1、完整版圆锥曲线经典中点弦问题docx中点弦问题专题练习一选择题（共8 小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（ 4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A B C 2D 22已知 A （ 1， 2）为椭圆内一点，则以A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D 2x+y 4=03 AB 是椭圆（ a b 0）的任意一条与x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（）C e21D 1 e2A e 1B 1 e4椭圆 4x2+9y 2=144 内有一点 P（ 3， 2
2、）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A 3x+2y 12=0B 2x+3y 12=0C 4x+9y 144=0D 9x+4y 144=05若椭圆的弦中点（ 4， 2），则此弦所在直线的斜率是（）A 2B 2CD 6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0 ，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）A B CD 7直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是（）A （）B （ ， ）C （ ， ）D （ ， ）8以椭圆内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（）A 4x 3y 3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D
3、 x+4y 5=0二填空题（共9 小题）9过椭圆内一点 M （ 2， 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是_10已知点（ 1， 1）是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _ 11椭圆 4x2+9y2=144 内有一点直线方程为 _ P（3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点， 那么这弦所在直线的斜率为_，12椭圆 4x2+9y2=144内有一点 P（ 3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的方程为_13过椭圆=1内一定点（ 1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_ 14设 AB 是椭圆的不垂直于对称轴的弦， M 为 AB 的中点，O 为坐标原
4、点， 则 kAB?kOM =_15以椭圆内的点 M （1， 1）为中点的弦所在直线方程为_ 16在椭圆+ =1 内以点P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为_17直线 y=x+2三解答题（共被椭圆 x2+2y2=4 截得的线段的中点坐标是13 小题）_18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x 2 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程19已知M （4， 2）是直线l 被椭圆x2+4y 2=36 所截的弦AB的中点，其直线l 的方程20已知一直线与椭圆4x2+9y2=36 相交于A 、B两点，弦AB的中点坐标为M （ 1， 1），求直线AB的方程21已知椭圆 ，求以点 P（ 2， 1）为中
5、点的弦 AB 所在的直线方程22已知椭圆与双曲线 2x2 2y2=1 共焦点，且过（ ）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程23直线 l ： x 2y 4=0 与椭圆 x2+my 2=16 相交于 A 、 B 两点，弦 AB 的中点为 P（ 2， 1）（1）求 m 的值；（ 2）设椭圆的中心为 O，求 AOB 的面积24 AB 是椭圆 中不平行于对称轴的一条弦， M 是 AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：kAB ?kOM 为定值25已知椭圆 C： + =1 和点 P（ 1，2），直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A 、B 两点，求当 l 的倾斜角变
6、化时，弦中点的轨迹方程26已知椭圆 （1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（2）过 A （ 2， 1）的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点 P（）且被 P 点平分的弦所在的直线方程27已知椭圆 （ 1）求过点 且被点 P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点 A （ 2， 1）引直线与椭圆交于 B、 C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程28已知某椭圆的焦点是 F（1 4，0）、F（24，0），过点 F2 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且 |F1B|+|F2B|=10 ，椭圆上不同的两点A （ x
7、1122222，y ）、 C（ x， y）满足条件： |F A|、 |F B| 、 |F C|成等差数列（ ）求该椭圆的方程；（ ）求弦 AC 中点的横坐标29（ 2010?永春县一模）过椭圆 内一点 M （ 1， 1）的弦 AB （1）若点 M 恰为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；（2）求过点 M 的弦的中点的轨迹方程30已知椭圆 C 方程为 ，直线 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，点 ，（1）求弦 AB 中点 M 的轨迹方程；（2）设直线 PA、 PB 斜率分别为 k1、 k2，求证： k1+k 2 为定值2014 年 1 月 panpan781104 的高中数学组卷参考答案与
8、试题解析一选择题（共8 小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（ 4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A B C 2D 2考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、 “点差法 ”即可得出解答： 解：设以点 P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A （ x1， y1）， B （x2， y2），斜率为 k则 ， ，两式相减得 ，又 x1+x 2=8， y1+y 2=4， ，代入得 ，解得 k= 故选 A 点评： 熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 “点差法 ”是解题的关键2已知A （ 1， 2）为椭圆内一点，则以A 为中点的椭圆的
