1、孩子们的数学理解孩子们的数学理解(111 6 岁)CSMS 数学小组孩子们的数学理解(1116 岁)一书，原文为 Childrens Understanding of Mathematics：1116，1981 年 John Murray 出版社出版。这本书的作者为 CSMS(Concept in Secondary Mathematics and Science)数学研究小组成员：K.M.Hart，D.Kerslake， M.L.Brown，G.Ruddock，D.E.Ktichemann 和 M.McCarthey。下面简要地介绍这本书，并将第八章译出。一 全书简介CSMS 研究是由英国伦
2、敦大学乔西学院(Chelsea College， University of London)主 持的一项著名的研究(19741979)。该研究的数学部分以中学课程为基础，所涉及的课题与 中学数学课程的内容相一致。它的宗旨是寻找一种孩子们对数学的理解层次，作为教师教学 或教材编写的依据；其工作方法是：设计测试题、设计测试、选择样本、实施测试及分析测 试结果，从而建立孩子们对数学的理解层次。孩子们的数学理解(1116 岁)一书就是 CSMS 数学研究组的成员在其研究的基础上 撰写的，充分体现了他们的研究成果。全书共十四章、两个附录，探讨了度量、数的运算、 位值与十进制小数、分数、正负数、比与比例、
3、代数、图像、反射与对称、向量与矩阵等十 个论题及其理解层次。各章讨论一个论题，并给出实验所用的测验题，区分出对于孩子们来 说容易的题和较难的题，对孩子们所用的解题方法和所犯的错误也作了讨论，还给出了这些 论题的理解层次。最后讨论了 CSMS 的研究对于教学的含义。本书第八章“代数”作为 CSMS 的一个研究论题，充分体现了 CSMS 的研究方法，值得 我们借鉴。研究证明，代数中的字母可赋予许多不同的意义，如给字母赋值、忽略字母的意 义、把字母当作物体、把字母当成特定的未知量、看成一般的数、看成变量等，其选择依赖 于孩子们的认知水平；尤其孩子们要想对代数有任何粗浅、真实的理解，他们就必须能处理
4、那种需要把字母当成特定未知量的问题。因此，教师应有意识地帮助孩子们度过这一“极点”， 即根据孩子们的认知水平及孩子们对字母意义的不同理解水平进行代数教学活动。仔细阅读本书，我们会明白很多东西，再次体会作为孩子时进入数学世界的那份惊奇与 喜悦。作为教师，当我们了解到这些成果并运用于教学时，会产生不寻常的效果。二 全文翻译第八章：代数(一)引言 设计代数测验时，我们总希望把广泛的、典型的中学代数(推广了的算术)活动反映出来，如代换、简化、列方程、阐释及求解方程等。然而，我们会发现这些活动(不论取孤立的或 联合的方式)涉及面太广，不能由单一测验包括进来。因此，有必要寻找其他更基本的标准 以确定测验的
5、特定内容，使测验更具效力。最终，我们选取了两个标准，这两个标准可简称 为题目结构复杂性及字母所赋予的意义。下面描述这些标准的意义及其形式，并讨论它们在 测验问题中的应用。(二)设计和分析测验的标准表 1 是孩子们对代数测验的问题 9(该题要求写出各种图形的周长的表达式)给出的答案 (这些答案均认为是正确的)。为简单起见，这里及后面大部分表格所出现的百分率，是取总 量近 1000 名 14 岁儿童的样本得出的。表 l 问题 9 的正确答案(14 岁)9(i)9(ii)9(iii)9(iv)e e eh hh h tu u5 562 2 2本图只画出一部分， 共n条边，每边长为23e 94%4h+
