1、完整word版机械系统动力学期末作业用拉格朗日方程推导单自由度的系统动力学方程拉格朗日方程在理论力学课程中已经介绍过，所以推导直接给出该方程如下：(1)式中：系统的动能； 系统的势能； 广义坐标，它可以完全确定机械系统运动的一组独立参数； 广义力，当广义坐标为一角位移时为一个力矩，当广义坐标为一线位移时为一力；n系统的广义坐标。单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件作回转运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。整个系统的能量和机械功均可表示为这个坐标的函数。1.系统的动能设机械系统中的第i个构件作一般平面运动，其动能表示为 (2)式中：构件i的质量； 构件i相对于
2、其质心的转动惯量； 构件i质心的速度； 构件i的角速度。作平动的构件的功能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动的构件则只含第二项。机械系统全部构件的动能总和为：式中l为活动构件总数。动能也可以表示为： (4)式中：称为系统的等效转动惯量。这里分析的是广义坐标q的变化规律因此（称为广义速度）是随时间变化的。2.系统的势能对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情况下，由构件的重量产生的势能与动能相比数值也很小，因此拉格朗日方程中的势能常常略去。3.系统的广义力设（k=1,2，m）和（j=1,2，n）分别为作用于机械上的外力和外力距，则这些力和力矩的功率为：式中：有外力距作用的构件的角
3、速度; 外力作用点的速度； 夹角。式中第二项符号的确定方法为：当与同向时取正号，反向取负号。广义力的定义就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中全部力和力矩在同一时间内所作的功。因此，当广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩，它可以按下式计算：按照拉格朗日方程中的要求，将(4)表达的功能求导数得：将式7、式8和式10代入拉格朗日方程(1)可得到：这就是单自由度机械系统的动力学方程。1. 机械系统动力学简介机械动力学作为机械原理的重要组成部分，主要研究机械在运转过程中的受力，机械中各部分构件的质量和构件之间机械运动的相互关系，是现代机械设计的重要理论基础。一般来说，机械动力
4、学的研究内容包括六个方面：（1）在已知外力作用下求机械系统的真实运动规律；（2）分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力；（3）研究回转构件和机构平衡的理论和方法；（4）研究机械运转过程中能量的平衡和分配关系；（5）机械振动的分析研究；（6）机构分析和机构综合。其主要研究方向是机械在力的作用下的运动和机械在运动过程中产生的力，并且从力和相互作用的角度对机械进行设计和改进的学科。2. 机械系统动力学的前期发展人类的发展过程中，很重要的一个进步特征就是工具的使用和制造。从石器时代的各种石制工具开始，机械的形式开始发展起来。从简单的工具形式，到包含各类零件、部件的较为先进的机械，这中间的发展过程经历
5、了不断的改进与反复，也经历了在国家内部与国家之间的传播过程。机械的发展过程也经历了从人自身的体力，到利用畜力、风力和水力等，材料的类型也从自然中自有的，过渡到简单的人造材料。整个发展过程最终形成了包含动力、传动和工作等部分的完整机械。人类从石器时代进入青铜时代、铁器时代，用以吹旺炉火的鼓风器的发展起了重要作用。有足够强大的鼓风器，才能使冶金炉获得足够高的炉温，才能从矿石中炼得金属。中国在公元前1000前900年就已有了冶铸用的鼓风器，并渐从人力鼓风发展到畜力和水力鼓风。早在公元前，中国已在指南车上应用复杂的齿轮系统。古希腊已有圆柱齿轮、圆锥齿轮和蜗杆传动的记载。但是，关于齿轮传动瞬时速比与齿形
