1、甲型乙型、丙型、丁型，分别记作A1,A2,A3,A4;我们关心的指标值是反应时间.在方差分析中我们主要希望解决下面两个问题：（1）因素对指标有无显著影响？（2）若因素有显著影响，取何种水平时指标值最优？,t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，但是不能判断多组数据平均值之间的差异显著性，英国著名统计学家R.A.Fisher于20世纪提出方差分析用于判断多组（包括两组）数据平均数之间的差异显著性。有人说，我们可以把多组数据化成n个两组数据（化整为零），用n次t检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。,缺点,1.检验过程烦琐。试验包含个处理,t 检验：C4 6次2,2.推断的可靠性低，检验时
2、犯错误概率大。,t检验：,4,C 2,6次,H0的概率：1-0.95,6次检验相互独立,6次都接受的概率（0.95）60.735犯错误的概率1-0.7350.265犯错误的概率明显增加,单因子方差分析的基本思想,假定有k组观测数据，每组有ni个观测值,平均方差,12 j ni,12ik,处理重复,xS2,x11x21xi1xk1 x12 x22xi2xk2x1jx2jxijxkjx1nx2nxinxkn12ikx1x2xixkS1S2SiSk2222,如何证明并与检验有何关系?,用线性模型来描述每一观测值：,xij=i+ij,i 子样i的平均数,i=1,2,3,k j=1,2,3,niij 试
3、验误差,xij 是在第 i 次处理下的第 j 次观测值要求ij 是相互独立的，且服从标准正态分布 N（0,2）,数学模型,单因素试验的方差分析的步骤,（5）列出方差分析表：,写出假设检验的结论。,为了解烫伤后不同时期大鼠肝脏ATP的变化情况，将30只大鼠随机分为三组每组10只，A组在烫伤时，B组在烫伤后24小时（休克期），C组在烫伤后96小时（非休克期）测定其肝脏内的 ATP含量，结果如右表：,kn,C T2,300.472,30,3009.4074,SST x2-C 676.32+1696.96+868.93-C232.8026,t,SS=,i,2,T-C,n,1,1/3（80.432+12
4、7.552+92.492）-C119.8314SSe SST-SSt=232.8026-119.8314=112.9712,1、平方和的计算,2、自由度的计算 dft=k-1=3-1=2 3、方差的计算,dfe=k（n-1）=39=27,FSSt/2,SSe/27,119.8/2113.0/27,14.31,F F0.01,4、推断,要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，这种差异显著性的检验就叫多重比较。1、最小显著差数法（LSD法）2、最小显著极差法（LSR法）,二、多重比较,1、最小显著差数法（LSD法）（1）计算达到差异显著的最小差数，记为LS
5、D,（2）再用两个处理平均数的差值绝对值与LSD比较,例：某猪场对4个不同品种幼猪进行4个月增重量的测定，每个品种选择体重接近的幼猪4头，测定结果列于下表，试进行方差分析。,k=4，n=4，nk=16,C T2 434.4211793.96kn16SST xij-C2 31.92+24.02+24.62-C213.3,t,SS=,i,2,T-C,n,1,1/4（123.62+103.22+111.42）-C103.94SSe SST-SSt=213.3-103.94=109.36,1、平方和的计算,2、自由度的计算dft=k-1=3 3、方差的计算,dfe=k（n-1）=12,t,s 2=SS
6、t,103.94,dft3,34.647,e,s 2=SSe109.36,dfe12,9.113,F st2,se2,34.6473.802,9.113F0.01F F0.05,4、推断,品种间猪的增重量差异是显著的,不同品种猪4个月增重量的方差分析表,如果处理间差异显著，在计算出的F 值右上角标上“*”号；如果处理间差异极显著，在F 值的右上角标上“*”号。,查t值表，当误差自由度dfe=12时，,t0.05 2.179，t0.01 3.056,进行LSD检验时，这一对平均数的比较是检验之前已经指定的，且经F检验证实平均数间 的差异已达到显著之后，才可以进行LSD检验。LSD 法实质上是t
7、检验，但LSD 法是利用,误差方差s 2 计算平均数差异标准误，从一定,e程度上缓解了t检验过程中的弊病，但是LSD法仍然存在提高犯错误的概率，所以进行LSD检验必须限制其应用范围。3.LSD 法适用于各处理组与对照组的比较，不适用于处理组间的比较。,LSD的用法,2、最小显著极差法（LSR法）,新复极差检验,将各平均数按大小顺序排列，用各个M值的LSR值，检验各平均数间极差的显著性。q检验,不同品种4个月增重量试验LSR值（新复极差法）,M=相隔数+2大白与沈黑：M4，极差6.85.00大白与沈白：M3，极差5.14.88大白与沈花：M2，极差3.04.65,结论：猪的4个品种中只有大白与沈
8、黑，大白与沈白4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。,猪品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）,LSD0.05=4.6513,LSD0.01=6.5233,LSD法,新复极差法,q检验当样本数k=2时，LSD法、LSR法和q检验法的显著性尺度是相同的。当M3时，三种检验的显著尺度便不相同。,方差分析的基本步骤,将样本数据的总平方和与总自由度分解为各变异因素的平方和与自由度；列方差分析表进行F检验，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；对各处理平均数进行多重比较。,测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取4个样本，测定的结果如表，试比较各