6、t 68%4h+1t2u+16 64%u+u+162u+2.5+1.62n38%n2表中的百分率(题目难度的标志)显示这四个题目的难度依次增大。几乎所有(14 岁)儿童能解问题 9(i)，但仅有一半儿童能正确解决问题 9(iv)。Collis(1975)和 Halfold(1978) 已证明题目难易度的一个重要判别依据是其结构复杂性。对于问题 9，结构复杂性表现为题目所涉及的“变量”的数目。这个标准有力地阐释了问题 9(i)、9(ii)之间不同的难易度， 但对于其他每对问题却无能为力。例如，从表面上看，问题 9(iii)(一个变量)比 9(ii)(两 个变量)容易，问题 9(i)与 9(iv)
7、因有相同的答案形式，其难易度应差不多，但事实上却相 反。幸而，Collis 提出了一种克服此类困难的方法。他证明了，一个题目所含各种量的性 质及题目本身的结构复杂性对题目难易度有突出的影响。Collis 区别出这些量是小数量、 大数量，还是代数量。更为重要的是，Collis 指出了，一个题目的难度源于该题目所含各 量对于儿童来说所缺少的意义的程度。例如，8 岁儿童很乐意碰到 2+3 这样的式子，因为他 能把这些量及量之间的关系与日常生活直接联系起来(2 个弹子加上 3 个弹子等于 5 个弹 子)，但是，像 274+356 这样超出儿童的检验范围的大数量之间的关系式，儿童或许不能想 象出一个恒定
8、唯一的结果。因此，在推广了的算术里，了解儿童对各个字母量所能认识的意义的程度，对于确定题 目的难易度是至关重要的。而且，孩子们会对代数量赋予不同的意义，用意想不到的方法求 解题目，这又反过来影响题目难度。赋予字母以不同的意义，意味着什么后果?它如何帮助我们解释题目难易度上的差异? 为弄清这一点，我们回到问题 9，特别是了解一下孩子们所给出的一些不适当答案。因为这 会帮助我们看清孩子们是如何求解题目的。如前所述，问题 9(i)与 9(iv)有相同的答案形式(3e 和 2n)，但是 9(iv)要难得多。那 么，这两个题目的不同的难度是怎样造成的呢?在问题 9(iv)中，n 是一个确定的数(已知图
9、形有 n 条边)。虽然 n 的数值未知，但它却必须参与运算。Collis 指出，这一点在中学生看 来是极难理解的。例如，他看到许多孩子在求解联立方程之前，先对代数量赋予具体的数值。 这种情况在问题 9(iv)的答案中就出现了，有相当数量(18)的学生给出像 32、34 那样的 具体数值答案。可以想象，这些数值答案是通过画出一个一个的图并数出边数而得到的(约16多一点的学生)，或在已给图形上添加若干条边得到。显然，这些孩子不喜欢用字母来 代表数量。如果这解释了问题 9(iv)的难度，那也可用来解释问题 9(i)及另外两个问题，因为这些 问题也出现了用字母表示的数。然而，在孩子们看来，这些字母不表
10、示边的长度，而是某种 简单得多的东西。他们把字母当成边的名字或标记，然后把这些名字集中放在一起。这一点 可由如下事实看到：许多孩子(27)不是给出答案 2u+16，而是 2u+2，5+1，6。后一表示正 像是堆集东西。同样，孩子们用 4h+1t 表示 4h+h、t(由于标记法的缺点，未能记录相应的百分率)，有些孩子(20)干脆列出元素表，如 4h、t 或 4ht，甚至 hhhht。总之，问题 9 的答案反映出，孩子们对字母赋予了三种不同的意义。不足一半的同学能 把字母看成特定未知量，其他同学则给字母赋值(16 或 17 条边，而不是 n 条边)，或把字母 当成物体(两个 u 边、两个 5 边、
