1、六年级数学暑假专题1开放性问题山东教育版六年级数学暑假专题1开放性问题山东教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题1开放性问题二. 学习重难点：开放性问题本节课的重点也是难点三. 知识要点讲解：【相交线与平行线】探索题是培养发散思维能力的一种题型，它具有开放性，所要得出的答案一般不具有惟一性.解决探索型问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握.现就有关相交线、平行线有关的探索型试题例析如下.（一）探索条件例1、如图，请给出一个使OEOC成立的条件：_.分析：本题是一道条件开放性试题，使OEOC的条件较多，根据垂直的意义，可添2+3=90，根据互为余角之间的关
2、系，可以添加ODAB，1=3，或ODAB，2=4，也可以添加1+4=90等. 例2、如图，直线a、b与直线c相交，形成1、2、 ，8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：_，使a/b. 分析：本题考查平行线的三种识别方法.（1）从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填1=5，2=6，3=7，4=8中的任意一个条件；（2）从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填3=6，4=5中的任意一个；（3）从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填3+5=180，4+6=180中的一个条件.（4）从其他方面考虑，也可填1=8，2=7，1+7=180，2+8=180，4+7=180，3+8=180，2+5=180
3、，1+6=180中的任意一个条件.例3、如图，AB与CD相交于点O，并且C=1，试问2与D满足什么关系时，AC/BD？分析：本题是一道条件探索题.要使AC/BD，可根据两直线平行的条件，需要满足C=D，由于1=C，1=2.所以只需2=D.解：当2=D时，AC/BD.因为C=1，1=2，又2=D，所以C=D根据内错角相等，两直线平行，得AC/BD. （二）探索结论例3、如图，AB与CD相交于点F，EFCD，则AFE与DFB之间的关系是_.分析：由所给的条件EFCD，得EFC=90，也就是AFC+AFE=90，又根据对顶角相等，得AFC=DFB，所以AFE+DFB=90，即AFE与DFB互为余角.
4、 （三）探索作图方法例5、如图，过已知直线AB外一点C，作直线CD，使CD/AB，你能想到几种画法？分析：本题考查平行线的特征及判断.重点考查大家的动手操作能力.本题的画法较多，如：作法1. 根据“同位角相等，两直线平行”（1）过点C画直线EF，交AB于G；（2）作ECD=EGA，则直线DC即为所求的直线.如图.作法2. 根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”.（1）过点C作CGAB，垂足为G，（2）过点C作直线CDCG.则直线CD就是所求作的直线.如图.【全等三角形】三角形全等是初中数学的最基础也是最重要的知识。而有关全等三角形的探索题目更是命题者青睐的题型。为帮助同学们熟悉该题型，迎接新挑
5、战，特采撷2006年部分中考题并加以浅析，供大家参考。（一）条件探索型例1、（1）如图，点B在AE上，CAB=DAB，要使ABCABD，可补充的一个条件是： （写一个即可）。（2）如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得AODCOB，你添加的条件是 （只需写一个）。（3）如图，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E. 其中能使的条件有（）。A. 个 B. 个 C. 2个 D. 1个解析：两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS，结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键。（1）已知CAB=DAB，隐含有AB
6、=AB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AC=AD，ABC=ABD和ACB=ADB中的任一个；（2）隐含有AOB=COD，利用已知AB=CD，故AO=OC或OB=OD；（3）已知1=2，AC=AD，从而DAE=CAB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AB=AE，ACB=ADE和B=E。（二）结论探索型例2、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是 。解析：该题是结论探索题，题设已有AC=AD，隐含AB=AB，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加BC=BD，CAB=DAB
7、，得CABDAB；隐含AE=AE，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加CE=DE，CAE=DAE，得CAEDAE。证明略。（三）猜想证明型例3、如图，在ABD和ACE中，有下列四个等式：AB=AC AD=AE 1=2BD=CE。请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）。解析：此题为探索、猜想、判断并证明的试题，我们要认真观察、作出判断再加以说明。考题提供了四个论断，让我们创编一道“知其三可推一”的数学问题。我们的思路就是按着两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS逐一验证。通过验证发现满足“SSS”，得ABDACE，有1=2；满足“
8、SAS” ，得ABDACE，有BD=CE。和满足“SSA”得不出三角形全等。故符合要求的问题有两个。现列举一个：已知：如上图，在ABD和ACE中，AB=AC ，AD=AE，1=2，则BD=CE。证明：在ABD和ACE中，由1=2，得BAD=CAE。又AB=AC ，AD=AE，所以ABDACE，所以BD=CE。【课堂小结】同学们，探索型试题是中考试题的重点考查内容，主要有三种类型，结论探究型，条件探究型，以及猜想证明型等，探究型问题主要从条件入手探求结论或者从结论入手探求条件，主要考查了有关的性质及定理的综合应用。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）。1. 现有两根
9、木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A. 10cm的木棒 B. 20cm的木棒 C. 50cm的木棒 D. 60cm的木棒2. 在下图中，正确画出AC边上高的是（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 如图，PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，且PDPE，则APD与APE全等的理由是（ ）. A. SAS B. AAS C. SSS D. HL4. 已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A，则此三个角（ ）A. 一定有一个内角为45 B. 一定有一个内角为60 C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝
