1、,31 描述流动的方法32 有关流场的几个基本概念33 连续性方程34 流体微团运动的分析,第三章 流体运动学,EXIT,描述流体运动的困难拉格朗日法欧拉法流体质点的加速度、质点导数,31 描述流动的方法,EXIT,离散 质点系,刚体,流体,质点间 的约束,强,无,弱,一.描述流体运动的困难,质点数,N个,无穷,无穷,EXIT,离散 质点系,刚体,流体,EXIT,六个自由 度运动,编号，逐点 描述,3N个自由度,困难：无穷多质点有变形不易显示,离散 质点系,刚体,流体,EXIT,t1,t2t3t4,t5,二.拉格朗日法,t6,以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的 运动，构成整个流
2、体的运动。,EXIT,拉格朗日法是质点系 法，它定义流体质点的 位移矢量为：,(a,b,c)是拉格朗日变,数，即 t=t0 时刻质点的空 间位置，用来对连续介质 中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。,易知流体在运动过程中其它运动要素 和物理量的时间历程也可用拉格朗 日法描述，如速度、密度等：,EXIT,指定空 间位置不同流 体质点,三.欧拉法,以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基 础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。,EXIT,欧拉法是流场法，它 定义流体质点的速度 矢量场为：,(x,y,z)是空间点（场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据(x,y,z)的那个流 体
3、质点的速度矢量。,流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间 域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：,EXIT,欧 拉（L.Euler,1707-1783，瑞士）,拉格朗日（J-L.Lagrange，1736 1813，意大利),EXIT,拉格朗日法,欧拉法,着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程,着眼于空间点，研究,质点流经空间各固定 点的运动特性,布哨,跟踪,EXIT,如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不 显含时间 t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。,欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为 在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便
4、利 条件。欧拉法是描述流体运动 常用的一种方法。,EXIT,四.流体质点的加速度、质点导数,速度是同一流体质点的 位移对时间的变化率，加速 度则是同一流体质点的速度 对时间的变化率。,通过位移求速度或通过 速度求加速度，必须跟定流 体质点，应该在拉格朗日观 点下进行。,EXIT,若流动是用拉格朗日法描述 的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。,求导时a,b,c 作为 参数不变，意即跟 定流体质点。,EXIT,跟定流体质点后，x,y,z 均随 t 变，而且,若流场是用欧拉法,描述的，流体质点 加速度的求法必须 特别注意。,用欧拉法描述，处 理拉格朗日观点的 问题。,E
5、XIT,=,+,质 点加速 度,位变 加速度,由流速不均 匀性引起,时变加速度,由流速 不恒定 性引起,EXIT,分量 形式,EXIT,B,A,AB,uAdt,uBdt,举例,EXIT,32 有关流场的几个基本概念,恒定流、非恒定流迹线和流线流管和流量均匀流、非均匀流；渐变流、急变流流动按空间维数的分类系统和控制体,EXIT,一.恒定流、非恒定流,若流场中各空间点上的任 何运动要素均不随时间变 化，称流动为恒定流。否 则，为非恒定流。,恒定流中，所有物理,量的欧拉表达式中将不 显含时间，它们只是空 间位置坐标的函数，时 变导数为零。,例如，恒定流的 流速场：,恒定流的时变加速度 为零，但位变加
6、速度 可以不为零。,EXIT,流动是否 恒定与所选 取的参考坐 标系有关,因此是相对 的概念。,EXIT,A,A,A,A,A,A,某一流体质,点在不同时,刻占据的空 间位置。,t1时刻,t2时刻,二.迹线和流线,迹线,EXIT,迹线是流体 质点运动的轨 迹，是与拉格 朗日观点相对 应的概念。,拉格朗日法中位移表,达式,即为迹线的参数方 程。t 是变数，a,b,c 是 参数。,EXIT,这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位 置坐标，就可以积分得到迹线。,在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数,x,y,z 成
7、为 t 的函数，所以迹线的微分方程为,EXIT,t时刻,uA,uB,uC,A,B,C,D,uD,表示某时刻流动方向的曲线。流线,EXIT,流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于该曲线上的流体质点之速度矢量都和曲线相切。流 线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情 况就得到了形象化的描绘。,EXIT,实际上这是两个微分方程，其中 t 是参数。可求解得到两族 曲面，它们的交线就是流线族。,根据定义，流线的微分方程为其中,EXIT,在非恒定流情况下，流线一 般会随时间变化。在恒定流 情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹 线与流线重合。,迹线和流线最