11、一个 6 边)。孩子们在其他代数测验中也对字母赋予了这三种意义。已查知，孩子们对字母有六种不 同的用法，即赋予了六种不同的意义。下面简要介绍它们，并作进一步讨论。(三)孩子们对字母所赋予的意义1给字母赋值 这属于一开始就用数值代替字母而得出答案的情况。2忽略字母的意义 置字母而不顾，或最多承认其存在但不赋予任何意义。3把字母当成物体 把字母看作物体的记号，或直接看成物体。4把字母看成特定未知量 把字母看成一定的但未知的数，而且可直接参与运算。5把字母看成广义的数 认为字母代表(至少能取)几个数值，而不只是一个数值。6把字母看成变量 字母代表一定范围的不确定的数，两组这样的数之间存在一种系统的关
12、系。 孩子们对字母意义的选择在某种程度上与问题的性质有关(并非所有分类总相关)，也与问题的复杂性有关。一般地，前三类情况对应于一种较低水平的解题能力。可以这么说，孩 子们要想对代数有任何粗浅真实的理解，他们就必须能处理那种需要把字母当成特定未知量 的问题，这种问题的结果可以比较简单。大多数孩子(13、14 或 15 岁)不能很好地做到这一 点，代之采用上述六种分类的前三类方法。极少孩子理解力较高，能把字母当成变量。除了上述六种分类外，孩子们的解答能力以及题目本身划分成不同的“理解水平”(同 其他 CSMS 测验一致)。这里划分成四种水平。但这四种水平与六种分类的关系应能从下面的 讨论中看到。下
13、面还对各种分类的意义作了详细讨论。给字母赋值 此时，孩子们不是按特定未知量的意义运算，而是直接给未知量赋予一个数值。这类情况也出现在求解方程中未知量的数值的过程中，孩子们不是先对未知量进行运算。问题6(i)、11(i)和 11(ii)(表 2)就属于这种情况，但问题 14 不是这样。表 2 孩子们的答案(14 岁)6(i)(水平1)11(i)(水平2)11(ii)(水平2)14(水平3)若a+5=8 则a=?若u=v+3且v=1 则u=?若m=3n+1 且n=4 则m=?若r=s+t且 r+s+t=30 则r=?a=3 92%u=4 61m=13 62r=15 35r=30-s-t6u=2 1
14、4其他值 14r=10 21由表可知，几乎所有孩子都正确回答了问题 6(i)(他们只须从 5 数到 8)。问题 1l 的两部分都更难(水平 2)，但大多数同学还是能正确回答。难度增加的主要原 因可能是：问题涉及两个未知量，11(i)、11(ii)的第一个方程有多解(例如，u=v+3 允许有 许多组解)。不过，联立第二个方程(如 v=1)，就只有唯一解了。问题 14 难度更大(水平 3)。在第二个方程中用 r 代替 s+t，就可以求解问题 14，但这 是对未知量进行运算(不过，由 r+r=30 可解出 r)，属于用字母表示特定未知量的情况。出 现大量，r=10 的错误答案这一事实说明，孩子们是直
15、接对第二个方程中的 r 赋值 (10+10+10=30)，而不是对 r 赋予更高类别的意义。忽略字母的意义问题 5 的前两部分(5(iii)例外)均可忽略字母的意义求解(表 3)。5(i)很简单(水平 1)， 不过 5(i)涉及两个未知量，这两个未知量可不必细究。把注意力集中在+2 上，通过比较可 消去变量，方程的左边变成 43 加上 2。表 3 孩子们的答案(14 岁)5(i)(水平1)5(ii)5(iii)(水平3)若a+b=43 则a+6+2=?若n-246=762 则n-247=?若e+f=8 则e+f+g=?45 97761 748+g 4115 2763 13其他 812 268g
16、 39 6通过方程之间的比较，用同样的方法可消去 5(ii)中的字母(不过，还是有一些孩子先对字母赋值，结果因为数值大而导致运算错误)。由于牵涉到大数量和(1)的运算，问题5(ii)比 5(i)难度大。247 比 246 大，致使一些孩子用 762 加 1，而不是减 1。5(iii)也可用比较方程的方法求解。虽然 e 和 f 可因之消去，但孩子们还得用 g 运算， 这涉及特定未知量(因 5(iii)属于水平 3)。许多孩子投机取巧，给 g 赋值(还很有逻辑味道 呢!)，结果得出答案 12(4+4+4=12)，或得出答案 15(因为 g 是字母表中的第 7 个字母)。还 有些孩子简单地用 8 加
