1、结构动力学习题解答一二章docx精品文档第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有： 牛顿第二定律法、 动量距定理法、 拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（ 1） 对系统进行受力分析 , 得到系统所受的合力；（ 2） 利用牛顿第二定律 m x F , 得到系统的运动微分方程；（ 3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（ 1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（ 2） 利用动量距定理 J
2、 M , 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（ 1）设系统的广义坐标为 ，写出系统对于坐标 的动能 T 和势能 U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式： L=T-U ；（2）由格朗日方程 ( L ) L =0，得到系统的运动微分方程；dt（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（ 1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能 T 和势能 U的表达式；
3、进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零 , 即 d(T U )0 ，进一步得到系dt统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（ 1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 Ai 、 Ai 1 。（2）由对数衰减率定义ln( Ai) ，进一步推导有Ai12，21.精品文档因为 较小， 所以有。2方法二：共振法求
4、单自由度系统的阻尼比。（ 1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：单自由度系统的幅频曲线（ 2）分析以上幅频曲线图，得到：1,2 max / 2 2 / 4；于是2(1 2 )2；1n进一步2(1 2 )2；2n最后2 1 / 2 n / 2 n ；1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励 F0 sin t 作用下其稳态响应为：xA sin(t) ,其中：AF 0x st；(1)m224n2212422n0arctan 2/ 12(2).精品文档从实
5、验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（ 1），（ 2）式求得阻尼比 。方法二：功率法：（ 1） 单自由度系统在F0 sint 作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为Wc 0、阻尼力做功为W dc A 2、激振力做作功为W fF 0sin；（ 2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即：Wc +Wd +W f0 ；于是F0 sin-c A 20进一步得：AF0 sinc；（ 3）当n时， sin1，则Amaxxst2，得max1 2,2max。1.4 求图 1-35中标出参数的系统的固有频率。（ 1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、
6、简支梁刚度为k248EI； 等效刚度为 k; 有 111m；L3kk1k2k148 EIkL/2L/21148EIk1l 3k1k 2则固有频率为：k48EIl 3；图 1-33 （a）m48EI k1l 3m（ 2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为 :m48EI;L/2L/2k k13lk1则固有频率为 :kk1 l 348EImml 3图 1-33 （b）.精品文档(3)系统的等效刚度为mk1k1k k13EIk13EIl3l3则系统的固有频率为kk1l 33EI图 1-33（ c）mml 3（4）由动量距定理m0FI 0 得：m（ 1 lk11 l1 lk11 l ） = 1 ml
7、 2k1k122222得：k10，2m则k1。2m图 1-33 （ d）1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径 R,重物 B 的重量为 P/2, 弹簧刚度为 k.解：以为广义坐标，则系统的动能为T TT轮子1（ m）x 21 I2A重物22 0k1 P21 1 P2x2P2P2x图 1-34（2g）x(R)x4 g22 2 gR4 gBPx202g系统的势能能为：x1 kx 2UU 重物U 弹簧Px；2拉格朗日函数为L=T-U ;由拉格朗日方程 ( L ) L 0 得dt x xPgx kx 0.精品文档则，kg0=P所以：系统的固有频率为kgP1.6 求图 1-35 所示系统的
8、固有频率。图中磙子半径为R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度为 K 。解：磙子作平面运动，KR其动能 T=T平动 +T 转动。xM图 1-35T平动1&2;Mx2T转动1 I&2MR2& 2;x1x2R22RT1 Mx 21 M x23 M x2；244而势能U1 Kx 2 ；2系统机械能3212C ;T UM xKx42由 d T U0 得系统运动微分方程d t3 Mx Kx 0；2得系统的固有频率n2 K3M；1.7 求图 1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为 mA，半径为 r A，齿轮 B 的质量为 m，半径为rB,杆 AC的扭转刚度为K ,杆 BD的扭转刚度为 K ,BA
9、B解：由齿轮转速之间的关系Ar AB r B得角速度rAA ；转角 Br ABrBA ；r B系统的动能为：T121J B2T A T BJ A A2B2CA1m r221m r22TA ABBB2A2221 mA mB rA 2A 2 ；BD4.精品文档图 1-36系统的势能为：U1 K A A21 K B B 222系统的机械能为1K A A2K B B221K Br A22K ArB2A ;2T U1mmBr224AAA21K AK Br A 2A 2C ；2rB由d T U 0 得系统运动微分方程 d t12K Ar A20 ；m A m B r AAK B2A2r B因此系统的固有频
10、率为：2 K Ar A22 K Ar A2K B2K B2rB1rBnmB r A2r AmAmB；mA1.8 已知图所示振动系统中，匀质杆长为 L，质量为 m，两弹簧刚度皆为 K，阻尼系数为 C，求当初始条件 0 0 0 时（） f (t) F sin t 的稳态解； C f(t)（） f (t) (t )t 的解； L/2 L/2解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程22f (t) LK L2JC LK L； K2222LL22r 2 m drmL2而 Jr 2 dm；LLL1222得mL23CL26KL 26Lf (t) ；化简得3C6K6mmf (t )mL（）求 f (t) F si
11、nt 的稳态解；将 f (t )F sint 代入方程（ 1）得3C6K6 F sin tmmmLK图(1)(2).令2n 3C ; m2n精品文档6K ; h 6 F ; 得m mL2n2h sin t（3）n设方程（ 3）的稳态解为x A sin( t )（ 4）将（ 4）式代入方程（ 3）可以求得：h6F；An 22 24n2 2L 6K m 2 29C 2 2arctg2narctg3C；226K m2n（）求 f (t)(t) 的解；将 f (t )(t) 代入方程（ 1）得令2n 3C ; m2n3C6K6（5）mm(t)mL6K ; h 6 ; 得m mL2nn2h ( t)（
12、6）方程（ 6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励h ( t ) 的响应。由方程（6）可以得到初始加速度0h( t) ；然后积分求初始速度00000 d th ( t )d th( t) d t h ；000再积分求初位移0000 d th)d t0 ；00这样方程（ 6）的解就是系统对于初始条件0、 0和0 的瞬态响应xAe n tsindt；将其代入方程（6）可以求得：Ah;0 ;m d最后得x Ae n t sind the n tsind tm d.精品文档1.9 图所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为 C，刚度为 K，处于静止状态，方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住
13、后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理mgH1 mV02 的振子的初速度 V02 gH ；2底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度V02gH的主动隔振m系统的运动微分方程为：mxCxKx0；K/2cK/2或xC xK x0 ;mm或x2nxn2 x0 ;H系统的运动方程是对于初始条件的响应：x Aen t sind t；x0n x 02x 02gHAx0 2；dddarctgd x00；x0n x0x2gHsin d t ;d1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、 k、 c
14、已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（ 2）汽车振动的稳态解。解：（ 1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：myk( y y1 ) c( y y1 )Ym1其中： y 表示路面波动情况；y1 表示汽车上下波动位移。K/2C K/2将其整理为：mycykyky1cy1(1)Y(t)将y h sin( at ) 代入得my cy ky ach cos(at ) kh sin( at )图(2)汽车振动的稳态解 :设稳态响应为： y Asin( t a).精品文档代入系统运动微分方程（1）可解得：k 2c 22A(k m 2 ) 2c2 2 h ；aacr tan(mc32 ) ；m2)c2k(k1.11. 若电磁激振力可写为F (t )H sin 20 t ，求将其作用在参数为m、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：F (t )a0(ai cos(it )bisin(it)2i 1其中：2T2