6、的关系和齿形曲线的选择，直到17世纪之后方有理论阐述。手摇把和踏板机构是曲柄连杆机构的先驱，在各文明古国都有悠久历史，但是曲柄连杆机构的形式、运动和动力的确切分析和综合，则是近代机构学的成就。近代的机械动力学，在动力以及机械结构本身来说，具有各方面的重大突破。动力在整个生产过程中占据关键地位。随着机械的改进，对于金属和矿石的需求量增加，人类开始在原有的人力和畜力的基础上，利用水力和风力对机械进行驱动，但是这也造成了很多工厂的选址的限制，并不具有很大的推广性。而后来稍晚出现的纽科门大气式蒸汽机，虽然也可以驱使一些机械，但是其燃料的利用率很低，对于燃料的需求量太大，这也使得这种蒸汽机只能应用于煤矿
7、附近。瓦特发明的具有分开的凝汽器的蒸汽机以及具有回转力的蒸汽机，不仅降低了燃料的消耗量，也很大程度上扩大了蒸汽机的应用范围。蒸汽机的发明和发展，使矿业和工业生产、铁路和航运都得以机械动力化。蒸汽机几乎是19世纪唯一的动力源。但蒸汽机及其锅炉、凝汽器、冷却水系统等体积庞大、笨重，应用很不方便。19世纪末，电力供应系统和电动机开始发展和推广。20世纪初，电动机已在工业生产中取代了蒸汽机，成为驱动各种工作机械的基本动力。生产的机械化已离不开电气化，而电气化则通过机械化才对生产发挥作用。发电站初期应用蒸汽机为原动机。20世纪初期，出现了高效率、高转速、大功率的汽轮机，也出现了适应各种水力资源的大、小功
8、率的水轮机，促进了电力供应系统的蓬勃发展。19世纪后期发明的内燃机经过逐年改进，成为轻而小、效率高、易于操纵、并可随时启动的原动机。它先被用以驱动没有电力供应的陆上工作机械，以后又用于汽车、移动机械（如拖拉机、挖掘机械等）和轮船，到20世纪中期开始用于铁路机车。蒸汽机在汽轮机和内燃机的排挤下，已不再是重要的动力机械。内燃机和以后发明的燃气涡轮发动机、喷气发动机的发展，还是飞机、航天器等成功发展的基础技术因素之一。3. 机械动力学的发展过程经典力学的创立为机械动力学的发展奠定了理论基础，两次工业革命对机械动力学提出了要求，以及机械振动学和机械动力学理论的早期发展。经典力学是机械学科中很重要的理论
9、基础，同时也是机械运动学和动力学的基础。经典力学理论体系的创立和发展，在机械动力学的发展方面做出了巨大的贡献，另一方面，机械学和机械动力学的发展直接相关的数学理论的发展也起到了极其重要的推动作用。经典力学、分析力学以及弹性力学等力学理论的进一步发展，在机械的动力以及结构发展起到了很大的促进作用。而微积分、微分方程理论、变分法、矩阵论和概率论等数学理论的发展更是将机械动力学推上了新的高度。19世纪英国数学家汉密尔顿用变分原理推导出汉密尔顿正则方程，此方程是以广义坐标和广义动量为变量，用汉密尔顿函数来表示的一阶方程组，其形式是对称的。用正则方程描述运动所形成的体系，称为汉密尔顿体系或汉密尔顿动力学
10、，它是经典统计力学的基础，又是量子力学借鉴的范例。汉密尔顿体系适用于摄动理论，例如天体力学的摄动问题，并对理解复杂力学系统运动的一般性质起重要作用。拉格朗日动力学和汉密尔顿动力学所依据的力学原理与牛顿的力学原理，在经典力学的范畴内是等价的，但它们研究的途径或方法则不相同。直接运用牛顿方程的力学体系有时称为矢量力学；拉格朗日和汉密尔顿的动力学则称为分析力学。动力学的基本内容动力学的基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学、达朗贝尔原理等。以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论，陀螺力学、外弹道学、变质量力学，以及正在发展中的多刚体系统动力学等。质点动力学有
11、两类基本问题：一是已知质点的运动，求作用于质点上的力；二是已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力；求解第二类问题时需要求解质点运动微分方程或求积分。而两次工业革命也对于机械工业和机械科学的发展，尤其是机构学和动力学的发展有很大的推动作用。第一次工业革命中蒸汽机车的发明和改进以及当时的机械发明，第二次工业革命的电气时代中的汽轮机的诞生与发明，内燃机的发明与进步，一方面既是机械动力学的发展成果，另一方面也推动了自己学科的进步。此后机械动力学的发展趋势，逐渐朝着机械和机械和运载工具的高速化和大功率化、机械的精
