1、概率论与数理统计修订版复旦大学出版习题三答案概率论与数理统计(修订版)复旦大学出版习题三答案习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1? 322280 1 8110 21C3?3/8 22211110 ? 2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3
2、?C23 ?4C7352C3?C1C1122?2 ?4C73522C3?C23 ?4C7353 0 C3C123?2 ?4C735C3C123?2 ?4C7350 1 0 C1C1C263?2?2 ?4C7351 352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22?2/C7?C1C2C163?2?2 ?4C735 3.设二维随机变量的联合分布函数为 ?sinxsiny,0?x?,0?y?F=?22 ?其他.?0,求二维随机变量在长方形域?0?x?【解】如图P0?X?,?y?内的概率. 463?,?Y?公式() 463F(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 4346361 ?sin4?sin3?
3、sin4?sin6?sin0?sin3?sin0?sin6?2 4(3?1). 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量的分布密度 ?Ae?(3x?4y)f=?,x?0,y?0,?0,其他. 求： 常数A； 随机变量的分布函数； P0X?f(x,y)dxdy?-(3x?4y)0?0Aedxdy?A12?1 得A=12 定义，有F(x,y)?y?x?f(u,v)dudv ?yy?(3u?4v)?0?012edudv?(1?e?3x)(1?e?4y)y?0,x?0,?0,?0,其他(3) P0?X?1,0?Y?2 ?P0?X?1,0?Y?2 ?120?012e?(3x?4y)d
4、xdy?(1?e?3)(1?e?8)? 5.设随机变量的概率密度为 f=?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他. 确定常数k； 求PX1，Y3； 求PX2 ?f(x,y)dxdy?20?42k(6?x?y)dydx?8k?1, 故R?1 8PX?1,Y?3? ?(3) PX?1313?f(x,y)dydx x?13k(6?x?y)dydx? ?0?288f(x,y)dxdy如图a?f(x,y)dxdy D1?(4) PX?Y?4?X?Y?42?127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b?f(x,y)dxdy 4D24?x2 ?dx?012(6?x?y)dy
5、?. 83 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在上服从均匀分布，Y的密度函数为 ?5e?5y,y?0,fY=? 其他.?0,求： X与Y的联合分布密度； PYX. 题6图 【解】 因X在上服从均匀分布，所以X的密度函数为 ?1?,0?x?, fX(x)?其他.?0,而 3 ?5e?5y,y?0,fY(y)? 其他.?0,所以 f(x,y)XY,独立fXx(?f)Yy( )?1?5y ?5e?25e?5y,0?x?且y?0,? ?0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图y?x?25e?5ydxdy ?0dx?25edy?(?5e?5x00?5)dx =e-1?
6、设二维随机变量的联合分布函数为 F=?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他.求的联合分布密度. 【解】f(x,y)?2F(x,y)?x?y?8e?(4x?2y),x?0,y?0, ?0,其他.8.设二维随机变量的概率密度为 f=?(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.求边缘概率密度. 【解】fX(x)?f(x,y)dy ?=?x(2?x)dy?x(2?x),0?x?1, ?0,?0,其他.fY(y)?f(x,y)d x?1 =?(2?x)dx?(3?4y?y2),0?y?1,?0,?0,其他. 4 题8图题9图 9.设二维随机变量的概率密度为 =?e?yf,0
7、?x?y,?0,其他. 求边缘概率密度. 【解】fX(x)?f(x,y)dy ?y?x=?xedy?e,x?0,? ?0,?0,其他.fY(y)?f(x,y)dx ?y?y?x =?0edx?ye,y?0,? ?0,?0,其他. 题10图 10.设二维随机变量的概率密度为 f=?cx2y,x2?y?1,?0,其他. 试确定常数c； 求边缘概率密度. 【解】 ?f(x,y)dxdy如图?f(x,y)dxdy D=?1-1dx?124x2cxydy?21c?1. 得 c?214. (2) fX(x)?f(x,y)dy 5 ?P(X?i)?PY?k?ii?0kk?n?n?k?in?k?i?piqn?
