1、第9章典型例题与综合练习第9章随机事件与概率典型例题与综合练习一、典型例题1.随机事件例1 判断下列事件是否随机事件：（1）元旦，买来1台全自动洗衣机，运行200小时不出故障.（2）某射手的射击命中率为90，他连续射击3次全命中.（3）在1个大气压下，90oC的水沸腾，变为水蒸气.（4）把1枚壹元的硬币放在桌面上，出现正面朝上.（5）从次品率为5的一批产品中，任取1个产品是次品.（6）掷1颗骰子，出现偶数点或奇数点事件有：随机事件，必然事件和不可能事件，用它们的定义来判断也可用发生的概率来判断.解：（1）设A洗衣机运行200小时无故障A可能发生，故A是随机事件（2）设B连续3次射击全中，事件B
2、不一定就发生故事件B是随机事件.（3）设C水变成水蒸气，由物理学告诉我们， C是不可能事件.（4）把硬币放在桌面上，那个面朝上不具有偶然性不是随机事件.（5）设D任取一个产品是次品，因为产品中有正品，也有次品，所以事件D是随机事件 （6）设E=出偶数点或奇数点，则E是必然事件2.事件的关系与运算例1 对飞机进行两次射击，每次射击一弹设A1=第一次射击击中飞机， A2=第二次射击击中飞机，试用A1，A2及它们的对立事件表示下列事件：（1）B两次都击中飞机 （2）C两次都没有击中飞机（3）D恰有一次击中飞机 （4）E至少有一次击中飞机 这是事件概型与运算的问题，一方面要掌握事件的运算，还要熟悉运算
3、的性质解：（1）BA1A2 （2）C A1 A2或C（3）DA1 A2 A1A2 或D(A1A1)A1A2（4）EA1A2或E或EDA1A23.古典概型与概率性质例1从0，1，2，3，4这5个数字中一次任取两个数，可以组成两位数的概率是多少？一次从五个数中取出两个，组成二位数，显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位数，可见这是排列问题即依次取两次数，每次取一个不放回，构成基本事件的总数若能构成二位数，显然是十位数不能为0个位可以任意 这样的排列是真的二位数解：方法1一次从5个数中取出2个数，组成二位数，是排列问题n=54=20能组成两位数，“十位数”不能取0，“个位数”可任意取，故k441
4、6所求为p =方法2全列法用树枝图表示，如图所以，n20，k16，故所求概率为p= 4.概率加法公式例1 根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.50，至少用4000元买副食的概率是0.64，至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率是0.27试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4 000元买副食的概率 这是求两个事件和的概率，用概率加法公式解：设A至少用600元购买粮食；B=至少用4 000元购买副食于是有P(A)=0.50 P(B)=0.64 P(AB)=0.27由加法公式，得 P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.500.640.270.87故一
5、个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是0.87例2 在13500中随机地抽取一整数，问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少？ 所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率，也即至少能被6或8其一除尽的对立事件，而至少被6或8除尽是事件和的概率 解：设C取到的整数不能被6或8除尽 A取到的整数被6除尽B取到的整数被8除尽，则C P(C)=P()=1P(A+B)=1P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)因为P(A)=，P(B)=，P(AB)=所以， P(C)=1(+)=5.条件概率与乘法公式例1 已知袋中有10件产品，其中3件次品，从中无放回地随机抽取3次，每次取1