9、地区黄鼬针毛长度差异显著性。,在这里，k=5，n=4。,（1）首先计算出及，并列于表中。,（2）计算出离均差平方和与自由度：,186.7-173.7112.99,5（41）15,（3）计算方差：,514,F0.01（4,15）4.89，故P 0.01，说明5个地区黄鼬冬季针毛长度差异极显著。,查t 值表，当dfe=15时，t0.052.131，t0.01 2.947，于是有：LSD0.05=2.131 0.658=1.402LSD0.01=2.947 0.658=1.939本例中各组内观测数相等，而且组内方差均为0.866，故任何两组的比较均可用LSD0.05及LSD0.01。,（4）需要进行
10、多重比较。使用最小显著差数法（LSD）,徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。,三、二因素方差分析,用线性模型来描述每一观测值：,平方和分解：,数学期望：,原假设：,各项的方差分别为,自由度的分解为,F检验,将一种生长激素配成M1，M2，M3，M4，M5五种浓度，并用H1，,H2，H3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗45天后的各处理每 以植株的平均干物重（g）（下表）。试作方差分析与多重比较。激素处理对大豆干物重的影响,激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。,（1）平均和的计算：,（2）自由度的计算,
11、（3）列出方差分析表，进行F 检验,（4）进行多重比较（用SSR检验）：由于只有浓度间的效应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只需对5种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均数标准误均为,不同浓度大豆干物重多重比较SSR和LSR值,查SSR值表，当dfe=8，M=2，3，4，5时的SSR值及由此计算的LSR值列于下表,多重比较结果表明：5种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除M1与M2，M5与M3之外差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。5种激素浓度中，以M1和M2的处理效果较好。,为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照条件下
12、在实验室培养，每一处理记录4只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数,由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。将表中数字均减去80，整理得下表,（1）平方和的分解为：,（2）自由度的分解为,F 检验结果表明，浓度间和时间间的F值大于F0.01，它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于光照和温度，而与两者之间的互作关系不大。,某昆虫滞育天数方差分析表,要了解各种光照时间及温度对滞育期的影响，需进行不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（A）间平均数标准,误，温度（B）
13、间平均数标准误,A处理的样本容量,B处理的样本容量,正态性试验误差应当是服从正态分布的独立的 随机变量。因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。应用方差分析的资料应服从正态分布，即每 一观测值Xij应围绕相应的平均数呈正态分布。非正态分布的资料进行适当数据转后，也能进行方差分析。,方差分析的基本假定,可加性处理效应与误差效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型，即,这样才能将试验的总变异分解为各种原因所引起的变异，以确定各变异在总变异中所占的比例，对试验结果作出客观评价。可加性是否显著有专门的统计方法。,xij,=+i+j+ij,方差同质性,所有试验的误差方差应具
14、备同质性，也叫方差的齐性，即1 2 n222因为方差分析是将各个处理的试验误差合并以得到一个共同误差方差的，所以必须假定资料中这样一个共同方差存在。误差异质将使假设检验中某些处理效应得出不正确的结果。,方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，可将变异特别明显的数据剔除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些信息。或者将试验分成几个部分分析，使每部分具有同质的方差。在生物学中，有时会遇到一些样本，其 所来自的总体和方差分析的基本假定相抵触，这些数据在作方差分析之前必须经过适当处 理及数据转换来更变测量标尺。样本的非正态性、不可加性和方差的异质性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误差效应的可加性，其次才考虑方差同质性。,