17、 1。可以推知，这是增大一个数量的最简单方式。把字母当成物体此类情况在问题 9 的周长计算中出现过，其中前三个图形出现的字母可当成边的记号， 而不是边的长度。字母所赋予的这种意义可成功地用于问题 13 的某些部分。该问题要求简化各种代数表 达式。表 4 正确答案(14 岁)13(i)(水平1)13(iv)(水平2)13(viii)(水平3)13(v)(水平4)2a+5a=2a+5b+a=3a-b+a=(a-b)+b=7a 863a+5b 60%4a-b 47%a 23求解 13(i)和 13(iv)时，可把字母当成名称(如苹果、香蕉)，所以，2a+5b+a 即表示 2个苹果、5 个香蕉、再加上
18、另一个苹果，也即 3 个苹果加 5 个香蕉。 或者干脆把字母本身想象成物体(2 个 a、5 个 b、另一个 a)，不把字母当成未知量，从而问题显得简单多了。然而，上述方法对于问题 13(v)(水平 3)就碰壁了。3 个苹果减去 1 个香蕉毫无意义(除非原先就有一些香蕉)，3 个 a 减去 1 个 b 也是无意义的(除非把 b 看成 一个数)。同样的困难也出现在 13(v)的式子(a 一 6)中。这里，故意加一个括号，把注意力 引到 a-b 上来，而 a-b 本身是不能简化的。然而，问题的难度不是单独由括号带来的(同样的问题，但负号变成正号：(a+b)+a，就显得容易多了(53)，难度接近于没有
19、括号的问题13(iv)。 把字母当成物体，让字母具有的抽象意义变得“真实”而具体，这往往使孩子们解题成功。如果考虑字母本身的含义，这些问题就很难处理了。不过，这种由抽象到具体的方法也 常失败，特别是对于那些必须区分“物体”及其数量的问题(如卷心菜、铅笔、工资、小时 等)。这种区分常常难以把握。一个惯用的例子，就是把“1 先令等于 12 便士”的关系用公 式“s=12d”(字母当成物体)表示，而不是“d=12s”。问题 22(表 5)很容易产生这类错误，即使在整个测验中获得很好成绩的孩子也常犯这样 的错误。要解此问题最起码也得把字母看成特定未知量：“我买了 b 支蓝铅笔，共花了 5 b 便士”等
20、。把孩子们给出的各种答案分类是不可能的。所记录的答案中，“b+r=90”及形如 “6b+lOr=90”的答案也许最有趣。表 5 孩子们的答案(14 岁)问题 22（水平 4）蓝铅笔每支 5 便士，红铅笔每支 6 便士，我买了一些蓝铅笔和红铅笔，共花费 90 便士 设 b 表示所买的蓝铅笔数，r 为红铅笔数，试写出 b 和 r 满足的关系式5b+6r=90 10% 给出如下数对中的两对(6,10) ,(12,5) ,(18,0) ,(0,15) 1%b+r=90 17%6b+10r=90 或 12b+5r=90 6%大部分给出答案“b+r=90”的学生都能解答水平 3 的题目。不过，他们的答案意
21、思是“蓝(铅笔)加红(铅笔)值 90 便士”，这显然正确但信息不足，而且把字母看成物体。(“b+r=90” 可读成“所买蓝、红铅笔的数量花费 90 便士”，这更多意味着的是问题的具体实在，而不 是对数量的纯粹描述。)那些给出答案“6b+10r=90”的孩子，已发现了 b 和 r 的一对正确的数值(6，10)，但没 有把 b 和 r 当成数量，而说“6 支蓝(铅笔)加 10 支红(铅笔)花费 90 便士”，再一次把字母 当成物体。把字母看成特定未知量前述三类情况里，不把字母看成真正的未知量，避免了代数学方法。现在讨论的情况却 把字母当成特定未知量，这种想法还很原始，但却具有了代数学的观念。把字母