12、密化、机械的轻量化、机械的自动化方向发展。机械机构学和机构运动学的发展，包括了震动理论的建立和发展，其中包括了线性理论和非线性理论等。转子动力学的起步，包含刚性转子平衡技术、轴承转子系统动力学的发展也是这一时期的重要理论进步。而机构学的建立，特别是理论运动学的发展，在机构学的德国学派和俄苏学派中也有了长足的进步。在机构的演进和传动机构的演进中，凸轮机构、连杆机构、间歇运动机构的演进，齿轮传动、蜗杆传动、链传动和带传动、传动系统的复杂化都为机械动力学的发展提供了条件。第二次世界大战后科技的大发展为机械动力学的进一步发展提供了指导思想、方法和技术手段，机械工业的巨大进步向机械动力学提出了新的要求，
13、机械动力学在纵向形成为包括建模、分析、仿真、动力学设计与控制的综合学科，在横向形成了机构动力学、机械传动动力学、转子动力学、机器人动力学、机床动力学和车辆动力学等多个分支领域。系统论、控制论、和信息论的诞生，为机械动力学的发展提供了新的指导思想、理论和方法。电子计算机的发明，以及基于计算机的数值方法的进步，为机械动力学提供了全新的技术手段和数学工具。非线性科学的诞生和非线性振动理论的发展，强烈地影响到机械动力学的各个领域，从线性理论提升理论是一个质的飞跃。基于计算机计算的多体动力学的出现，为复杂系统的动力学建模与分析提供了新的理论和工具。信号分析理论和方法的进步是机械振动测试手段、状态监测技术
14、以及故障诊断技术发展的基础。从横向的研究对象看，机械动力学中发展出机构动力学、机械传动动力学、转子动力学、机器人动力学、车辆动力学、机床动力学等分析领域；从动力学的研究内容看，机械动力学发展为动力学建模、动力学分析、动力学仿真、动力学设计、减振与动力学控制，以及状态监测和故障诊断等一系列领域的内容丰富的综合学科；从动力学建模的对象看，Newton研究的事单质点，Euler研究了单刚体，Lagrange启动了多刚体系统的研究，而今天的机械动力学已发展到多弹性体系统、多柔性体系统的研究。从动力学的数学工具看，Newton在力学研究中发明了微积分，Lagrang使用了变分法，众多学者在微分方程的定性
15、分析和求解方面做出了贡献。二战后，动力学的计算逐步地、完全地实现了计算机化；同时各种复杂的微分方程，包括袋鼠微分方程，刚性微分方程的数值方法也取得迅速发展。此外，机械动力学的发展也离不开各类建模方法的多样化。其中包含了多刚体系统的建模方法：Newton-Euler的矢量力学方法、Lagrange的分析力学方法和Kane的多体动力学方法；微幅振动弹性系统的建模方法：动态子结构方法和传递矩阵法；验建模方法；柔体系统动力学的建模方法：弹性动力分析方法。机械系统动力学建模的精细化则有，精细地估计系统的刚度、阻尼和摩擦计入材料非线性计入几何非线性关于冲击振动的研究复杂机械系统中多种物理场的耦合。运动学以
16、及运动学软件的发展也至关重要，其中有ADAMS软件和其他的有限元分析软件，而虚拟样机技术也起到了极大的作用。4. 机械系统动力学发展方向4.1 机器人动力学20 世纪60 年代，机器人学诞生并快速地发展起来，它是机构学、机械电子学、计算机科学和信息科学等多学科综合而成的前沿学科。各种工业机器人已越来越广泛地应用于喷漆、搬运、焊接和装配等工业生产线上，各种特种机器人则应用于海洋探测、外空探索等领域。机器人机构学成为机构学中异常活跃的一个分支。为了提高机器人的速度，高速、柔性机器人已经出现。机器人机构的复杂性远远超过了一般的平面机构，而且机器人的动力学必须考虑控制。并联机器人是机器人学及机构学领域