6、件，求取到的全是次品的概率若设Ai为第i次取到次品，显然所求是这三个事件的积的概率由于是不放回地取产品，所以袋中产品总数和次品数都在变化因此涉及到条件概率解：用Ai表示“第i次取到次品”(i=1,2,3 )，用B表示“所取3件产品全是次品”，于是有B=A1A2A3，则P(A1)=；P(A2A1)=；P(A3A1A2)=P(B)= P(A3A1A2) P(A2A1) P(A1) 0.0083六、事件的独立性例1 在一个系统中安装3个元器件，如图每个元器件的可靠性是0.9求系统的可靠性所谓系统的可靠性，就是有多大的概率能正常工作三个元器件是并联的，所以只要有一个元器件工作，即系统工作并联的元器件是
7、独立工作的解：设Ai=元器件Ai正常工作(i=1,2,3)，则P(Ai)=0.9 (i=1,2,3)设B系统正常工作，则P(B)P(A1+A2+A3)=1P()=1P( A1 A2 A3)A1，A2，A3独立有 P(B)1P( A1)P( A2)P( A3)=1(0.1)3=0999例2 设有甲、乙两批种子，它们的发芽率分别为0.9和0.7，在两批种子中任取1粒，求恰有1粒种子能发芽的概率恰有1粒发芽，那就可能是 “甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽，或者甲的1粒未发芽而乙的1粒发芽”，因此是事件和的概率问题，其中又涉及事件积的概念解：设A =从甲批种子中任取一粒发芽，B =从乙批种子中任取一粒种子
8、发芽则P(A)=0.9，P(B)=0.7，于是， P()=0,1，P()=0.3又事件A，B互相独立，所以和B，A和 等均相互独立且A与B互不相容，所求为P（A+B）=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.90.30.10.7=0.34七、全概率公式例1假设用某种简化的试验来诊断癌症，经诊断，真正患有癌症者被诊断为患有癌症的概率是0.95，未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90，现对一批患癌症率为万分之四的人群进行癌症普查试验，求某人被诊断为患癌症的概率，并求此人真的患癌症的概率被诊断为患癌症，这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关，而且必居其一 所以要对事件B进行分
9、解转移，这正是全概率公式的功能另一问不难看出是条件概率解：设B=某人被诊断为患癌症 A1某人真的患癌症，A2某人未患癌症显然B能且只能与A1，A2之一同时发生已知 P(A1)=0.0004 P(A2)=0.9996，由题设 P(BA1)=0.95 P(BA2)=10.90=0.10用全概率公式，得到P(B)=P(A1)P(BA1)+ P(A2)P(BA2)=0.00040.95+0.99960.100.100 34第二问是求“某人被诊断为患癌症的情况下，某人真正患癌症”的概率即求P(A1B)用条件概率公式P(A1B)0.0038此结果表明，诊断患癌症而真正患癌症的人不到千分之四二、综合练习1.
10、填空题1.设A，B，C是三个随机事件，试用A，B，C的运算关系表述下述随机事件： (1)A，B至少一个发生，C不发生=； (2)A，B，C都不发生= ； (3)A发生，B，C至少一个不发生= .2.若A+BU，AB，则A是B的 ，P(A)= .3.若= .4.设二事件A，B，已知,则P(A+B) .5.已知产品的合格品率是90，一级品率是72，那么合格品中的一级品率是 .6. 设事件组A1，A2，An满足：(1) ，且P(Ak)0，k=1,2,n； (2) A1+A2+An=U(完全性)，则对任一事件B都有1(1) (A+B)；(2)；(3)A(). 2对立事件，1P(B)3P(B)； 4；
11、580%； 6A1，A2，An互不相容2.单选题1. 抽查10件产品，设A=至少2件次品，则 A=( )(A)至多2件次品；(B)至多1件次品；(C)至多2件正品；(D)至少2件正品2. 掷两颗均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是( )3. 据统计，某地区一年中下雨(记作事件A)的概率是，刮风(三级以上的风)(记作事件B)的概率是，既刮风又下雨的概率是则下列各式正确的是( )4. 设A，B为两个任意事件，则P(A+B)=( )(A) P(A)+P(B)； (B) P(A)+P(B)P(A)P(B)；(C) P(A)+P(B)P(AB)； (D) P(A)+P(B)1P(A)5. 设A，B为两
