1、完整版二次函数平行四边形存在性问题例题二次函数平行四边形存在性问题例题一解答题（共 9 小题）1如图，抛物线经过 A（ 1，0），B（5，0），C（0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理2如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x轴交于另一点 B（点 B在点 A 右 侧
2、）（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E求 ME 长的最大值；（3）试探究当 ME取最大值时，在 x轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由3已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、 B两点，将 OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（ 1
3、）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（ 1）中的抛物线向左平移 3.5个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N的左侧）两点，交y轴于 E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q， 使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，4已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将OBA对折，使点 O 的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴 于点 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、
4、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q 为线段 BT上一点，直接写出 | QA QO| 的取值范围5如图， RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA与 x 轴重合， OAB=90，OA=4，AB=2，把 RtOAB绕点 O逆时针旋转 90，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P作 x轴的平行
5、线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F两点，问：四边形 PEFM的 周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、 N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在， 请说明理由1）求抛物线的解析式；2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求出点 E 的坐标和 BEC面积的最大值？（3）在（ 2）的结论下，过点 E作y轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM， 点 Q 是抛
6、物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、 M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在， 请直接写出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由7如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（ 2，0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D作 DEx 轴， 垂足为 E，交 AB 于点 F（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F点对称，以 G为圆心， GD为半径作 圆，当 G与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标；（3）过D点作直线 DHAC交 AB于 H，当DHF的
7、面积最大时，在抛物线和直 线 AB上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的 M、N 两点的横坐标8已知直线 y=kx+b （k0）过点 F（0，1），与抛物线 y= x2 相交于 B、C 两点（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线， 与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（mn）（m0），过点 E（0 1）的
8、直线 lx 轴， BRl 于 R，CS l于 S，连接 FR、FS试判断 RFS的形状，并说明理由9抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点 D、E同时从原 点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E的速度是每秒 1个单位长度，点 D 的 速度是每秒 2 个单位长度（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；2017 年 05月 03日 1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析解答题（共 9 小题）
9、1（2016?安顺）如图，抛物线经过 A（ 1，0），B（5， 0），C（0，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由解答】 解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），A（ 1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上，解得（ 2）抛物线的解析式为： y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示， B（ 5， 0），C（0
10、， ），设直线 BC的解析式为 y=kx+b（ k0），3）存在当点 N在 x轴上方时，如图，过点 N2作 N2Dx轴于点 D，在 AN2D与 M 2CO中， AN2D M 2CO（ASA）， x2 2x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，2（2016?十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x3 与 x 轴交于 点 A，与 y轴交于点 C抛物线 y=x2+bx+c经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B在点 A 右侧）（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E求 ME
11、 长的最大值；（3）试探究当 ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由解答】 解：（1）当 y=0 时， 3x3=0，x= 1 A（ 1，0） 当 x=0 时， y= 3，C（0，3），抛物线的解析式是： y=x2 2x3 当 y=0 时， x22x 3=0， 解得： x1=1，x2=3 B（3，0）（2）由（ 1）知 B（3，0），C（0，3）直线 BC的解析式是： y=x3， 设 M （x，x3）（ 0 x3），则 E（x，x22x3） ME=（x3）（ x22x3）=x2+3x
12、=（x ）2+ ；当 x= 时，ME 的最大值为 （3）答：不存在由（2）知 ME 取最大值时 ME= ，E（ ， MF= ，BF=OBOF= 设在抛物线 x轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则 BP MF，BFPM P1（0， ）或 P2（ 3， ）当 P1（0， ）时，由（ 1）知 y=x22x3= 3P1 不在抛物线上P2 不在抛物线上综上所述：在 x轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形 是平行四边形3（2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x轴、y 轴的交点分别为 A、B两点，将 OBA对折，
13、使点 O的对应点 H落在 直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（ 1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（ 1）中的抛物线向左平移 3.5个单位，则图象与 x 轴交于 F、N（点 F 在点 N的左侧）两点，交 y 轴于 E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q， 使点 Q 到 E、N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，由轴对称得 CHAB， BH=BO，CH=CO在 CHA
14、中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点当 x=0时， y=6，当 y=0 时，x=8B（0，6），A（8，0）OB=6，OA=8，在 RtAOB 中，由勾股定理，得AB=10由勾股定理，得设 C（a，0）， OC=a CH=a， AH=4，AC=8a，在 RtAHC中，（8a）2=a2+42 解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，解得：抛物线的解析式为：2）由（ 1）的结论，得D（）设 BC 的解析式为： y=kx+b，则有直线 BC的解析式为： y=2x+6P（m，n）设存在点 P 使四边形 ODAP是平行