10、角三角形5. 在下列条件中：A+B=C，ABC=123，A=90B，A=B=C中，能确定ABC是直角三角形的条件有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）. A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形7. 如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（）A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙8. 下列说法正确的是（ ）三角形的三条角平分线必交于一点，且交点必定在三角形的内部。全等三角形的边、角对应相等。两个内角分别对应相等的两个三
11、角形全等。有两边及一角对应相等的两个三角形全等。A. B. C. D. 9. 如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，那么图中全等三角形共有（ ）对.A. 3 B. 4 C. 5 D. 610. 如图，已知在ABC中，AB3，AC4，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围（ ）A. 3AD4 B. 1AD7 C. AD3 D. AD二、填空题（每题2分，共20分）11. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 . 12. 一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和6 cm，则它的周长是_cm. 13. 如果一个三角形
12、的两个内角是20、30，那么这个三角形是 三角形. 14. 直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于_。15. 如图，ABDABC，C100，ABD30，那么DAB . 16. 已知ABCABC，若ABC的周长为23，AB=8，BC=6，则AC= ， 。17. 如图，在ABC与DEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上 = 或 ，就可证明ABCDEF18. ABC中，若A=80，I为三条角平分线交点，则BIC= . 19. 若三角形的三边长分别为x1，x，x+1，则x的取值范围是 .20. 我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：如图（1）是边长为1的正三角形， 将此正三角形的每条边三等分，
13、而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如下图（2）；再将图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如下图（3），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（ ）（1） （2） （3）三、操作与解释（21题8分；22题4分 23，24每题6分）21. 没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗？请说明理由. （1）小彬的做法如图，角平分线刻度尺画法：利用刻度尺在AOB 的两边上，分别取ODOC. 连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E. 画射线OE. 所以射线OE为AOB的角平分线. （2）小
14、红的做法 如图，角平分线三角板画法：利用三角板在AOB 的两边上，分别取OMON. 分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P. 画射线OP. 所以射线OP为AOB的角平分线. 22. 初一（1）班的篮球拉拉队同学，为了在明天的比赛中给同学加油助威，提前每人制作了一面同一规格的三角形彩旗. 小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗. （1）请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形；（2）解释你作图的理由。23. 如图，ABCD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，A=C.求证：AE=CF.说明：证明过程中要写出每步的证明依据.24. 如
15、图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.四、观察与比较（25，26每题6分 27，28每题8分）25. 如图AB、CD相交于点O，AOBO，ACDB。那么OC与OD相等吗？说明你的理由。 26. 如图，在一小水库的两侧有A、B两点，请设计一种方案能用皮尺测量出A、B两点的距离（只说明设计方案，不要求数据计算、要求画出草图，并说明理由。） 27. 如图AB=12米，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米；点Q从点B向点D运动，每分钟走2米；P，Q两点同时出发，运动几分钟后，CAPPBQ，并说理由。28.
16、已知如图，12，34，点P在AB上，可以得出PCPD吗？为什么？五、探究与思考（29题10分；30题8分）29、（1）已知：如图，AECF，DAFBCE，ADCB。问：ADF与CBE全等吗？请说明理由。 （2）如果将BEC沿CA边方向平行移动，可得下列幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗？请说明理由。30. （1）如图，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C. ABC中，A30，则ABCACB 度，XBCXCB 度；（2）如图，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么ABXACX的大小是否变
17、化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABXACX的大小. 【试题答案】1. B 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D11. 三角形的稳定性 12. 14；16 13. 钝角14. 135 15. 50 16. 9；6 17. B，DEF AB，DE 18. 130 19. ； 20. 21.（1）小彬的做法正确。在COE和DOE中COEDOE，COE=DOE，OE为AOB的平分线.（2）小红的做法正确。在RtPOM和RtPON中RtPOMRtPON，POM=PON，OP为AOB的平分线.22. 理由略23. 证明：ABCD，B=D（两条
18、直线平行，内错角相等）.又AB=CD，A=C，ABECDF（ASA）.AE=CF（全等三角形对应边相等）. 24. 解：此图中有三对全等三角形.分别是：ABFDEC、ABCDEF、BCFEFC.证明：ABDE，A=D.又AB=DE、AF=DC，ABFDEC. 25. OC与OD相等；可证AOCBOD根据角边角.26. 解：在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长至D，使得AC=CD，连接BC并延长至E，使得BC=CE，连接DE，则DE的长度就是A、B之间的距离. 理由：在ABC和DEC中AC=DC，ACBECD,BC=ECABCDECDE=AB27. 当P，Q运动4分钟后，BP=4米，BQ=8米，则AP=124=8（米）=BQ，又AC=BP=4米，AB=90，所以 CAP PBQ 28. 解：PCPD. 理由：在ABD和ABC中ABDABC（ASA）AD=AC，在APD和APC中，A PCPD. 29. 理由：（1）ADF与CBE全等；AECFAEEFCFEF即AF=CE又DAFBCE，ADCBADFCBE（2）结论成立，理由类同30.（1）150，90；（2）不变化。ABX+ACX=ABCXBC+ACBXCB=（ABC+ACB）（XBC+XCB）=15090=60.
