1、高中数学必修二空间几何体11 第1课时 导学案设计含答案第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.知识点一空间几何体1.概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴知识点二棱柱、棱锥、棱台的结构特征多面体定义图形及表示相关概念分类棱柱有两个面
2、互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEF-ABCDEF底面(底)：两个互相平行的面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.如图可记作，棱锥S-ABCD底面(底)：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫
3、做棱台.如图可记作：棱台ABCD-ABCD上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台思考(1)棱柱的侧面一定是平行四边形吗？(2)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？答(1)根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.(2)根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题型一棱柱的结构特征例1下列说法中，正确的是()A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而
4、底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图，构造四棱柱ABCDA1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.反思与感悟棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.跟踪训练1下列关于棱柱的说法错误的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻
5、面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答案C解析对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.题型二棱锥、棱台的结构特征例2下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_.答
6、案解析正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.反思与感悟判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列说法中，正确的是()棱锥的各个侧面都是三角形；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；棱锥的各侧棱长相等.A. B. C. D.答
7、案B解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错.题型三多面体的表面展开图例3画出如图所示的几何体的表面展开图.解表面展开图如图所示：反思与感悟多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次
8、画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.截面周长最小问题例4如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求截面AEF周长的最小值.分析解将三棱锥VAB
9、C沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则AEF的周长AEEFFA1.因为AEEFFA1AA1，所以线段AA1(即A，E，F，A1四点共线时)的长即为所求AEF周长的最小值.作VDAA1，垂足为点D.由VAVA1，知D为AA1的中点.由已知AVBBVCCVA140，得AVD60.在RtAVD中，ADVAsin 6023，即AA12AD6.所以截面AEF周长的最小值是6.解后反思求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.1.下列命题中，真命题是()A.顶点在底
10、面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥答案D解析对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，ABC为正三角形，若PAPBABBCACPC，PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的
11、外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.2.下列三个命题：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案A解析中的平面不一定平行于底面，故错；中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故错；用反例验证(如图)，故错.3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A. B. C. D.答案C解析可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面
12、折叠都不能折成正四面体.4.下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号).答案解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台.5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.答案四棱柱解析由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.1.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).2.(1)各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面
13、侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似一、选择题1.下列四个命题中，真命题有()底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的直平行
14、六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；直平行六面体是长方体.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案B解析根据平行六面体的定义，知为真命题；根据长方体的定义，知为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以为假命题.2.一般棱台不具有的性质是()A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点答案C解析当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为(
15、)A.20 B.15 C.12 D.10答案D解析正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.4.某棱台的上、下底面对应边之比为12，则上、下底面面积之比是()A.12 B.14 C.21 D.41答案B解析因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为14，且截去的棱锥的高是3 m，则棱台的高是()A.12 cm B.9 cm C.6 cm D.3 cm答案D解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积
16、比为14，所以上、下底面的边长比为12，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为12，则棱台的高是3 cm.6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案A解析两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；当EAA1时，AEBF是定值.其中，正确的说法是()A. B. C. D.答案D解析显然水
17、的部分呈三棱柱或四棱柱状，故正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFEDCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AEBF是定值，故正确.所以四个命题中正确.故选D.二、填空题8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是_cm.答案解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离
18、是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.9.下列叙述正确的是_.(只填序号)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.答案解析如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以是正确的；如图，当三棱锥满足侧棱AD底面DCB(其中BCD中，BCD是直角)时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以是正确的；中的平面不一定平行于底面，所以是错误的；若中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所
19、以是错误的.10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是_.(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.答案解析在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：矩形，如四边形ACC1A1；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填.11.如图所示，在三棱锥S
20、ABC中，SASBSC1，ASBASCBSC30，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_.答案解析如图所示，将三棱锥SABC沿SA剪开，连接AA，则AA为最短距离，ASA90，SASA1，AA.三、解答题12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中DEF为等腰三角形，P
21、EF为等腰直角三角形，DPE和DPF均为直角三角形.(3)SPEFa2，SDPFSDPE2aaa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.13.长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB3，BC4，A1A5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.解把长方体的部分面展开，如图所示.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方
22、形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。窗外，是未被污染的银白色世界。我会去迎接，这人间的圣洁。在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。
