1、离散数学试题及答案详解一、填空题 1 设集合,其中A1,2,3, 1,2, 则A - B3; r(A) - r(B) 3,1,3,2,3,1,2,3 .2. 2. 设有限集合A, = n, 则 |r(AA)| = 3. 设集合A = a, b, B = 1, 2, 则从A到B的所有映射是a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1), 其中双射的是a3, a44. 已知命题公式G(PQ)R,则G的主析取范式是(PQR).5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3.6
2、 设A、B为两个集合, 1,2,4, B = 3,4, 则从AB4; AB1, 2, 3, 4B 1, 2 .3. 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性;对称性;传递性.8. 设命题公式G(P(QR),则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), _(1, 0, 1), (1, 1, 0).9. 设集合A1,2,3,4, A上的关系R1 = (1,4),(2,3),(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 则 R1R2 = _(1,3),(2,2),(3,1)2R1 (2,4),(3,3),(4,2) , R12 (2,2),(3,3).4. 1
3、0. 设有限集A, B, = m, = n, 则| |r(AB)| = 2m .11 设是三个集合,其中R是实数集,A = x | -1x1, xR, B = x | 0x 2, xR,则 = _x | -1x 0, xR , = x | 1 x 6 (D)下午有会吗?5 设I是如下一个解释:D, 则在解释I下取真值为1的公式是( D ). (A)$x() (B)x() (C)() (D)x$().6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是( C ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3
4、,4,5,6).7. 设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G$(x), H(x),则一阶逻辑公式GH是( C ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.8 设命题公式G(PQ),HP(QP),则G与H的关系是( A )。 (A)GH (B)HG (C)GH (D)以上都不是.9 设A, B为集合,当( D )时ABB. (A)AB (B)AB (C)BA (D)AB.10 设集合A = 1,2,3,4, A上的关系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 则R具有( B )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的
5、表示中正确的为( B )。 (A)a (B)a (C) (D)12 命题(x)取真值1的充分必要条件是( ).(A) 对任意x,G(x)都取真值1. (B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.14. 设G是5个顶点的完全图,则从G中删去( A )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G的相邻矩阵为,则G的顶点数与边数分别为( D ). (A)4, 5 (B)5, 6 (C
6、)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,R为整除关系。(1) 画出半序集()的哈斯图;(2) 写出A的子集B = 3,6,9,12的上界,下界,最小上界,最大下界;(3) 写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。(1) (2) B无上界,也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元,最小元是1,极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2. 设集合A1, 2, 3, 4,A上的关系R() | x, yA 且 x y, 求 (1) 画出R的关系图;(2) 写出R的关系矩阵.R = (1,1),(2,1),(2,2)
7、,(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. 设R是实数集合,s,t, 是R上的三个映射,s(x) = 3, t(x) = 2x, (x) 4,试求复合映射st,ss, s , t,s t. (1)sts(t(x)t(x)+32323.(2)sss(s(x)s(x)+3(3)+36,(3)s s( (x) (x)+34+3, (4) t (t(x)t(x)/424 = 2,(5)s ts( t) t+324+32+3.4. 设I是如下一个解释:D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3
8、, 3)32320011试求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);(2) x$y P (y, x).(1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2) = P(3, 2)P(2, 3) = 10 = 0. (2) x$y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1.5. 设集合A1, 2, 4, 6, 8, 12,R为A上整除关系。(1) 画出半序集()的哈斯图;(2) 写出A的最大元,最小元,极大元,极小
9、元;(3) 写出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界,下界,最小上界,最大下界.1)(2) 无最大元,最小元1,极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界,无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. 设命题公式G = (PQ)(Q(PR), 求G的主析取范式。G = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(QP)(QR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) = m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. (9分)设一阶逻辑公
10、式:G = (x)$(y)(x),把G化成前束范式.G = (x)$(y)(x) = (x)$(y)(x) = (x)$(y)(x) = ($xP(x)yQ(y)(z) = $xyz(P(x)Q(y)R(z)9. 设R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元关系, R = (), (), (), (),(1) 求出r(R), s(R), t(R);(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.(1) r(R)R(), (), (), (), (), (), (), (),s(R)RR1(), (), (), () (), (),t(R)RR2R3R4(), (), (),