22、当成特定未知量的情况前面已讨论过了。例如，问题 9(iv)(p=2n)、14(r=15)、5(iii)(e+f+g=8+g)、13(iii)(3a-b+a=)和 13(v)(a-b)+b=)。在问题 4(表 6)中，可把字母 当成特定未知量，但对于 4(ii)、4(iii)则必须多加小心。表 6 孩子们的答案(14 岁)4(i)(水平2)4(ii)(水平3)4(iii)(水平4)n+5与4相加3n与4相加n+5与4相乘n+9 68%3n+4 36%4n+20或4(n+5) 17%9 20%7n 31%7 16%4n+5或4n+5 19%n+20 30%20 15%令人吃惊的是，问题 4(ii)
23、显得特别难(水平 3)，得出答案 3n+4 却很容易。也正因为如此，让人感觉不满意。孩子们觉得应该把 3n 与 4 真正加起来。由于 n 是未知量。许多孩子 不能做到这一点，干脆写出答案 7n 或 7，把有意义的数量(3 和 4)直接加起来，把字母丢在 一边，甚至完全略去。把字母略去属于“忽略字母”的那类情况。在 4(iii)的答案 n+20 和 20 中，也出现了 这种情况。不过，这种情况出现在问题 4(i)中就给出了正确答案(该问题中，把字母放在一 边，把数量相加是合理的)。4(ii)和 4(iii)都要求把字母当成特定未知量，但问题 4(iii)(水平 4)要难得多。这是 因为它具有更大
24、的结构复杂性，必须把 4 与式子 n+5 的两部分都相乘。可是，很多孩子把 n+5 当成一个单项来施行运算。这种方法用在 4(ii)就能给出正确答案 3n+4。但用在 4(iii) 就不能给出要求的答案，反而给出 4n+5 之类的模糊答案来。可以说，得出答案 4n+5 是算术概念掌握不牢的后果(此处不括括号)。但对于三年级 的学生。是无可非议的，而且该问题不要求用括号求解。把字母看成广义的数 把字母看成特定未知量，即是认为字母有一个特定的值(但未知)。相应地，把字母看成广义的数，即认为字母可取几个数值。(也可以去区分：该字母是轮流取几个数值，还是同时代表若干个数值。后者蕴涵了下一段落讨论的变量
25、的某些观念。不过，这里不作区分。) 在问题 16 和 18(ii)(如下表)中，似乎要把字母看成广义的数。这两个问题比涉及特定 未知量的题目要难，也可能孩子们首先接受的是特定未知量的观念。不过，把字母所赋予的 这两种意义看成是同一硬币的两个面，或许要有益一些。因为在代数问题的教学中，孩子们 常图方便，从一种意义跳到另一种意义中去。(不妨回到问题 22，孩子们或许把 b、r 看成特定未知量，并得到答案 5b+6r=90，但同时意识到答案所蕴涵的 b、r 的全部可能值。) 问题 16 主要是看孩子们能否找到 c 的几个可能值。由表 7 看出，多数孩子只找到一个值。这并不意味着孩子们不愿再找其他数值
26、(如果要求的话)。表 7 孩子们的答案(14 岁)16(水平3) 18(ii)(水平4) 若c+d=10 且cd 对c的值作出判断L+M+N=L+P+N恒成立，有时成立，不成立 (条件)cn+2，这种关 系对于每对数成立，而且由问题本身所决定。不过，也可以在数对之间建立二级关系，即“n 增大时，2n 与 n+2 之间的差也增大：14-98-6”，即“2n 的增大比 n+2 快”。二级关系的意义是让人看到这种可能性：对于 n 的某些小数量，或者 2n 与 n+2 相等， 或者 2n 比 n+2 小(分别对应于 n=2 与 n2 时的情形)。这不是说孩子们确实做了这些思考，即使是那些“过程思考能力”强的孩子，也只是考 虑了 2n 对于 n+2 所产生