8、i?pqi?0?i?k?i?knn?k2n?k?pqik?ii?0?2n?k2n?k?pq?k?方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布，则 X=1+2+n，Y=1+2+n, X+Y=1+2+n+1+2+n, 所以，X+Y服从参数为的分布律为 Y 0 1 2 3 X 01 234 5 0 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0； 求V=max的分布律； 求U=min的分布律； 求W=X+Y的分布律. 【解】PX?2|Y?2?PX?2,Y?2 PY?2PX?2,Y?2?,?PX?i,Y?2i?05PY?3|X?0?PY?3,X?0 PX?0PX?0,Y?3?;?PX?0,Y?jj?03
9、PV?i?Pmax(X,Y)?iPX?i,Y?i?PX?i,Y?i ?PX?i,Y?k?PX?k,Y?i, i?0,1,2,3, 4,k?0k?0i?1i 11 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P (3) PU?i?Pmin(X,Y)?i 0 1 2 3 4 5 ?PX?i,Y?i?PX?i,Y?i ?PX?i,Y?k?k?i3k?i?1?5PX?k,Y?i i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P W=X+Y 0 P 0 0 (4)类似上述过程，有 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点在屏幕上服从均匀分布. 求PY0YX
10、； 设M=maxX，Y，求PM0. 题20图 【解】因的联合概率密度为 ?1222?2,x?y?R, f(x,y)?R?其他.?0,PY?0|Y?X?PY?0,Y?X PY?X ?y?0y?x?f(x,y)d?f(x,y)d? y?x1?/40R2rdr ?5 R1?4/4d?0R2rdrd?R 12 ?3/83?; 1/24(2) PM?0?Pmax(X,Y)?0?1?Pmax(X,Y)?0 ?1?PX?0,Y?0?1?x?0y?0?f(x,y)d?1?13?. 4421.设平面区域D曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，求关于X的边缘概率密
11、度在x=2处的值为多少？ 题21图 【解】区域D的面积为 S0?e2?11dx?lnxxe21?2.的联合密度函数为 1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)?2x ?0,其他.关于X的边缘密度函数为 1?1/x1dy?,1?x?e2,?0 fX(x)?22x?其他.?0,所以fX(2)?1. 422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 PY=yj=pj 【解】因PY?yj?Pj?Y y1 y2y3 1/8 1/8 1/6 2PX=xi=pi 1 ?PX?x,Y?y, iji?1故
12、PY?y1?PX?x1,Y?y1?PX?x2,Y?y1, 从而PX?x1,Y?y1?111?. 682413 而X与Y独立，故PX?xi?PY?yj?PX?xi,Y?yi, 11?PX?x1,Y?y1?. 624111/?. 即：PX?x1?2464从而PX?x1?又PX?x1?PX?x1,Y?y1?PX?x1,Y?y2?PX?x1,Y?y3, 111?PX?x1,Y?y3, 42481. 从而PX?x1,Y?y3?1213同理PY?y2?, PX?x2,Y?y2? 28即又111PY?y?1?. ,故PY?y?13?j623j?13同理PX?x2?从而 3. 4111PX?x2,Y?y3?P
13、Y?y3?PX?x1,Y?y3?. 3124故 X Y y1 1 241 81 6y2 1 83 81 2y3 1 121 41 3PX?xi?Pi 1 43 41 x1 x2 PY?yj?pj 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量的概率分布. mn?m【解】(1) PY?m|X?n?Cm,0?m?n,n?0,1,2,?. np(1?p)(2) PX?n,Y?m?PX?n?PY?m|X?n 14 ?Cp(1?p)mnmn?me?
14、n?,n?m?n,n?0,1,2,?. n!24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X?2?1?，而Y的概率密度为f(y)，?求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F是Y的分布函数，则全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)?PX?Y?u?X?Y?u|X?1?X?Y?u|X?2 ?Y?u?1|X?1?Y?u?2|X?2 于X和Y独立，可见 G(u)?Y?u?1?Y?u?2 ?(u?1)?(u?2). 此，得U的概率密度为 g(u)?G?(u)?(u?1)?(u?2) ?(u?1)?(u?2). 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求
15、PmaxX,Y1. 解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 ?1?1?, 0?x?3,?, 0?y?3, f(y)?3 f(x)?3?0,x?0,x?3;?0,y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以 ?1?,0?x?3,0?y?3, f(x,y)?9?0,x?0,y?0,x?3,y?3. 推得 PmaxX,Y?1?26. 设二维随机变量的概率分布为 Y X ?1 0 1 ?10 1 a 0 b 0c 1. 9其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=?,PY0|X0=，记Z=X+Y.求： 15 a,b,c的值； Z的概率分布； PX=Z. 解 (1) 概率分布的性质知， a+b+c+=1 即 a+b+c = E(X)?，可得 ?a?c? 再 PY?0X?0?PX?0,Y?0a?PX?0?b?b?, 得a?b? 解以上关于a，b，c的三个方程得 a?,b?,c? (2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2， PZ?2?PX?1,Y?1?， PZ?1?PX?1,Y?0?PX?0,Y?1?， PZ?0?PX?1,Y?1?PX?0,Y?0?PX?1,Y?1?，PZ?1?PX?1,Y?0?PX?0,Y?1?， PZ?2?PX?1,Y?1?， 即Z的概率分布为 Z ?2?1 012 P(3)PX?Z?PY?0?b? 16
