1、15级高一数学期末复习专题第四讲平面向量 教程成都七中(林荫校区高2015级上学期期末复习专题五命题人:江海兵 审题人:廖学军知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念:向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0与任意向量平行单位向量:模为1个单位长度的向量 平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量相等向量:长度相等且方向相同的向量2、向量加法:设,AB a BC b =,则a +b =AB BC + =A C(1a a a =+=+00;(2向量加法满足交换律与结合律;AB BC C D PQ Q
2、 R AR +=,但这时必须“首尾相连”. 3、向量的减法: 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差。作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a、b 有共同起点4、实数与向量的积:实数与向量a 的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下:(a a=; (当0时,a 的方向与a 的方向相同;当0时,a 的方向与a的方向相反;当0=时,0=a ,方向是任意的5、两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数,使得b =a6、平面向量基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量
3、,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21,使:2211e e a+=,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 j i ,分别为与x 轴,y 轴正方向相同的单位向量1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,记作a =(x,y。2平面向量的坐标运算:(1若(1122,a x y b x y = ,则(1212,a b x x y y =(2若(2211,y x B y x A ,则(2121,AB x x y y =-(3若a =(x,y,则a =(x, y (4若(1122,a x y b x y = ,
4、则1221/0a b x y x y -=(4若(1122,a x y b x y = ,则1212a b x x y y =+,若a b ,则02121=+y y x x三.平面向量的数量积1两个向量的数量积:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为,则a b =ab cos 叫做a与b 的数量积(或内积 规定00a =2向量的投影:b cos =|a ba R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义: a b 等于a 的长度与b 在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:22|a a a a =5乘法公式成立:(2222a b a b a b a b +
5、-=-=- ; (2222a ba ab b =+ 222a a b b =+6平面向量数量积的运算律:交换律成立:a b b a =对实数的结合律成立:(a b a b a bR =分配律成立:(a b c a c b c = (c a b =特别注意:(1结合律不成立:(a b c a b c ;(2消去律不成立a b a c= 不b c =(3a b =0不能a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量1122(,(,a x y b x y =,则a b =1212x x y y + 8向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作O A =a , OB =b ,则AOB=
6、(001800叫做向量a与b的夹角cos =cos ,a ba b a b= =222221212121y x y x y y x x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,=00,当且仅当a 与b 反方向时=1800,同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直:如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a b10两个非零向量垂直的充要条件:a b ab =O 02121=+y y x x 平面向量数量积的性质11、向量的三角不等关系b a b a b a +- 注意取等条件(共线 一、教材例题选讲 1、点C 在线段AB 上,且,25=CBAC 则=AC =BC AB
7、 , AB2、已知任意两个不共线的向量b a ,作b a OC b a OB b a OA 3,3,+=+=+=,判断C B A ,三点是否共线。3、判断212122,e e b e e a +-=-=是否共线4、向量b a ,成什么位置关系时,b a b a -=+5、已知平行四边形ABCD 的三个顶点C B A ,坐标分别是4,3(,3,1(,1,2(-,试求顶点D 的坐标6、设点P 是线段21P P 上的一点,21,P P 的坐标分别是,(,(2211y x y x(1当P 是线段21P P 的中点时,求点P 的坐标;(2当P 是线段21P P 的一个三等分点时,求点P 的坐标.7、已知
8、点5,1(,1,1(-B A 及AB AE AB AD AB AC 21,2,21-=,求点E D C ,的坐标.8、已知4,3=b a ,且b a ,不共线,k 为 时,b k a +与b k a -互相垂直? 9、设4,6(,7,5(-=-=b a ,求b a ,之间的夹角10、已知(61232,3,4=+-=b a b a b a ,求b a ,之间的夹角 11、612,10,8=+=b a b a 求b a ,之间的夹角 12、(b a b a /,2,1,3且=,求a 的坐标13、已知(,2,4=a 求与a 垂直的单位向量的坐标 14、如果b a ,是两个单位向量,那么下列四个结论中
9、正确的是 ( 2222.1.b a D ba Cb a B ba A =15、对于任意向量b a ,下列命题中正确的是 ( b a b a b a b a A 同向,则与且满足若,.b a b a B +若. b a b a C 若. b a b a D -若.16、在四边形ABCD 中,若AD AB AC +=,则( 是平行四边形是正方形是菱形是矩形ABCD D ABCD C ABCD B ABCD A .18、设a 是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是 ( a a D a a C aa B a a A =- (2的方向相同与的方向相反与19、教材118P 复习参考题A 组2,5,8,
10、9,10,11,12,13,B 组1,2,3,4,5,6,7,8平面几何与向量,函数与向量专题题型一:函数(三角函数向量综合题题型二:同起点终点共线三向量关系例2:设,O A B C 是平面中的四个点,O C m O A nO B =+,证明:若1m n +=,则,A B C 三点共线,反之亦然.变式练习1:设一直线上三点,A B P 满足(1,AP PB O =是空间内的一点,则O P 可用,OA OB 表示为( .(111.11A O P O A O BB O P O A O B O A O BC O PD O P O A O B=+=+-+=+- 题型三:利用共线向量性质求线段比例例 3
11、.如图所示,在A B C 中,点M 是B C 的中点,点N 在边AC 上,且2,AN NC AM =与B N 相交于点P ,求证:4:1A P P M =PABCM N题型四:利用平面向量基本定理例4 ABC 中,点D 在边A B 上,CD 平分A C B ,若,|1,|2CB a CA b a b =,则C D = ( 12213443 (33335555A a bB a bC a bD a b +题型五:求系数和例5 在ABC 中,点O 是B C 的中点,过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若,AB m AM AC n AN =, 则m n +的值为22(2,cos ,(,sin ,=2,2m a b m m a b m=+-=+ 例1:为实数,若取值范围是(lBOPA OAMCBN