15、四边形， 作 PE OA于 E，HD交 OA于 FPEO=AFD=90，PO=DA，PODA POE=DAF OPE ADFPE=DF=n=P（ ）当 x= 时，P点 P 不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点3）由题意得，平移后的解析式为：对称轴为： x=2，当 x=0 时， y=当 y=0 时， 0=解得：F在 N 的左边F（ ，0），E（0， ），N（ ，0）连接 EF交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有4（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与x轴、y 轴的交点分别为 A、B，将 OBA对折，使点 O的对应点 H 落在
16、直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 CODAP为平直接写出（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q 为线段 BT上一点 | QA QO| 的取值范围点 P 的坐标为NE=EG= ，ON=OENE=（5分） x= 时， ， 点 P 不在直线 BC上直线 BC上不存在符合条件的点 P（6 分）（3）|QAQO| 的取值范围是 （8分）当 Q在 OA的垂直平分线上与直线 BC的交点时，
17、（如点 K处），此时 OK=AK，则 | QA QO| =0，当 Q在 AH的延长线与直线 BC交点时，此时 | QAQO| 最大， 直线 AH 的解析式为： y= x+6，直线 BC的解析式为： y=2x+6， 联立可得：交点为（ 0，6），OQ=6，AQ=10， | QAQO| =4，| QAQO| 的取值范围是： 0| QAQO| 45（2016?山西模拟）如图， RtOAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角 边 OA 与 x 轴重合， OAB=90，OA=4，AB=2，把 RtOAB绕点 O 逆时针旋转 90，点 B旋转到点 C的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点（1）求
18、该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P作 x轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、 N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在， 请说明理由【解答】 解：（1）因为 OA=4，AB=2，把 AOB绕点 O逆时针旋转 90， 可以确定点 C的坐标为（ 2，4）；由图可知点 A的坐标为（ 4，0）
19、， 又因为抛物线经过原点，故设 y=ax2+bx 把（ 2，4），（ 4，0）代入，解得所以抛物线的解析式为 y=x2+4x；（ 2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P 的坐标为 P（a，a2+4a）则由抛物线的对称性知 OE=AF， EF=PM=42a， PE=MF=a2+4a，则矩形 PEFM的周长 L=2 42a+（a2+4a） =2（a1）2+10，当 a=1 时，矩形 PEFM的周长有最大值， Lmax=10；（3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平 行四边形，理由如下：y=x2+4x=（x2）2+4 可知顶
20、点坐标（ 2，4），知道 C点正好是顶点坐标，知道 C点到 x轴的距离为 4 个单位长度， 过点 C作 x轴的平行线，与 x轴没有其它交点，过 y=4 作 x 轴的平行线，与抛 物线有两个交点，这两个交点为所求的 N 点坐标所以有 x2+4x=4 解得 x1=2+ ， x2=2 N 点坐标为 N1（2+ ，4），N2（2 ，4）6（2015?葫芦岛）如图，直线 y= x+3与x轴交于点 C，与 y轴交于点 B，抛 物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求 出点 E 的坐标和 BEC面积
21、的最大值？（3）在（ 2）的结论下，过点 E作y轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM， 点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、 M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在， 请直接写出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由点 B 的坐标是（ 0，3），点 C的坐标是（ 4，0），抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点，解得 y= x2+ x+32）如图 1，过点 E作y轴的平行线 EF交直线 BC于点 M，EF交x轴于点 F，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点， 设点 E的坐标是（ x， x2+ x+3）， 则点 M 的坐标是（ x
22、， x+3）， EM= x2+ x+3（ x+3）= x2+ x，SBEC=SBEM+SMEC= （ x2+ x） 4= x2+3x= （ x2）2+3，当 x=2时，即点 E的坐标是（ 2，3）时， BEC的面积最大，最大面积是 33）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形由（ 2），可得点 M 的横坐标是 2，点 M 在直线 y= x+3 上，点 M 的坐标是（ 2， ），又点 A 的坐标是（ 2，0），AM 所在的直线的斜率是：y= x2+ x+3 的对称轴是 x=1，设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P的坐标是（ x， x2+ x+3），x0，点 P
23、的坐标是（ 5， ）由（ 2），可得点 M 的横坐标是 2，点 M 在直线 y= x+3 上，点 M 的坐标是（ 2， ），又点 A 的坐标是（ 2，0），AM= = ，x，解得 ，点 P 的坐标是（ 1， ）综上，可得在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、 A、 M 为顶点的四边形是平行四边形， 点 P 的坐标是（ 3， ）、（5， ）、（ 1， ）7（2015?梧州）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B （ 4，0）、C（ 2，0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过D作 DEx 轴，垂足为 E，交 AB于点 F（1）求此抛物线
24、的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F点对称，以 G为圆心， GD为半径作 圆，当 G与其中一条坐标轴相切时，求 G 点的横坐标； （3）过D点作直线 DHAC交 AB于 H，当DHF的面积最大时，在抛物线和直 线 AB上分别取 M、N 两点，并使 D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标C 两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，所求的抛物线为：（2）抛物线 y= ，则点 A的坐标为（ 0，2），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，解得：直线 AB 的解析式为 y= x+2，），设 F 点的坐标为（ x， x+2 ），则 D
25、点的坐标为（ x，G点与 D 点关于 F点对称， G 点的坐标为（ x， ），若以 G为圆心， GD为半径作圆，使得 G与其中一条坐标轴相切，若G与 x轴相切则必须由 DG=GE， 即 x2+ x+2（ ）= ，解得： x= ， x=4（舍去）；若G与 y轴相切则必须由 DG=OE，即G点的解得： x=2，x=0（舍去）综上，以 G为圆心， GD为半径作圆，当 G与其中一条坐标轴相切时，横坐标为 2 或 （3）M 点的横坐标为 22 ，N 点的横坐标为 2 （1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M 是直线 BC上一动点，过点 M 作y轴
26、的平行线， 与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，设 B（mn）（m0， BF=n+1， 又 BR=n+1， BF=BR BRF=BFR， 又BRl，EFl， BREF， BRF=RFE， RFE= BFR，同理可得 EFS= CFS， RFS= BFC=90， RFS是直角三角形9（2015?百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点 D、 E同时从原点 O分别沿着 x轴、y 轴正方向运动，点 E的速度是每秒 1 个单位长 度，点
27、 D的速度是每秒 2 个单位长度（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由； （3）问几秒钟时， B、D、 E在同一条直线上？【解答】 解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点， ，解得 ，抛物线的解析式为： y=x2 3x+2，令 y=0，则 x2 3x+2=0， 解得： x1=1，x2=2，抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 1，0），（2， 0）；（2）存在，由已知条件得 ABx 轴，ABCD，当 AB=CD时，以 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形，设 D（ m ， 0），当 C（1，0）时，则 CD=m 1，m1=3，m=4，当 C（2
