1、中考数学专题复习讲座 第三讲 整式2013年中考数学专题复习第三讲：整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念： ：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式： 。单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。2、同类项： 定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。 合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】二、整式的运算：1、
2、整式的加减：去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- . 添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )整式加减的步骤是先 ，再 。【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。】2、整式的乘法：单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。乘法公
3、式：、平方差公式：（ab）（ab） ， 、完全平方公式：（ab）2 = 。 【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】3、整式的除法：单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）m= 。三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n （a0，m、n为整数）2、幂的乘方：
4、 不变 相乘，即：(a m) n （a0，m、n为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。 即：(ab) n （a0，b0，n为整数）。4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a ma n （a0，m、n为整数）【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。】【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例1 （2012珠海）计算-2a2+a2的结果为（）A-3a B-a C-3a2 D-a2考点：合并同类项专题：推理填空题分析
5、：根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案解答：解：-2a2+a2=-a2，故选D点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目对应训练1（2012莆田）如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab= 考点：同类项专题：计算题分析：根据同类项的定义可知，相同字母的次数相同，据此列出方程即可求出a、b的值解答：解：单项式xa+1y3与2x3yb是同类项， a+1=3 b=3 ，解得 a=2 b=3 ，则ab=23=8故答案为：8点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义
6、中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点解题时注意运用二元一次方程组求字母的值2（2012桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（）A5xy2 Bxy2 C2x2y4 Dx2y4考点：合并同类项专题：计算题分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可解答：解：2xy2+3xy2=5xy2故选A点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键考点二：整式的运算。例2 （2012宿迁）求代数式（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab的值，其中a=1，b=考
7、点：整式的混合运算化简求值专题：计算题分析：先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可解答：解：原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2，当a=1，b=时，原式=212=2点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用对应训练2（2012贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=考点：整式的混合运算化简求值专题：探究型分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=代入进行计算即可解答：解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）=2b2+a
8、2-b2-a2-b2+2ab=2ab，当a=-3，b=时，原式=2（-3）=-3点评：本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键考点三：幂的运算。例3 （2012南平）下列计算正确的是（）Aa3+a2=a5 Ba5a4=a Caa4=a4 D（ab2）3=ab6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析：利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案解答：解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；B、a5a4=a5-4=a，故选项正确；C、aa4=a4+1=a5，故选项错误；D、（ab2）3=a3b6，故选项错
9、误故选B点评：本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握对应训练3（2012衢州）下列计算正确的是（）A2a2+a2=3a4 Ba6a2=a3 Ca6a2=a12 D（-a6）2=a12考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：计算题分析：分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可解答：解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；B、a6a2=a4，故本选项错误；C、a6a2=a8，故本选项错误；D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确故选D点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并
10、同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键考点四：完全平方公式与平方差公式例4 （2012衡阳）下列运算正确的是（）A3a+2a=5a2 B（2a）3=6a3C（x+1）2=x2+1 Dx2-4=（x+2）（x-2）考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式专题：计算题分析：根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案解答：解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；故选D点评：此题考查了完全平
11、方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键例5 （2012遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A2cm2 B2acm2 C4acm2 D（a2-1）cm2考点：完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景专题：计算题分析：根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可解答：解：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，=a2+2a+1-（a2-2a+1），=4a（cm2），故选C点评：本题考查了完全平方公式的应用
12、，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大对应训练4（2012哈尔滨）下列运算中，正确的是（）Aa3a4=a12 B（a3）4=a12Ca+a4=a5 D（a+b）（a-b）=a2+b2考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：探究型分析：分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可解答：解：A、a3a4=a7，故本选项错误；B、（a3）4=a12，故本选项正确；C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误故选B点评：本题考查的是同底数幂的乘法、
13、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键510（2012绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A2mn B（m+n）2 C（m-n）2 Dm2-n2考点：完全平方公式的几何背景分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案解答：解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2，又原矩形的面积为4mn，中间空的部分的面积=（m+n）2-4
14、mn=（m-n）2故选C点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般考点四：规律探索。例6 （2012株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，观察其规律，推断第n个数据应为 考点：单项式专题：规律型分析：通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数x的指数为n时，2的指数为（n-1）由此可解出本题解答：解：依题意得：（1）n为奇数，单项式为：2n-1xn；（2）n为偶数时，单项式为：-2n-1xn综合（1）、（2），本数列的通式为：（-2）n-1xn故答案为：（-2）n-1xn点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字
15、因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键对应训练6（2012盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，依次类推，则a2012的值为（）A-1005 B-1006 C-1007 D-2012考点：规律型：数字的变化类专题：规律型分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于，n是偶数时，结果等于，然后把n的值代入进行计算即可得解解答：解：a1=0，a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，a4=