8、基本的差别是：迹线是同一流体 质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点 对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度 矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即 使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是 完全不同的概念。,根 据 流 线 的 定,义，,处，,可以推断：除非流 速 为 零 或 无 穷 大 流线不能相交，也 不能转折。,EXIT,已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t；uy=-y+t；,uz=0,试求t=0 时过 M(-1,-1),点的流线。,ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,(x+t)(-y+t)=Ct=0 时过 M(-1,-1)：C=-1,积分,由流线的微分方程：,t=0 时过
9、 M(-1,-1)点的流线：,例-1,解,xy=1,EXIT,已知直角坐标系中的速度场 ux=x+t；uy=-y+t；,uz=0,试求t=0 时过 M(-1,-1),点的迹线。,ux=x+t；uy=-y+t；uz=0t=0 时过 M(-1,-1)：C1=C2=0,求解,x+y=-2,由迹线的微分方程：,x=-t-1 y=t-1,消去t，得迹线方程：,例-2,解,EXIT,流线,x,y迹线,t=0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图,oM(-1,-1),EXIT,流动线条和流动显示,流动线条(flow lines)包括四种：流线（streamline)、迹线(pathline)、烟线(s
10、treakline)、时线(timeline)烟线(streakline)定义：由先后连续地经过同一场点的流体质 点所组成的曲线。时线(timeline)定义：由确定流体质点组成的流体线。流动往往靠流动线条来显示，而在实验中比较容易得到的流 动线条是烟线和时线。,EXIT,通常用摄象机能拍到什么 流动线条？应该怎么拍？,思 考?,EXIT,流线,L,流管,三.流管和流量,在流场中，取一条不 与流线重合的封闭曲 线L，在同一时刻过 L 上每一点作流线，由 这些流线围成的管状 曲面称为流管。,与流线一样，流 管是瞬时概念。,根据流管的定义易知，在 对应瞬时，流体不可能通过 流管表面流出或流入。,E
11、XIT,过流断面为面积微元 的流管叫元流管，其 中的流动称为元流。,过流断面为有限面积的流管中的流动叫总流 总。流可看作无数个元流的集合。总流的过流断面一般为曲面。,dA,1,dA,2,u1,u2,过流断面与流动方向正交的流管的横断面,EXIT,称为质量流量，记为Qm，单位为 kg/s.流量计算 公式中，曲面 A 的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。,通过流场中某曲面 A 的流速通量,称为流量，记为 Q，它的物理意义是 单位时间穿过该曲面的流体体积，所 以也称为体积流量，单位为 m3/s.,dA,u,A,n,EXIT,总流过流断面上的流速与,法向一致，
12、所以穿过过流 断面 A 的流量大小,为,，其中 u,为流速的大小。,定义体积流量与断面面积 之比为断面平均流,速它，是过流断面上不均匀流 速 u 的一个平均值，假设 过流断面上各点流速大小 均等于v，方向与实际流 动方向相同，则通过的流 量与实际流量相等。,EXIT,位变导数,？,均匀流,非均匀流,四.均匀流、非均匀流；渐变流、急变流,均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的,流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。,为什么？,判,别,EXIT,ux,a,z,y,x,o,以下的流,动是均匀流：,应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿
13、着空间任 何方向不变。后者是均匀流的一个特例。,例,如,EXIT,在实际流动中，经常 会见到均匀流，如等 截面的长直管道内的 流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠 道内的流动等。,恒定均匀流的时变加速度和 位变加速度都为零，即流体 质点的惯性力为零，将作匀 速直线运动。若总流为均匀 流，其过流断面是平面。这 些均匀流的运动学特性，将 给以后处理相关的动力学问 题带来便利，因此在分析流 动时，特别关注流动是否为 均匀流的判别。,EXIT,是否接近均匀流？,渐变流,流线虽不平行，但夹角较小；流线虽有弯曲，但曲率较小。,急变流,流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。,渐变流和急变流是工程意义上对流动
14、是否符合均匀流条件的 划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况 来判定。,是,否,EXIT,急变流示意图,流线间夹角较大,流线弯曲的曲率较大,EXIT,五.流动按空间维数的分类,一维流动,三维流动,平面流动二维流动,轴对称流动,任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一 维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分 析处理。,EXIT,流场与某一空 间坐标变量无关，且沿该坐 标方向无速度分量的流动。,x,y,o,x,oz,u0,u0y,二维流动,直角系中的平面流动：,大展弦比机翼绕流,EXIT,z,r,o,子午面,柱坐标系中的 轴对称流动：,液体在圆截面管道
15、中的流动,EXIT,流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动,s,其流场为,s 空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s沿着流线。在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲 线坐标 s 的值相当于指定总流的过流断面，但由于过流断面上 的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过流 断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。,一维流动,EXIT,六.系统和控制体,由确定的流体质点组成的 集合称为系统。系统在运动 过程中，其空间位置、体积 形、状都会随时间变化，但与 外界无质量交换。,有流体流过的固定不变 的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同 的时间控制体
