1、中国石油大学大物219章习题解答03习题99-1 .选择题1.一质点作简谐振动，振动方程为x=Acos（ t + ），当时间t =T 2（T为周期）时，质点的速度为（ ）2两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同 当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第一个质点的振动方程为 Xi=Acos（ t+ ）。,第二个质点正在最大位移处，则第二个质点的振动方程为（ ）(A)x2=Acos(t+ /2)(B)x2=Acos(t+/2)(C)x2=Acos(t+3 /2)(D)x2=Acos(t+ )3轻弹簧上端固定，下系一质量为 mi的物体，稳定后在 伸长了 Ax，若将m2移去，并
2、令其振动，则振动周期为（mi的下边又系一质量为 m2的物体，于是弹簧又）(A)(B)(C)(D)4.一个质点作简谐振动，振辐为动的旋转矢量图为（ ）A,在起始时刻质点的位移为 A/2，且向x轴的正方向运动，此简谐振(A)A sin(B)Asin(C)A cos(D)Acos(A)(B) (C) (D)5.用余弦函数描述一简谐振动，已知振幅为A，周期为T，初位相/3，则振动曲线为下图中的（）(B)AAO2A/2(D)I Lx6.质点作谐振动，振动方程为x=Acos（ t+），在求质点振动动能时，得岀下面5个表达式:0.1 -fy(m)t=0/ x(m)Opy一 WDi(1)(1/2) m 2A2
3、sin2 (t+ )2 2 2(1/2) m 2A2cos2 (t+ )(1/2) kA2 sin ( t+)(1/2) kA2 cos 2 ( t+)(5)(2 2/T2) mA2 sin2 (t+ )其中m是质点的质量，k是弹簧的倔强系数，T是振动的周期。下面结论中 正确的是( )习题9-1(7)图fSttzN(A)(1)，(4)是对的(B)(2)，(4)是对的(C)(1)，(5)是对的(D)(3)，(5)是对的(E)(2)，(5)是对的A(如习题9-1(7)图所示),则此振子作()(A)等幅振动ty(m)(B)阻尼振动A 厂 -厂7=0、(C)强迫振动O 2 x(m)(D)增幅振动7.有
4、一悬挂的弹簧振子，振子是一个条形磁铁，当振子上下振动时,条形磁铁穿过一个闭合圆线圈习题9-1(8)图8.圆频率为 的简谐波沿x轴的正方向传播,t=0时刻的波形如习题9-1(8)图所示，则t=0时刻，x轴上各质点的振动速 度v与坐标x的关系图应为( )ov(m sj(A)x(m)(C)丄。 v(m s-1): 八1 1-Ax(m)9.一平面简谐波沿x轴负方向传播，已知波的波函数为()(A)y=Acost- (X0 X)/ u+o(B)y=Acost-(x X0)/ u+0(C)y=Acost - (X0 - x)/ U+0(D)y=Acost+(X0 x)/ U+010.习题9-1(10)图所示
5、为一平面简谐波在动曲线为下图中的( )t=0时刻的波形图，该波的波速u=200 m S1，则P处质点的振习题9-1(10)图(A)11.一列;机械横波在t时刻的波形曲线如习题()(A)o ，b，d， f(B)a c，e,g(C)o ，d(D)b，f9-1(11)图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是媒质中某质元正处于平衡位置， 此时它的能量是()b两点的相位差是( )12. 平面简谐波在弹性媒质中传播， 在某一瞬时，(A)动能为零，势能最大(B)动能为零，势能为零(C)动能最大，势能最大(D)动能最大，势能为零13.习题9-1(13图所示为一平面简谐机械波在 t时刻的波形曲线。若此时A
6、点处媒质质元的振动 动能在增大，则()(A)A点处质元的弹性势能在减小(B)波沿x轴负方向传播(C)B点处质元的振动动能在减小(D)各点的波的能量密度都不随时间变化14. 某时刻驻波波形曲线如习题 9-1(14)图所示，则a(A)(B)/2(C)5 /4(D)015.沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为y1=Acos2 (v-t x/ )yz=Acos2 ( v -+ x/ )叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为( )(A)x= k(B)x= k /2(C)x= (2k+1)/2(D)x= (2k+1)/416.机车汽笛频率为750 Hz,机车以时速90公里远离静止的观察者，设空气中声速为
7、340m s-1，则观察者听到声音的频率是 ()m习题9-2(4)图(A) 810 Hz(B)699 Hz(C)805 Hz(D)695 Hz9-2.填空题1 将单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为 。2.用40N的力拉一轻弹簧，可使其伸长 20cm，此弹簧下应挂 kg的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T=0.2 s。3.一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为 x轴的原点。已知周期为 T振幅为A(1)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为x= (
