1、初二因式分解难题附答案及解析2017年05月21日数学（因式分解难题）2一填空题（共10小题）1已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：3若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是4分解因式：4x24x3=5利用因式分解计算：2022+202196+982=6ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC的形状是7计算：1222+3242+5262+1002+1012
2、=8定义运算ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3ab=ba若a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab若ab=0，则a=1或b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）9如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多项式x26xb可化为（x+a）21，则b的值是二解答题（共20小题）11已知n为整数，试说明（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除12因式分解：4x2y4xy+y13因式分解（1）a3ab2（2）（xy）2+4xy14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和
3、n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2）已知ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+|3c|=0，请问ABC是怎样形状的三角形？15如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20这三个数都是和谐数（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶
4、数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为16如图1，有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片（1）如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形17（1）有若干
5、块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图18已知a+b=1，ab=1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完
6、成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（3）试写出sn2，sn1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s619（1）利用因式分解简算：+（2）分解因式：4a（a1）2（1a）20阅读材料：若m22mn+2n28n+16=0，求m、n的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（mn）2=0，（n4）2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求xy的值（2）已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0，求ABC的
7、最大边c的值（3）已知ab=4，ab+c26c+13=0，则ab+c=21仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n），则x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4m=3n解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21问题：（1）若二次三项式x25x+6可分解为（x2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx5可分解为（2x1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5xk有一个因式是（2x3），求另一个因式
8、以及k的值22分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）223已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状24分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab225图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n）2、（mn）2、mn之间的等量关系是（3）若x+y=7，xy=10，则（xy）2=（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表
9、示如图，它表示了（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n226已知a、b、c满足ab=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值27已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积28（x24x）22（x24x）1529阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）200
10、4，则需应用上述方法次，结果是（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）30对于多项式x35x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（xa），于是我们可以把多项式写成：x35x2+x+10=（x2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x213x10的因式2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共10小题）1（2016秋
11、?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可【解答】解：x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案为：160【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键2（2016秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x3）2【分析】根据多项式的乘法将2（x1）（x9）展开得到二次项、常数项；将2（x2）（x4）展
12、开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式【解答】解：2（x1）（x9）=2x220x+18；2（x2）（x4）=2x212x+16；原多项式为2x212x+182x212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确3（2015春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是4【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、（ab）2=（a+b）24ab计算即可【解答】解：x
13、2+mx+4=（x2）2，即x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案为：4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键4（2015秋?利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3）（2x+1）【分析】ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案【解答】解：4x24x3=（2x3）（2x+1）故答案为：（2x3）（2x+
14、1）【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键5（2015春?东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202196+982=90000【分析】通过观察，显然符合完全平方公式【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值6（2015秋?浮梁县校级期末）ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC的形状是等边三角形【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，得出：a=b=c，即选出答案【解答】解：等式a2+b
15、2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，解得：a=b=c，所以，ABC是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定ABC是等边三角形7（2015秋?鄂托克旗校级期末）计算：1222+3242+5262+1002+1012=5151【分析】通过观察，原式变为1+（3222）+（5242）+（10121002），进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】解：1222+3
16、242+5262+1002+1012=1+（3222）+（5242）+（10121002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+（101+100）=（1+101）1012=5151故答案为：5151【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题8（2015秋?乐至县期末）定义运算ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3ab=ba若a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab若ab=0，则a=1或b=0其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】解：2（2）=（12）（2）=2，本选
17、项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故ab不一定等于ba，本选项错误；若a+b=0，则（aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本选项正确；若ab=0，即（1a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有故答案为【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键9（2015春?张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可【解答】解：1+a+a2+a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a
18、7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0故答案是：0【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题10（2015春?昆山市期末）若多项式x26xb可化为（x+a）21，则b的值是8【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可【解答】解：x26xb=（x3）29b=（x+a）21，a=3，9b=1，解得：a=3，b=8故答案为：8【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键二解答题（共20小题）11已知n为整数，试说明（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除【分析】用平方差公式展开（n+7）2（n3）2，看因式中有没有20
19、即可【解答】解：（n+7）2（n3）2=（n+7+n3）（n+7n+3）=20（n+2），（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除【点评】主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b）（ab）12（2016秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：4x2y4xy+y=y（4x24x+1）=y（2x1）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13（2015秋?成都校级期末）因式分解（1）a3
20、ab2（2）（xy）2+4xy【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：（1）原式=a（a2b2）=a（a+b）（ab）；（2）原式=x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14（2015春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若x2
21、+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2）已知ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+|3c|=0，请问ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（xy）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b26a6b+18+|3c|=0，配方得到（a3）2+（b3）2+|3c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可【解答】解：（1）x2+2y22xy+4y+4=0x2+y22xy+y2+4y+4=0，（xy）2+（y+2）2=0x=y=2；（2）a2+b
22、26a6b+18+|3c|=0，a26a+9+b26b+9+|3c|=0，（a3）2+（b3）2+|3c|=0a=b=c=3三角形ABC是等边三角形【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题15（2015秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20这三个数都是和谐数（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构
23、造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500【分析】（1）利用36=10282；2016=50525032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：2202=4，最大的为：502482=196，将它们全部列出不难求出他们的和【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”理由如
24、下：36=10282；2016=50525032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k）（2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1），4（2k+1）能被4整除，“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（2202）+（4222）+（6242）+（502482）=502=2500故答案是：2500【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化16（2015春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的大正方形的纸片（
25、1）如果现有小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形【分析】（1）根据小正方形1张，大正方形2张，长方形3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方形的面积之和为a2+
26、b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8张，n28，m28，2mn8（n、m为正整数）从而可知n2，m2，从而可得出答案【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）长方形的周长为34，a+b=17小正方形与大正方形的面积之和为169，a2+b2=169将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289
27、，2ab=289169，ab=60长方形的面积为60（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2现有三种纸片各8张，n28，m28，2mn8（n、m为正整数）n2，m2共有以下四种情况；n=1，m=1，正方形的边长为a+b；n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式17（2014秋?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这
28、样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图【解答】解：（1）长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解18（2013秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4（3）试写出