16、将被不同 的系统所占据。,站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉 格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的 运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。,EXIT,占,据,有限体积 系统流体团,微分体积 系统流体微团,最小的 系统流体质点,有限体积 控制体,微元 控制体,场点,大,小,EXIT,33 连续性方程,三维流动的连续性微分方程不可压缩流体运动的连续性微分方程恒定总流的连续性方程,EXIT,连续性方程 质 量守恒定律对流体运 动的一个基本约束,用欧拉观点对质量守恒原理 的描述：连续介质的运动必 须维持质点的连续性，即质 点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必
17、 等于控制体内因流体密度变 化而增加的质量。,EXIT,一.三维流动的连续性微分方程,x,y,z,o,dy,dz,ux,a,b,c,d,a,b,dx c,d,净流入前后这一对表面的 流体质量为,在时间段dt 里，从 abcd 面 流入微元体的流体质量为,从abcd面流出的,流体质量为,EXIT,x,z,o,a,b,c,d,adz,b,dxdy uz cy,d,同理可知，在时间段dt里 沿，着 y 方向和 z 方向净流入 左右和上下两对表面的流体 质量分别为,和,uy,EXIT,三维流动的 连续性微分 方程,在时间段dt 里，微元内流体质量的增加,根据质量守恒原理,简化,或写成,EXIT,恒定流
18、动的连续方程,极坐标中平面流动的连续方程,d,u,o,ur,rd dr,r,EXIT,对于不可压缩流体的流动（不论是恒定 或非恒定），连续方程为速度场的 散度为零,二.不可压缩流体运动的连续性微分方程,不可压缩流体,EXIT,速度场的散 度,流体微团在三个互相垂直方 向上的线变形速率之和，也 是流体微团的体积膨胀率。连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上 的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有 另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。,EXIT,控制体：上游过流断 面 A1 和下游过流断面,2,A 之间的总流管,A2,QmA1恒定条件下：总流管的形状、位置
19、不随时间变化。总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒 定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两 个过流断面进出控制体。,Qm,三.恒定总流的连续性方程,EXIT,恒定总流 连续方程通过恒定总流两个过流断面的质量流量相等。,即,或,通过恒定总流两个过流断面的体积流量相等。,根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过 A1 流 入控制体的流体质量等于通过 A2 流出控制体的流体质量。,又若流体不可压，=const,EXIT,对于不可压缩流 体，根据连续方 程，容易理解为 什么流线的疏密 能够反映流速的 大小。,在有分流汇入及流出的
20、,情况下，连续方程只须 作相应变化。质量的总 流入=质量的总流出。,EXIT,34 流体微团运动的分析,亥姆霍兹速度分解定理流体微团运动分析有旋流动和无旋流动,EXIT,考察和分析流体 质点之间的相对位 移和相对运动。,谈及相对运动就必须把讨 论问题的尺度从流体质点 扩大到流体微团。,给出在同一时 刻流体微团中任,意两点速度之间 的关系。,分析流体微团 的运动形式。,EXIT,考察在 M 点的一阶台劳展开，以 x 方向分量为例。,一.亥姆霍兹速度分解定理,dr,EXIT,同理,EXIT,合并成矢量形式,流体微团中任意两点间 速度关系的一般形式,亥姆 霍兹 速度 分解 定理,EXIT,主对角线上
21、 三个元素是 线变形速率,其余的 是角变 形速率,流体的变形 速率张量，是二阶对称 张量,EXIT,流体旋转角速度 矢量，它恰是流 速场的旋度矢量 的一半。,旋度,EXIT,二.流体微团运动分析,以 oxy 平面上的运动为例，解释 和 的含义，进而给出亥姆 霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。,M,A,B,A,M,B,x,y,o,t,t+dt,dx,dy,EXIT,M,A,B,A,M,B,x,t,t+dt,表示单位时间、x方向单位长 度流体线段的伸长，即x方向 的线变形速率。,dx,ydy,o由 A 点相对于 M 点的 x 方 向的速度差引起MA 的伸长=,EXIT,M,A,B,A
22、,M,B,x,y,o,t,t+dt,dx,dy,d 1,d 2,直角 AMB 的减小:,d 1+d 2=,表示 oxy 坐标面上流体直角 减小速率的一半，也称为角 变形速率,EXIT,M,A,B,A,M,B,x,y,o,t,t+dt,dx,dy,d 1,d 2,表示 oxy 坐标面上两直角边旋转 的平均速率，即直角平分线的旋 转速率，也是 M 点处流体平均旋 转角速度矢量在 z 轴上的分量。,直角边 MA，MB 的逆时针 转过角度的平均值:,EXIT,亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义,基准点是 展开点M平移变形转动:点的流速；:点的流速；:流体变形率张量 对两点相对运动速度的贡献，包 括线变形和角变形；:流体平均旋转角速度 引起的两点相对运动速度。,EXIT,变形速度转动速度,适用范围,流体,刚体,有,因点而异,流体微团,无,不随点变,整个刚体,流体速度分解与刚体速度分解的异同,EXIT,唯一的标准是看流速场是否满足,，写成,分量形式为：,三.有旋流动和无旋流动,旋度,无旋流动,有旋流动,这个分类是 很重要的,判,别,EXIT,有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。,流线是圆周，无旋,流线是直线，有旋,x,y,o,x,y,o,EXIT,