8、2)若t=0时质点处于x=A/2处且朝x轴负方向运动贝U振动方程为x=4. 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取岀其中的两根，将它 们并联在一起，下面挂一质量为 m的物体，如习题9-2(4)图所示，贝U振动系统的频率为 。5. 频率为100Hz，传播速度为300m s-1的平面简谐波，波线上两 点振动的相位差为 /3,则此两点相距为 。6如习题9-2(6)图所示，在竖直平面内半径为 R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静止于轨道的最低点。若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，问此物体是否作谐振动 ，振动周期为7.弹簧振子，当位移是振幅的一半时，该振动系统的动能与总能量之比是 ;位移
9、为 时，动能和势能各占总能的量一半。&一弹簧振子，弹簧的劲度系数 k=25N m-1,当物体以初动能 0.2J和初势能0.6J振动时，谐振动的振时，势能与动能相等；位移是振幅之半时 ，势能幅为 ;位移为为 。9.一作简谐振动的振动系统，其质量为 2 kg，频率为10. 两个同方向的简谐振动曲线如习题 9-2(10)图所示,合振动的振幅为 ，合振动的振动方程为 。11. 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动 ，它们 的振动方程分别为X1=0.05cos( t+ /4) (m)X2=0.05cos( t+19 /12) (m)其合成运动的运动方程为 x= 12.两谐振动的振动方程分别为x 5 10
10、 $ cos 10t 3 4 (m)2 .x2 6 10 cos 10t 4 (m)其合振动的振幅和初相位分别为13. 列余弦横波以速度 u沿x轴正方向传播，t时刻波形 曲线如习题9-2(13)图所示，试分别指出图中 A、B、C各质点 在该时刻的运动方向： A ； B ；C 。14.已知一平面简谐波沿 x轴正向传播，振动周期T=0.5s,波 长 =10m,振幅A=0.1 m。当t=0时波源振动的位移恰好为正的最大值。若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为 /2处的振动方程为- u0y (10 m)5ZX 八 x (m)-2710 150/25习题9-2(15)图当t=T/2， x= /4处质
11、点的振动速度7.75%, xA28.(1) 0.253m；(2) x= 0i.179m；9.9.86 102J210.A2 A1 ； yAcostT11.x=0.05cos(t- /12)12.-27.81 102m；1.48rad13.向下，向上，向上14.y=0.1cos4t_ )(m )；15.)(m )(3) 0.2J-1-0.4 (m s1)_ 2y=2 x 10 cos( t+16.R217.1218.y 0.01cos4t(m)19.20.1.58 105W(1) A=1.50 10 2m343.8m-1 -1s1; (2) 0.625m； (3) 46.2 m s19-3.一轻
12、弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端并使 之静止，再将物体向下拉 10cm,然后释放并开始计时。试求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方 5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方 5cm处所需要的最短时间。解(1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系200N/m30 10 2A 0.1m200 7.07rad/s设振动方程为0.1cos 7.07t故振动方程为0.10.10.1 cos0.1cos 7.07t(m)(2)设此时弹簧对物体作用力为F，则F k x k x0 xmg 40其中 xo
13、0.196mk 200因而有 F 200 0.196 0.05 29.2N(3)设第一次越过平衡位置时刻为 t1，则0 0.1cos7.07ti ti 0.5 7.07第一次运动到上方 5cm处时刻为t2 ，则0.05 0.1cos 7.07t2 t2 2 3 7.07故所需最短时间为：t t2 t1 0.074s6cm处速9-4.一质量为 M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅 12cm，在距平衡位置度为24 cm s-1，试求：周期 T和速度为12 cm s-1时的位移。解得:所以故12 12 sin tsin tcos tx 12cos t 1216、3 sin t,34134410.8c