12、个随机事件，那么三个概率值P(A+B)，P(AB)，P(A)+P(B)由小到大的顺序是( ) (A) P(AB)P(A+B)P(A)+P(B) (B) P(A)+P(B)P(AB)P(A+B)(C) P(A+B)P(AB)P(A)+P(B) (D) P(AB)P(A)+P(B)P(A+B)1. B 2. D 3. D 4. C 5. A三、多选题1. 设二事件A，B 满足AB=，则( )(A) A与B互不相容； (B) P(A+B)=P(A)+P(B)(C) P(AB)=0； (D) A与B独立 2. 设二事件A，B满足P(AB)=P(A), 则( )(A) A与B互不相容；(B)A与B相互独
13、立；(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)3. 若事件A,B满足AB，则( )(A) P(A+B)=P(A) ；(B) P(BA)=P(B)P(A)(C) P(AB)=P(A) ；(D) P(A+B)=P(B)4. 若事件A与B独立，则( )成立. (A) P(AB)P(A)P(B)；(B) P(A B)=P(A)P( B)(C) P( AB)=P( A)P(B)； (D) P( A B)=P( A)P( B)5. 以下结论成立的是( )(A) A+B=U,则P(A)+P(B)=1 (B) U与是对立事件(C) P(A+A)=P(A) (D) P(2A)=2P(A)6. 全概率公式叙述正确
14、的是( )(A) 如果事件A1，A2，An满足：(1) A1，A2，An互不相容，而且P(Ak)0(k=1,2,n)；(2) A1+A2+An=U(完全性)，则对任一事件B都有(B) 如果事件A1，A2，An满足：(1) A1，A2，An互不相容，而且P(Ak)0(k=1,2,n)；(2) A1+A2+An=U(完全性)，则对任一事件B都有(C) 如果事件A1，A2，An满足：(1) A1，A2，An互不相容，(2) P(Ak)0(k=1,2,n)；则对任一事件B A1+A2+An，都有(D) 如果事件A1，A2，An满足：(1) A1，A2，An互不相容，而且P(Ak)0(k=1,2,n)；
15、(2) A1+A2+An=U(完全性)，7. 已知事件A1，A2，An，下列关于事件A1，A2，An的各条件中不是全概率公式所要求的条件为( )(A)事件A1，A2，An互不相容；(B)事件Ak满足P(Ak)0(k=1,2,n)；(C) 事件A1，A2，An互相独立；(D)事件Ak(k=1,2,n)满足A1+A2+An=U1. ABC 2. BCD 3. BCD 4. ABCD 5. BC 6. BCD 7. ABD4.配伍题1. 关于概率公式，(A) 设事件A，B互为对立事件，则有 P(A+B)=P(A)+P(B),P(A+B)1(B) 设事件A，B互不相容，则有 P(A+B)=P(A)+P
16、(B)P(A)P(B)(C) 设A，B是两个相互独立事件，则有 P(A)=1P(B)2. 袋中有4个红球，2个白球，从中无放回地每次取1球，连续取两次，(A) 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是； (B) 两次都取到白球的概率是； (C) 两次取到红球的概率是； 3. 甲，乙二人打靶，令A甲中靶，B=乙中靶，(A) 只有甲中靶表示为； AB(B) 靶被射中表示为； A+B(C) 甲，乙二人均中靶表示为； A B 4. 做棉花方格育苗试验，每方格种两粒种子，棉籽的发芽率是0.9，则(A) 两粒种子都发芽的概率是； 0.01(B) 至少有一粒种子发芽的概率是； 0.81(C) 两粒种子都不发芽
17、的概率是； 0.99 5. 设A，B是两个随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.3，则(A) P(A+B)=； 0.6；(B) P(AB)=； 0.75 (C) P(AB)=；6. 设事件组A1，A2，A3，并设条件(1) A1，A2，A3互不相容； (2) A1+A2+A3=U(完全性)；(3) A1，A2，A3互相独立； (4) P(Ak)0，k=1,2,3； (5) A1，A2，A3U以下结论成立的或是完美搭配的(不需再化简，并用A1，A2，A3的概率表示)是(A) 若满足条件(4)+(5)，则 P(A1A2A3)=(1P(A1)(1P(A2) (1P(A3)(
