1、,等差数列的概念与通项公式(1),学习目标,目标1：理解等差数列的概念.,目标2：掌握等差数列的通项公式及推导方法.,目标3：掌握等差数列的通项公式的简单应用.,复 习 回 顾,一、数列的定义，通项公式:,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,二、数列的简单表示:,三、给出数列的方法:,两 个 实 例,图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7，8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：,4,5,6,7,9,8,10,写成数列就是：4，5，6，7，8，9，
2、10。,某剧院前排座位号分别是：56，54，52，50，48，46，44，42，40，38。,请同学们思考，这两个数列有何共同特点?,从第二项起，后一项与前一项的差是1。,从第二项起，后一项与前一项的差是2.,等 差 数 列 的 定 义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示.,你能再举出一些等差数列的例子吗？,练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。,你能求出等差数列（4）的第100项吗？,通 项 公 式 的 推 导,设一
3、个等差数列an的首项是a1,公差是d,则始终有：a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,所以有：a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d,an=a1+(n1)d 当n=1时，上式也成立。,问an=?通过观察：a2,a3,a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？,所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n1)d,通 项 公 式 的另一 推 导:,例1（1）求等差数列8，5，2，的第20项；（2）判断-401是不是等差数列 5,-9,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析（1）由给出的等差数列
4、前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.,解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11 a20=11-320=-49,分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。,(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4 这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100-401是这个数列的第100项。,练 习 二,（1）求等差数列3,7,11的第4项与第10项；（2）判
5、断100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,解：（1）根据题意得：a1=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=4n-1 a4=44-1=15,a10=410-1=39.,（2）由题意得：a1=2,d=9-2=16-9=7这个数列的通项公式是：an=2+(n-1)7=7n-5(n1)令100=7n-5,得 n=15-401是这个数列的第15项。,例2 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。,课本P.35例1：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅
6、典举行，此后每4年举行一次奥运会如因故不能举行，届数照数(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？,例3 在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。,练 习 三,已知等差数列an中，a4=10,a7=19,求a1和d;,思考题：已知等差数列an中，am,d 是常数，试求出an的值。,分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将
7、am,d 看成是常数.,解：设等差数列an的首项是a1，依题意可得：am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d-得：an-am=a1+(n 1)d-a1+(m-1)d=(n-m)d an=am+(n-m)d,思考练习：已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一:依题意得：a1+2d=9 a1+8d=3解之得 a1=11 d=-1 这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n 故 a12=0,a 3n=12 3 n.,解法二：,例4（1）在等差数列an中，是否有（2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？,例5
8、如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？,小结,通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：an-an-1=d(n2);.其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n1).本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。最后，还要注意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。,作业：课本P.39-1,2,3,4,5,
9、7.课课练P.23-P.24.,等差数列的概念与通项公式2,等差数列定义：,等差数列的通项公式：,复习回顾：,等差数列通项公式的一个变式,梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。,解：,用an表示梯子自上而下各级宽度成的等差数列，,a1=33，a12=110，n=12.,由已知条件有,由通项公式，得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d,解得d=7.,因此,a2=33+7 a3=40+7 a4=54 a5=61 a6=68 a7=75 a8=82 a9=89 a10=96 a11=103.,答:梯子中间各级的宽度从
10、上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.,例1：,已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？,分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看anan-1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了,解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n2)anan-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公
11、差是p,例2：,首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an 2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如：,如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?,由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:A-a=b-A,即,反之,若,则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.,总之:,成等差数列.,也就是说:,是a,A,b成等差数列的充要条件.,思考：,在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:数列:1,3,
12、5,7,9,11,13,中,等差数列的性质1：,即：,求下列各题中两个数的等差中项。,（1）、100与180,（2）、2与6,练习：,解:（1）100与180的等差中项是140,（2）-2与6的等差中项为2,证明：设首项为,，则,例3：,在等差数列,中，,若,则,等差数列性质2：,例4：,（1）已知等差数列an中，a3 a15=30,求a9，a7a11,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,（2）已知等差数列an中，a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+5,a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150,即a5=30,故a2a8=2
13、 a5=60,a7a11=a3 a15=30,a3a7=a4 a6=2 a5,练习：,（1）在等差数列an中，a3 a9a15a21=8，求a12=,（2）已知等差数列an中，a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=,2,已知等差数列an中，a3 a5=14,2a2a6=15，求a8,例5：,解：,3+5=2+6，,则2a2a6=a2 a3 a5=a214=15,故a2=15+14=1,a6=15 2a2=152（1）=-13,故a8=2a6a4=2（-13）（-7）=-19,a3 a5=a2a6,例6 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三
14、个数.,小结：,（1）由通项公式如何判定它是等差数列。,（2）等差数列性质1,（3）等差数列性质2,作业：,课本：P.39:6,8,9,10,11.课课练P.25-P.26.,19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设
15、的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁 迅2 人生像攀登一
16、座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁 迅5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴 金6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。雷 锋7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。吴玉章9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满
17、开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。论语 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。10二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。周易 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。11君子藏器于身，待时而动。周易 译：君子就算有卓越的
18、才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。12满招损，谦受益。尚书 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。13人不知而不愠，不亦君子乎？论语 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14言必信，行必果。论语 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。15毋意，毋必，毋固，毋我。论语 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任
19、务。16三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。论语 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。17君子求诸己，小人求诸人。论语 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1天行健，君子以自强不息。周易 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业
20、，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。三国志刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。3见善如不及，见不善如探汤。论语 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。论语 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。论
21、语 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。论语 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。7己所不欲，勿施于人。论语 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人身上去。8当仁，不让于师。论语 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，
22、也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。18君子坦荡荡，小人长戚戚。论语 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。陈廷焯 译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事情如果不亲身经历过就不知道它有多难。72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。省世格言 译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。增广贤文 译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋
23、里自由遨游。74.学如逆水行舟，不进则退。增广贤文 译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。75.吾生也有涯，而知也无涯。庄子 译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。76.天下兴亡，匹夫有责。明顾炎武 译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。77.生于忧患，死于安乐。孟子 译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。78.位卑未敢忘忧国。陆游病起书怀 译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。宋文天祥过零丁洋 译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国
24、的赤胆忠心留在史册上吧！80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。宋范仲淹岳阳楼记 译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人 81.小来思报国，不是爱封侯。唐岑参关人赴安西 译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）82.有益国家之事虽死弗避。明吕坤呻吟语卷上 译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。87.生当作人杰，死亦为鬼雄。宋李清照夏日绝句 译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。88.利于国者
25、爱之，害于国者恶之。晏子春秋 译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。89.读书本意在元元。宋陆游 译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官发财。90.时穷节乃现，一一垂丹青。宋文天祥 译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。91.哀哀父母，生我劬劳。诗经 译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！92.报国之心，死而后已。宋苏轼 译：报效祖国的志向到死都不会变。93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。三国曹植求自诚表 译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危
26、难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？汉陈蕃语 译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。庄子 译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。孟子 译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。公孙龙子 译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。98.天下皆知取之为取，而莫知与之为取。后汉书 译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。汉司马迁史记 译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人 100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。增广贤文 译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母83.一寸山河一寸金。金左企弓语 译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。,