17、多年来的热门研究课题，目前，在并联机器人结构设计及运动学分析方面国内外都己取得大量成果，但在并联机器人动力学方面的工作却很少，只有一些初步成果。如果想要提高并联机器人的工作能力，特别是动刚度和精度，就必须从其动力学这一根本问题上下工夫。可以说，并联机器人能否在加工机床、重型及精密操作等场合得到很好的应用，最终是取决于动力学这一关键问题的解决程度。在此领域中，系统建立并联机器人动力学模型和分析方法、全面认识其动力特性、从而改善和提高其性能、最终设计出具有良好动力学品质的并联机器人，在这一系列研究课题中还有许多工作要做。同时，如能考虑并联机器人中部件的变形，与柔性机器人结合起来，还可以开发出柔性并
18、联机器人这一新的研究方向，这对进一步提高机器人性能、扩展机器人研究领域都是具有积极作用的。4.2 柔性多体系统动力学近40年来，国内外专家学者不断创造性地提出和改进各种多体系统动力学方法。依据不同的动力学原理（方法），柔性多体系统动力学建模主要基于两类基本方法：矢量力学方法和分析力学方法。Newton/Euler（N/E）方法是典型的矢量力学方法，其特点是对每个物体做隔离分析，物理意义明确，刻划了系统完整的受力关系，是目前动力学实时分析控制的主要手段。分析力学方法主要包括由dAlember原理出发导出的Lagraage方法及由Gauss极小值原理出发导出的LiLov方法等，主要以Lagrang
19、e方法为代表，其特点是将系统作为整体考虑，在建模过程中不出现约束反力，列写运动微分方程规格化，方程数目最少，所得方程为常微分方程，处理的是标量，但推导过程繁冗，所得方程很长。4.3 三维可视化仿真机械系统动力学三维可视化仿真是机械系统动力学研究的一个热点问题。上世纪80年代以来，基于多体系统动力学理论，开发出了许多著名的多体系统商业可视化软件包，比较知名的有ADAMS、DADS、MADYMO等，为工程技术领域提供强有力的计算机辅助分析的工具。随着多体系统理论和仿真算法的不断发展，这些软件的分析功能在不断增强，版本也在不断升级，也逐渐可以同有限元技术在大型结构分析中的应用相媲美。国内一些大学的力
20、学系和机械系与十多年前就开始跟踪国际前沿的研究，在基础理论和方法上取得了许多重要的进展和成果。但较之国外，在应用和软件的产业化方面还存在着很大的差距，而这正是我国当前所急需的。5. 机械系统动力学的未来展望近代机械发展的一个显著特点是，自动调节和控制装置日益成为机械不可缺少的组成部分。机械动力学的研究对象已扩展到包括不同特性的动力机和控制调节装置在内的整个机械系统，控制理论已渗入到机械动力学的研究领域。在高速、精密机械设计中，为了保证机械的精确度和稳定性，构件的弹性效应已成为设计中不容忽视的因素。一门把机构学、机械振动和弹性理论结合起来的新的学科运动弹性体动力学正在形成，并在高速连杆机构和凸轮
21、机构的研究中取得了一些成果。在某些机械的设计中，已提出变质量的机械动力学问题。各种模拟理论和方法以及运动和动力参数的测试方法，日益成为机械动力学研究的重要手段。6. 总结当代科学技术的飞速发展，尤其是电子、信息技术的日新月异加快了人类前进的步伐。作为现代社会进行生产和服务五大要素之一的机械，也面临着一次又一次的挑战，使得机械产品不得不向完全科学化发展，向最优化发展。因此机械动力学在越来越夺得领域得到广泛的应用，如由于机器速度的提高，一方面使得惯性作用明显增加，由此产生的振动、噪声等问题严重影响机器的工作性能和使用寿命；另一方面，由于高速度以及轻型化的要求。机构杆件的弹性变形已不可避免，这大大改变了传统机械的运动和动力特性。另外，随着机器运转速度和载荷的增加，机构中运动副间隙、制造和加工误差、摩擦、磨损等因素对机器工作性能的影响也更加明显。以上问题说明，要满足现代机械的要求，提高机器的动态性能和工作质量，关键是要解决好机械动力学的问题。机械动力学的研究已成为当前机械学领域的重要前沿课题，从实现某种功能的运动学设计，逐渐向以改善和提高机器运动和运动特性为主要目的的动力学综合方向发展，总的来说，机械动力学研究已经发展到了一定的阶段，还需要不断的总结归纳，慢慢向新领域发展，这才能真正让动力学为我们创造更多的价值，造福人类。