18、B) 若满足条件(1)+(2)+(4)，则 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P（A1A2)P( A1A3)P( A2A3)P(A1A2A3)(C) 若满足条件(3)，则； 对任意事件B，有1.（A） （B） （C）；2.（A） （B） （C）3.（A） （B） （C）；4.（A） （B） （C）5.（A） （B） （C）；6.（A） （B） （C）5.是非题1.随机事件A、B满足运算律2. 从图书馆的书架上随机取下一本书，记A数学书，B =中文版书. 则事件A B表示外文版数学书. 3. 如果事件A+B=U，则A，B互为对立事件.4. 已知P(A)=0.5，P(B)=
19、0.4，则P(AB)=0.50.4. 5. 事件A与互不相容. 6. 设事件组A1，A2，An满足：(1) A1，A2，An互不相容； (2) A1+A2+An=U(完全性)，则对任一事件B都有1.； 2. ； 3.； 4.； 5. ； 6.；6.计算题1. 设G表示认为购买股票是合适的投资，Z表示认为购买债券是合适的投资. 用字母符号写出以下的表达式或用文字表述下列的表达式(1) 认为购买股票是合适的投资，而购买债券不是合适的投资；(2) P(G)；(3) GZ. 2. 某产品的设计长度为20cm，规定误差不超过0.5cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得长度如下表：长度(cm)19.5以
20、下19.520.520.5以上件 数 5 68 7试计算这批产品的合格率. 3. 已知某射手一次射击中靶为6,7,8,9,10环的概率分别是0.19，0.18，0.17，0.16，0.15. 该射手射击一次，求(1) 至少射中8环的概率； (2) 至多射中8环的概率4. 加工某产品需要两道工序，如果每道工序加工的产品合格的概率为0.95，求至少一道工序加工的产品不合格的概率5. 期末要进行政治经济学和经济数学基础课程的考试，一个学生自己估计能通过数学考试的概率是0.6，能通过政治经济学考试的概率是0.7，至少通过两科之一的概率是0.8. 求他两科考试都能通过的概率. 又若他提前知道了政治经济学
21、已通过，则他此时估计数学考试也能通过的概率是多少？6. 假设二事件A，B独立，已知P(A)=0.6，P(AB)=0.3，求P(B)7. 假设事件A，B独立，已知P(B)=0.2，P(A+B)=0.3 ,求P(A).8. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的45，35，20如果各车间的次品率分别为4，2，5，现从待出厂的产品中任意抽取1件进行检验，求所抽产品是次品的概率1. (1)G Z ；(2)认为购买股票不合适的概率；(3) 购买股票和债券都合适2 0.85； 3. (1) 0.48 (2) 0.69； 4. 0.097 5； 5. 0.716. 0.5； 7.
22、P(A)=0.125； 8. 0.035七. 证明题1. 证明：P(AB)P(A)P(AB).2. 设事件A与B相互独立，证明：事件A与B相互独立.1. 证明：因为 AAUA(B+ B)=AB+A B ；所以 AB=AAB；所以P(A B)=P(AAB)；有 P(AB)P(AAB)又因为 ABA由概率的性质3，那么P(AAB)=P(A)P(AB)，所以 P(AB)P(A)P(AB)2. 证明 事件A与B独立，有P（AB）P（A）P（B） 因为 B=UB所以 A B=A(UB)=AUABAAB于是有 P(A B)=P(AAB)；又 ABA由概率的性质3：P(AAB)=P(A)P(AB) =P(A)P(A)P(B)(事件A，B独立) =P(A)1P(B)=P(A)P( B) (事件B与 B互为对立事件)即P(A B)= P(A)P( B)；由事件独立的定义，可知事件A与 B独立.