14、m解(1)设振动方程为x Acos t cm以 A 12cm、x6 cm、v24cm s11代入，得：612 cos t2412 sin t利用sin2 t2 x cos t1则26242A121214 - 323解得T2.72s32以v12cm s 1代入，得：9-5谐振动的振动曲线如习题 9-5图所示，试求振动方程。 解设 振动 方程 为x A cos t根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得:12故振动方程为x 10cos 5212(cm)9-6 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率 =10 rad s-1，试分别写出以下两种初始状态的振动方程：(1)其初始位移xo= 7.5 cm,初始速度
15、Vo=75.O cm s-1;(2)其初始位移 X0= 7.5 cm,初速度 V0= 75.0cm s-1。解设振动方程为(1)由题意得：x A cos 10t7.5 Acos75 10 Asin解得： .4 A=10.6cm故振动方程为：x 10.6 cos 10t 4 cm同法可得:x 10.6 cos10t 4 cm9-7 一轻弹簧在 60 N的拉力作用下可伸长 30cm,现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它 上面放一小物体，它们的总质量为4kg。待其静止后再把物体向下拉 10cm,然后释放。试问:(1)此小物体是停止在振动物体上面还是离开它？(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离
16、，则振幅 A需满足何条件？两者在何位置开始分离？解(1)小物体停止在振动物体上不分离。(2)设在平衡位置弹簧伸长10,则kl0 Mg又故当小物体与振动物体分离时-1200N s10.3Mg 4 9.8HT 2000.196mkA kl0 Mg ，即 A l0,故在平衡位置上方 0.196m处开始分离。9-8.木板在水平面上作简谐振动， 振幅是12cm,在距平衡位置6cm处，速度是24 cm s-1。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动 (振动频率不变)，当木板运动到最大位移处时物块正好开始在木板上滑动，试问物块与木板之间的静摩 擦系数是多大？解设振动方程为x 1
17、2 cos t则：v 12 sint以 x=6cmv=24cm/s代入得：6 12 cost24 12 sint4. 31解得rads3最大位移处:a A2F ma mA2由题意，知mgmA 2A 2 g0.06539-9.两根劲度系数分别为 k1和k2的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为 m的物体相 连结，组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动 ？若作谐振动，其周期是多少？若将两弹簧并联，其周期是多少 ？解(1)串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长 X10、X20mg k2X20(1)k1 x10 k2X20取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为X,两弹簧
18、再次伸长 X1、 x2，则F mg k2 X20由知又由(4)、(5)得将(6)代入(3)得看作一个弹簧所以Fk2 X2(3)k1 x1k2X2X1X2XX2k1k1X k2X2ki k? ki k2F kxki k?kik2因此物体做简谐振动，角频率 m m k1 k2周期 宀2防(2)并接：物体处于平衡位置时,mg k1x0 k2x0X1XoXX2 Xo X所以Fmgk1 Xox k2 x0 xF k1 k2 xF kxk k1 k2取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移 x则 F mg k1x1 k2x2式中X1、x2分别为两弹簧伸长将(7)代入得看作一个弹簧所以 因此该系统的运动
19、是简谐振动。其角频率因此周期O上，令其在自身平面内作微J mR2 md2 2mR222mR2dt2d2 g dt2 2RRmgsi n Rmg0 所作振动为简谐振动所以(2)等效单摆周期为T的摆长为2R。9-10.如习题9-10图所示，半径为 R的圆环静止于刀口点 小的摆动。试求：(1)求其振动的周期；(2)求与其振动周期相等的单摆的长度。解(1)设圆环偏离角度为M RmgsinMJ J ddt2k=24N m-1，重物的质9-11 如习题9-11图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数量为m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F 10 N向左作用于物体(无摩擦)，使之由平衡位置向