9、弦所在的直线方程为（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D 2x+y 4=0考点 ： 直线的一般式方程专题 ： 计算题分析： 首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案解答： 解：设直线的方程为y 2=k （x 1），联立直线与椭圆的方程代入可得： （ 4+k2） x2+2k（ 2 k） x+k2 4k 12=0因为 A 为椭圆的弦的中点，所以，解得 k= 2，所以直线的方程为 2x+y 4=0故选 D点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题3 AB 是椭圆 （ a b 0
10、）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率， M 为AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（）C e21D 1 e2A e 1B 1 e考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 综合题分析： 设出弦 AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得 y1+y2的表达式，进而根据点M 为 AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 kAB ?kOM 中求得结果解答： 解：设直线为： y=kx+c联立椭圆和直线 消去 y 得b2x2+a2（ kx+c ） 2 a2b2=0，即 （ b2+
11、k 2a2） x2+2a2kcx+a2 （c2 b2）=0所以： x1+x2=所以， M 点的横坐标为： M x= （ x1+x 2）=又： y1=kx1 +cy2=kx 2+c所以 y1+y2=k （ x1+x 2）+2c=所以，点 M 的纵坐标 M y= （ y1+y 2） =所以： Kom= = =所以：kAB ?kOM =k （ ）= =e2 1点评： 本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便4椭圆 4x2+9y 2=144 内有一点 P（ 3， 2）过点A 3x+2y 12=0 B 2x+3y 12=0P 的弦恰好
12、以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（C 4x+9y 144=0 D 9x+4y 144=0）考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用平方差法：设弦的端点为 A （ x1， y1）， B（ x2， y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程解答： 解：设弦的端点为 A （ x1， y1）， B（ x2， y2），则x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 A 、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得，4（） +9（ y22 ）=0，即4（ x1+x 2）（x1 x2） +9（ y1+
13、y 2）（ y1 y2） =0 ，所以= ，即kAB =，所以这弦所在直线方程为： y 2= （ x 3），即 2x+3y 12=0故选 B 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握5若椭圆的弦中点（4， 2），则此弦所在直线的斜率是（）A 2B 2CD 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1， y1）， B（ x2 ，y2）利用中点坐标公式和“点差法 ”即可得出解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1，y1）， B（ x2， y2）则，
14、两式相减得=0 ， ， 代入上式可得，解得 kAB =故选 D点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法 ”等基础知识与基本技能方法，属于中档题6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0 ，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）A B CD 考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 计算题分析： 设出以 M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与的关系式，从而求得椭圆的离心率解答： 解：显然 M（ 2， 1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点 A （ x1， y1）， B （x2， y2），a， b则 + =1， + =1，相减得： =
15、0，整理得： k=1，又弦的中点坐标是（ 2， 1）， ， ，则椭圆的离心率是 e= = = 故选 B 点评： 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法7直线 y=x+1 被椭圆 x2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是（）A （）B （ ， ）C （ ， ）D （ ， ）考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程2 2分析： 将直线 y=x+1 代入椭圆 x +2y =4 中，利用韦达定
16、理及中点坐标公式，即可求得结论解答： 解：将直线 y=x+1 代入椭圆 x2+2y2=4 中，得 x2+2（x+1 ） 2=43x2+4x 2=0 弦的中点横坐标是 x= = ，代入直线方程中，得 y= 弦的中点是（ ， ）故选 B 点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题8以椭圆内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（）A 4x 3y 3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D x+4y 5=0考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题分析：设直线方程为y 1=k （ x1），代入椭圆化简，根据x1+x 2=2，求出斜率 k 的值，即得所求