11、(), (), (), (), (), ();(2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价:(1) G = (PQ)(PQR) (2) H = (P(QR)(Q(PR)G(PQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(PR)(PQ)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)的主析取范式相同,所以G = H.13. 设R和S是集合Aa, b, c, d上的关系,其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a,
12、b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 试写出R和S的关系矩阵;(2) 计算RS, RS, R1, S1R1.(1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、证明题1. 利用形式演绎法证明:PQ, RS, PR蕴涵QS。证明:PQ, RS, PR蕴涵QS(1) PR P(2) RP Q(1)(3) PQ P(4) RQ Q(2)(3)(5) QR Q(4)(6) RS P(7)
13、QS Q(5)(6)(8) QS Q(7)2. 设为任意集合,证明:() = (BC).证明:() = (A) = A() = A(BC) = (BC)3. (本题10分)利用形式演绎法证明:AB, CB, CD蕴涵AD。证明:AB, CB, CD蕴涵AD(1) A D(附加)(2) AB P(3) B Q(1)(2)(4) CB P(5) BC Q(4)(6) C Q(3)(5)(7) CD P(8) D Q(6)(7)(9) AD D(1)(8)所以 AB, CB, CD蕴涵AD.4. (本题10分)A, B为两个任意集合,求证:A(AB) = (AB)B .4. 证明:A(AB) = A
14、(AB)A()(A)(A)(A)(A)AB而 (AB)B= (AB)= (A)(B)= (A)= AB所以:A(AB) = (AB)B.参考答案一、填空题 1. 3; 3,1,3,2,3,1,2,3. 2. .7. a1= (a,1), (b,1), a2= (a,2), (b,2),a3= (a,1), (b,2), a4= (a,2), (b,1); a3, a4.8. (PQR).9. 12, 3. 10. 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2. 11. 自反性;对称性;传递性.12. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).13. (1,3),(2,2),(3
15、,1); (2,4),(3,3),(4,2); (2,2),(3,3).14. 2m n.15. x | -1x 0, xR; x | 1 x 2, xR; x | 0x1, xR.16. 12; 6.17. (2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6).18. $x(P(x)Q(x).19. 21.20. (R(a)R(b)(S(a)S(b).21. (1, 3),(2, 2); (1, 1),(1, 2),(1, 3). 二、选择题 1. C. 2. D. 3. B. 4. B.5. D. 6. C. 7. C.8. A.
16、9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D三、计算证明题1. (1)(2) B无上界,也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) A无最大元,最小元是1,极大元8, 12, 90+; 极小元是1.2 = (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(1) (2)3. (1)sts(t(x)t(x)+32323.(2)sss(s(x)s(x)+3(3)+36,(3)s s( (x) (x)+34+3, (4) t (t(x)t(x)/424 = 2,(5)s ts( t) t+
17、324+32+3.4. (1) P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2) = P(3, 2)P(2, 3) = 10 = 0. (2) x$y P (y, x) = x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3) = (01)(01) = 11 = 1.5. (1)(2) 无最大元,最小元1,极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界,无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.6. G = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q(PR) = (PQ)(Q
18、P)(QR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) = (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) = m3m4m5m6m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).7. G = (x)$(y)(x) = (x)$(y)(x) = (x)$(y)(x) = ($xP(x)yQ(y)(z) = $xyz(P(x)Q(y)R(z)9. (1) r(R)R(), (), (), (), (), (), (), (),s(R)RR1(), (), (), () (), (),t(R)RR2R3R4(), (), (), (), (), (), (), (), ();(
19、2)关系图:11. G(PQ)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m7m3 (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(PR)(PQ)(QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)m6m3m7 (3, 6, 7)的主析取范式相同,所以G = H.13. (1) (2)RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四 证明题1. 证明:PQ, RS, P
20、R蕴涵QS(1) PR P(2) RP Q(1)(3) PQ P(4) RQ Q(2)(3)(5) QR Q(4)(6) RS P(7) QS Q(5)(6)(8) QS Q(7)2. 证明:() = (A) = A() = A(BC) = (BC)3. 证明:AB, CB, CD蕴涵AD(1) A D(附加)(2) AB P(3) B Q(1)(2)(4) CB P(5) BC Q(4)(6) C Q(3)(5)(7) CD P(8) D Q(6)(7)(9) AD D(1)(8)所以 AB, CB, CD蕴涵AD.5. 证明:A(AB) = A(AB)A()(A)(A)(A)(A)AB而 (AB)B= (AB)= (A)(B)= (A)= AB所以:A(AB) = (AB)B.