20、左运动了 0.05 m,此时撤去力F。当重物运动到左方最大位置时开始计时,求物体的振动方程。解以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立 坐标系，设振幅为A，由功能原理可得FS kA2 2因此 A 2FS k 12 2 10 0.05 2412 0.204 mk/m 12 2rad s-1又因物体运动到左边最大位移处开始计时 ，故初相为故得运动方程为 x 0.204cos 2t mA9-12 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为20cm,合振动与第一个谐振动的相位差为 _。若第一个谐振动6的振幅为10 3 cm，试求第二个谐振动的振幅及第一、 二两谐振动的相位差。解由题意可画出两简谐振动合
21、成的矢量图，由图知A2 一 Aj A2 2A Acos 10cm易证V 6A2 A A故第一、二两振动的相位差为 一 29-13 .质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动x 8.0 102 cos t. 3 6 / 、(m)y 6.0 10 2 cos t； 3 .3 (m)试求：(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任一位置所受的作用力。 解(1) y方向的振动可化为y 6.0 10 2 sint 36消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为22xy- 10.0820.0621 1由x8.0 102cost 36可得ax0.08 -2cost 3692同理ay0.06 -cos9t 33因
22、此F mam axiay jm0.08cos$t )i9 30.06cos(；t -)j3 60.483 xi yj9-14 .一简谐波的周期 T 0.5s，波长 10m，振幅A 0.1m。当t 0时刻，波源振动的位移 恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合，且波沿 Ox轴正向传播；试求：(1)此波的波函数；t T时刻x 处质点的位移;44(3) t T时刻，L22x 处质点的振动速度。1 4解 (1)由已知条件 1 2，可设波函数为:xy Acos2 ( t ) 0.1cos2 (2t x/10)由已知 t=0，x=0 时，y=0.1m故 0.1 0.1 cos 由此得0因而波函数为y
23、0.1cos4 (t x/20) (m)(2)山T 4，人 4处：y 0.1cos4 (1/8 10/80) 0.1 (m) t2 T 2，X24处，振动速度为A，频率为 ，波速为u。设t=t时刻v2 0.4 sin4 (t x/20)0.4 sin4 (1/4 10/80) 1.26m s-19-15. 平面简谐波沿 Ox轴正向传播，其振幅为 的波形曲线如习题 9-15图所示。试求：(1)x=0处质点的振动方程；(2)该波的波函数。解(1)设x=0处该质点的振动方程为：y A cos(2 t )由t t时波形和波速方向知， v 0, x=0 ；t t时y解由已知，得u 0.08m-1 s ,
24、0.4 mT u 0.4 0.085s(1)设波函数为y0.04cos2(t/5 x/0.4)当 t=0 , x=0 时，由图知x0,v 0因此-(或3)22则波函数为9-16.根据如习题9-16图所示的平面简谐波在 t=0时刻的波形图，试求:(1)该波的波函数；(2)点P处的振动方程。所以x=0处的振动方程为y Acos2 (t t ) /2 (m)(2)该波的波函数为：y Acos2 (t t x/u) /2 (m)y 0.04cos2 (t/5 x/0.4)(2)将P点坐标代入上式，得yp 0.04 cos(0.4 t 39-17.平面简谐波沿 Ox轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和，
25、波速为u,设t=0(1)写出该波的波函数;时的波形曲线如习题 9-17图所示: 求距点O分别为_和L两处质点的振动方程;8 8求距点O分别为_和L的质点在t= 0时的振动8 8速度。解(1)由图知2，故波函数y A cos t xu 2(2) x 时8y Acos ty AcosA sinA sin _22o8A sinA sin 42a9-18 .如习题9-18图所示为一平面简谐波在2a2O-Ay(m)00mx(m)习题9-19图t 0时刻的波形图，试画出点P处质点与点Q处质点的振动曲线，并写出相应的振动方程。解u 20 m s-1，P处振动曲线振动方程40 m，40202syP 0.20c
26、os t (m)2(2) Q处的振动曲线振动方程 yQ 0.20cos t (m)9-19.如习题9-19图所示为一平面简谐波在 t=0时刻的波形图。设简谐波的频率为 250 Hz,且此时质点P的运动方向向下。试求：(1)该波的波函数；(2)在距点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。解(1) 250 Hz , 200m，又因P点运动方向向下，则波向左传播，设波函数为y Acos 2250tx200t=0,x=0 时 y2aAAcos ，贝U24因Vo0 ,所以取(或由旋转矢量图知44故波函数为y Acos 2 250tx200(m) x=100m 时,Acos 2100250t200Ac