16、-|a3+3|=-|-1+3|=-2，a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，所以，n是奇数时，an= ，n是偶数时，an=，a2012= =-1006故选B点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键【聚焦山东中考】1（2012济宁）下列运算正确的是（）A-2（3x-1）=-6x-1 B-2（3x-1）=-6x+1C-2（3x-1）=-6x-2 D-2（3x-1）=-6x+2 考点：去括号与添括号分析：利用去括号法则，将原式去括号，进而判断即可得出答案即可解答：解：A-2（3x-1）=-6x+2，-2（3x-1）=-6x-1错误，故
17、此选项错误；B-2（3x-1）=-6x+2，-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；C-2（3x-1）=-6x+2，-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；D-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；故选：D点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键2（2012济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（）A2x-3 B2x+9 C8x-3 D18x-3考点：整式的加减分析：首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类
18、项即可求解解答：解：原式=10x-15+12-8x =2x-3故选A点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点3（2012威海）下列运算正确的是（）Aa3a2=a6 Ba5+a5=a10 Caa-2=a3 D（-3a）2=-9a2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂分析：利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用解答：解：A、a3a2=a5，故本选项错误；B、a5+a5=2a5，故本选项错误；C、aa-2
19、=a1-（-2）=a3，故本选项正确；D、（-3a）2=9a2，故本选项错误故选C点评：此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键4（2012聊城）下列计算正确的是（）Ax2+x3=x5 Bx2x3=x6 C（x2）3=x5 Dx5x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变
20、，指数相减，分别进行计算，即可选出答案解答：解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2x3=x2+3=x5，故此选项错误；C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、x5x3=x2，故此选项正确；故选：D点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题5（2012临沂）下列计算正确的是（）A2a2+4a2=6a4 B（a+1）2=a2+1C（a2）3=a5 Dx7x5=x2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法分析：根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对
21、C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断解答：解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；D、x7x5=x2，所以D选项正确故选D点评：本题考查了完全平方公式：（ab）2=a22a+b2也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则6（2012东营）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（）A B C-3 D 考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方分析：由3x=4，9y=7与3x-2y=3x32y=3x（32）y，代入即可求得答案解答：解：3x=4，9y=7，3x-2y=3x32y
22、=3x（32）y=47=47=故选A点评：此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用此题难度适中，注意将3x-2y变形为3x（32）y是解此题的关键7（2012滨州）求1+2+22+23+22012的值，可令S=1+2+22+23+22012，则2S=2+22+23+24+22013，因此2S-S=22013-1仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012的值为（）A52012-1 B52013-1 C D考点：同底数幂的乘法专题：整体思想分析：根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+52012，用5S-S整理即可得解解答：解：设S=1+5+52+53+52012，则5S=5+52+
23、53+54+52013，因此，5S-S=52013-1，S=故选C点评：本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用8（2012德州）化简：6a63a3= 2a3考点：整式的除法分析：单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可解答：解：6a63a3=（63）（a6a3）=2a3故答案为：2a3点评：本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则9（2012滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 a4a2=a6（答案不唯一）考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法专题
24、：开放型分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求注意答案不唯一解答：解：a4a2=a6故答案是a4a2=a6（答案不唯一）点评：本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则10（2012济宁）某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回 元考点：列代数式分析：单价重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱解答：解：根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回 （100-5x）元故答案为 （100-5x）点评：此题考查列代数式，属基础题，简单12（2012菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23，33和43分别可以按如图所
25、示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 考点：规律型：数字的变化类专题：规律型分析：首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数（底数-1）+1，问题得以解决解答：解：解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=21+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=32+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=43+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=54+1，63=31+
26、33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=65+1，所以63“分裂”出的奇数中最大的是65+1+2（6-1）=41故答案为：41点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口【备考真题过关】一、选择题1（2012南昌）在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（）A4的a倍 Ba的4倍 C4个a相加 D4个a相乘考点：代数式分析：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果解答：解：A、4的a倍用代数式表示4a，故本选项正确；B、a的4倍用代数式表示4a，故本选项正确；C
27、、4个a相加用代数式表示a+a+a+a=4a，故本选项正确；D、4个a相乘用代数式表示aaaa=a4，故本选项错误；故选D点评：本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点2（2012宜昌）根据国家中长期教育改革和发展规划纲要，教育经费投入应占当年GDP的4%若设2012年GDP的总值为n亿元，则2012年教育经费投入可表示为（）亿元A4%n B（1+4%）n C（1-4%）n D4%+n考点：列代数式分析：根据2012年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，即可得出2012年教育经费投入解答：解：
28、因为2012年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，所以2012年教育经费投入可表示为4%n亿元故选A点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是根据已知条件找出数量关系，列出代数式3（2012安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（）A（a-10%）（a+15%）万元 Ba（1-10%）（1+15%）万元C（a-10%+15%）万元 Da（1-10%+15%）万元 考点：列代数式分析：根据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来（1-10%）a，进而得出5月份产值列出式子（1-10%）a（1+15
29、%）万元，即可得出选项解答：解：3月份的产值是a万元，则：4月份的产值是（1-10%）a万元，5月份的产值是（1+15%）（1-10%）a万元，故选：B点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把4、5月份的产值表示出来4（2012凉山州）若x是2的相反数，|y|=3，则x-y的值是（）A-5 B1 C-1或5 D1或-5考点：代数式求值；相反数；绝对值分析：根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算解答：解：根据题意，得 x=-2，y=3当 x=-2，y=3 时，x-y=-2-3=-5；当 x=-2，y=-3 时，x-y=-2-（-3）=1故选D点评：此题考查求代数式的值，关键在根据相反数和绝对值的意义求x和y的值5（2012广州）下面的计算正确的是（）A6a-5a=1 Ba+2a2=3a3 C-（a-b）=-a+b D2（a+b）=2a+b考点：去括号与添括号；合并同类项分析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则
