两个实数根且都大于0小于14
23、7已知二次函数yax 2bxc的图象经过点（0，3），顶点在直线yx1上且在第四象限，顶点与原点的距离为（1）求该二次函数的表达式；（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，直线yx1交y轴于点D在y轴上是否存在点P，使得以P、O、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，求出P点的坐标若不存在，请说明理由48已知yax 2xa（1x1）（1）若|a|1，求证：|y|；（2）若y的最大值为，求a的值49已知抛物线yx 2mxn上有一点P（x0，y0）位于x轴下方（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；（2）设此抛物线与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1
24、x2，求证：x1x0x2；（3）当点P坐标为（1，2011）时，求整数x1，x2的值50已知在RtABC中，C90，BCa，ACb，且cotBABcosA（1）求证：ab 2；（2）若b2，抛物线ym(xb)2a与直线yx4交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点，且MON的面积为6，求m的值；（3）若ab 2n 2，pq3，抛物线yn(x 2px3q)与x轴交于不同的两点，其中一个交点在原点右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由51已知二次函数yax 2bxc（a0）的图象经过A（1，0）、B（0，l）两点，它的顶点在第一象限，它的一部分图象如图所示（1）试确定b
25、的符号；（2）当b变化时，求abc的取值范围；（3）是否存在实数a，使得ABC120？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由52如图，RtABC的斜边AB在x轴上（点A在点B的左侧），直角顶点C在x轴的上方，且A（tanA，0）、B（tanB，0），二次函数yx 2mx(22mm 2)（x为自变量）的图象经过A、B两点（1）求该二次函数的表达式；（2）判断直角顶点C是否在该二次函数的图象上，请说明理由53已知抛物线F1：yax 22amxam 22m1（a0，m0）的顶点为A，抛物线F2的顶点B在y轴上，且抛物线F1和F2关于点M（1，3）成中心对称（1）求m的值和抛物线F2的解析式；（2）设
26、抛物线F2与x轴正半轴的交点为C，当ABC为等腰三角形时，求a的值54已知二次函数yx 2( m2)x3( m1)（1）求证：无论m为任何实数，函数图象与x轴总有交点；（2）设函数图象与y轴交于点C，当函数图象与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧），且ABC为钝角三角形时，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是函数图象的顶点，当PAO的面积与ABC的面积相等时，求二次函数的解析式55已知关于x的一元二次方程x 22(k1)xk 20有两个整数根，k5且k为整数（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数yx 22(k1)xk 2的图象沿x轴向左平移4个单位，
27、求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线yxb与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围56如图，二次函数yax 2bx（a0）与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限，AOB的面积为3（1）求二次函数的表达式；（2）过点A作x轴的平行线，交二次函数yax 2bx的图象于另一点C，连接CO，在坐标平面内求点P，使POCAOB（点P与点A对应）57已知直线yx和yxm，二次函数yx 2bxc图象的顶点为M（1）若M恰好是直线yx与yxm的交点，试证明：无论m取何实数值，二次函数yx 2bxc的图象与直线yxm总有两个不同的交点；（2）在（1）
28、的条件下，若直线yxm过点D（0，3），求二次函数yx 2bxc的表达式；（3）在（2）的条件下，若二次函数yx 2bxc的图象与y轴的交点为C，与x轴的左交点为A在直线yx上求异于M的点P，使点P在ACM的外接圆上；在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得QAC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由58已知二次函数yx 2(m1)xm2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2（1）若x1x20，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x11，x21，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且，求该直线的表达式