17、的直线方程解答： 解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为 y 1=k （ x 1），代入椭圆 化简可得 ，（4k2+1） x2+8 （ k k2 ） x+4k 2 8k 12 由题意可得 x1 2=2， k= ，+x =故 直线方程为 y 1= （ x1），即 x+4y 5=0，故选 D点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键二填空题（共 9 小题）9过椭圆 内一点 M（ 2，0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是 考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程专题 ： 综合题分析： 设出 N，
18、 A ， B 的坐标，将 A ，B 的坐标代入椭圆方程，结合 N 为 AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动弦AB 过点 M（ 2， 0），弦 AB 的中点 N，求出 AB 的斜率，从而可得方程，化简即可解答： 解：设 N（ x，y）， A （ x1， y1）， B （x2， y2），则 ， ，可得： 动弦 AB 过点 M （ 2，0），弦 AB 的中点 N，当M 、 N 不重合时，有 ，（m2）当 M 、 N 重合时，即 M 是 A 、 B 中点， M（ 2， 0）适合方程 ，则 N 的轨迹方程为 ，故答案为：点评： 本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的
19、一种方法10已知点（ 1， 1）是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： x+2y 3=0 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设以 A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（ x1，y1），F（ x2，y2），A（ 1，1）为 EF 中点， x1+x 2=2，y1+y 2=2，利用点差法能够求出以 A （ 1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程解答： 解：设以 A （ 1， 1）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（ x1， y1 ）， F（ x2，y2），A （1， 1）为 EF 中点， x1+x 2=2， y1+y 2=2，把 E（ x1， y1），
20、F（ x2， y2 ）分别代入椭圆 ，可得 ，两式相减，可得（ x1+x 2）（ x1x2） +2 （ y1+y 2）（ y1y2） =0 ，2（ x1 x2） +4（ y1 y2） =0 ， = 以 A （ 1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y 1= （ x 1），整理，得 x+2y 3=0故答案为： x+2y 3=0点评： 本题考查以 A （1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11椭圆 4x2+9y2=144 内有一点 P（3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为 2x+3y
21、12=0 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 平方差法：设弦端点为A （ x1， y1）， B （ x2， y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程解答： 解：设弦端点为 A （ x1， y1）， B（ x2， y2 ），则x1+x 2=6， y1+y 2=4， ，=144 ， 得，+9=0 ，即 4（ x +x）（ x x） +9（y +y）（ y y） =0，12121212所以 = = ，即 ，所以弦所在直线方程为： y2= （ x 3），即 2x+3y 12=0故答案为： ；
22、2x+3y 12=0 点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握12椭圆 4x2+9y2=144 内有一点 P（ 3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 2x+3y 12=0 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设以 P（ 3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（ x1，y1），F（ x2，y2），P（ 3，2）为 EF 中点， x1+x 2=6，y1+y 2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程解答： 解：设以 P（ 3， 2）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（ x1
23、， y1）， F（ x2， y2）， P（ 3， 2）为 EF 中点，x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 E（ x1， y1）， F（ x2， y2 ）分别代入椭圆4x2+9y2=144，得，4（ x1+x2 ）（ x1 x2）+9（ y1+y 2）（ y1 y2） =0，24（ x1x2） +36 （y1 y2） =0， k= = ， 以 P（ 3， 2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y2= （ x 3），整理，得 2x+3y 12=0故答案为： 2x+3y 12=0 点评： 本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用13过椭圆 =1 内一定点（ 1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为 4x2+9y 2 4x=0 考点 ： 椭圆的应用；轨迹方程专题 ： 计算题分析： 设弦两端点坐标为（ x1， y1），（x2 y2），诸弦中点坐标为（ x， y）弦所在直线斜率为 k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程解答： 解：设弦两端点坐标为（ x1， y1），（ x2 y2），诸弦中点坐标为（ x， y）弦所在直线斜率为 k两式相减得； （ x1+x 2）（x1 x2） + （ y1+y 2）（ y1 y2） =0即又 k= ，代入上式得
