1、学大精品讲义六上数学 第三讲 行程问题一第三讲 行程问题（一）课程目标1. 让学生学会利用线段图分析行程问题中的相遇问题；掌握其等量关系式。 2. 利用相遇问题的数量关系解答相关应用题； 3. 培养学生分析、解决实际问题的思维能力。课程重点会分析相遇问题中相等的数量关系，能在理解的基础上用不同的方法解答。 课程难点1. 引导学生理解、分析相遇问题的数量关系，并能正确列式解答。2. 理解并会分析同时出发的两者间的相遇问题和不同时出发的两者间相遇问题。教学方法建议1. 建议学习时相学会分析问题的数量关系，掌握根据数量关系求未知数的解题方法。 2. 建议画线段图理解题意，培养学生分析问题的能力。 一
2、、知识梳理1. 行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。2. 解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和时间。同时相向而行：路程=速度和时间。同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追击时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。二、方法归纳行程问题分为追及问题与相遇问题：相遇问题：速度和相遇时间=总路程（同时出发）甲的路程+乙的路程=总路程追及问题：速度差追击时间=相距路程甲的速度甲追乙的时间乙的速度甲
3、追乙的时间=相距路程路程差相遇时间速度差 路程和相遇时间速度和相遇时间路程差速度差 相遇时间路程和速度和速度差路程差相遇时间 速度和路程和相遇时间三、课堂精讲例 1 A、B 两地相距 1250 千米，两辆汽车相对开出。若甲车每小时行 65 千米，则乙车每小时行（ ）千米，两汽车经 10 小时正好相遇。 【规律方法】根据速度和相遇时间=总路程的数量关系解决问题。可以用方程，也可以用算术方法。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 1. 甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米。甲车从 A 地、乙车从B 地同时出发相向而行。两车相遇后 4.5 小时甲车到达 B 地，A、B 两地相距多少千米？
4、 2. 一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，经过 3.5 小时相遇，已知客车每小时比货车快 3 千米，甲乙两地相距 416.5 千米，客车每小时行多少千米? 例 2 一汽车下午 2 点 30 分从 A 地开出，每小时行 50 千米，经 1.5 小时后另一辆汽车以相同的速度从B 地开出，下午 6 时相遇，A、B 两地相距（ ）千米。 【规律方法】理解不是同时出发的相遇问题的解法。本题的数量关系时：甲的速度甲的时间+乙的速度乙的时间=总路程【搭配课堂训练题】【难度分级】 A3. A、B 两地相距 352 千米，甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地对开。甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行
5、44 千米。乙车因有事，在甲车开出 32 千米后才出发，（ ） 小时两车相遇。 4. 甲乙两车同时从相距 960 千米的 AB 两地相向而行，8 小时后相遇。已知甲车每小时比乙车快 4 千米，甲车每小时行（ ）米，乙每小时行（ ）米。 5. 甲、乙两地相距 360 千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地。货车速度每小时 60 千米，客车每小时 40 千米，货车到达乙地后停留 0.5 小时，又以原速返回甲地，问从甲地出发后几小时两车相遇？ 例 3 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车每小时行 6 千米，乙车每小时行 4 千米，在距离中点 1 千米处相遇，则A、B 两地相距（ ）千
6、米。 【规律方法】理解“在距离中点 1 千米处相遇”，说明甲、乙两车的路程差为 12=2（千米），由甲车每小时的速度比乙车快 2 千米可知，两车的相遇时间为 22=1（小时），再根据路程和相遇时间速度和解决问题。【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 6. 小红从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4 千米，两人同时出发，然后离甲乙两地的中点 2 千米的地方相遇，甲乙两地间的距离是（ ）千米。 7. 甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米，两车在离中点 32 千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？ 例 4 小明和小军分别
7、从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间。小明每分钟走 80米，小军每分钟走 70 米，经过 6 分钟两人第二次相遇。这座桥长（ ）米。 【规律方法】理解多次的相遇问题。两人第二次相遇，说明两人合起来走了三个全程。 例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟。他们同时出发，（ ）分钟后两人相遇。 【规律方法】本题让学生自己分析之后发现缺少路程这个数量，用假设的思想解决问题。假设 全程是 480 米即可解决问题。 【搭配课堂训练题】【难度分级】 A 8. 小张从甲地到乙地步行需要 30 分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要 10 分钟。他们同时出发，（
8、 ）分钟后两人相遇。 例 6 甲、乙两人同时从相距 2000 米的两地相向而行，甲每分钟行 55 米，乙每分钟行 45米，如果一只小狗与甲同时同向而行，每分钟行 120 米，遇到乙后，立即回头向甲跑去， 遇到甲再向乙跑去。这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，小狗共行了多少米？ 【规律方法】会根据题意求隐含的量。本题小狗的速度不变，也没有停止，只要求出小狗跑的时间，用小狗的速度小狗的时间=小狗的路程。小狗的时间即为甲乙两人的相遇时间。 【搭配课堂训练题】【难度分级】 B 9. 甲、乙两站相距 440 千米，一辆大车和一辆小车从两站相对开出，大车每小时行 35 千米，小车每小时行 45 千米。一只燕
9、子以每小时 50 千米的速度和大车同时出发，向小车飞去，遇到小车后又折回向大车飞去，遇到大车又往回飞向小车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 四、讲练结合题1. 甲、乙二人在长为 400 米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑 9 米，乙每秒钟跑 7米当两人同时同地背向而行时，经过几秒钟两人首次相遇？2. “八一”节那天，某少先队以每小时 4 千米的速度从学校往相距 17 千米的解放军营房去慰问，出发 0.5 小时后，解放军闻讯前往迎接，每小时比少先队员快 2 千米，再过几小时，他们在途中相遇？ 3. 两地相距 380 千米。有两辆汽车从两地同时相向开出。原计划甲汽车每小时行 36
10、 千米，乙汽车每小时行 40 千米，但开车时甲汽车改变了速度，以每小时 40 千米的速度开出，问在相遇时，乙汽车比原计划少行了多少千米？ 4. 东、西两镇相距 240 千米，一辆客车在上午 8 时从东镇开往西镇，一辆货车在上午 9 时从西镇开往东镇，到正午 12 时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午 8 时由两镇相向开行，速度不变，到上午 10 时，两车还相距多少千米？ 5. 两辆汽车从甲乙同时相对开来，客车每小时 60 千米，货车每小时 55 千米，两车相遇时，客车比货车多行了 30 千米，甲乙两地间的距离是（ ）千米。 6. 两地的距离是 1120 千米，有两列火车同时相向开出
11、。第一列火车每小时行 60 千米，第二列火车每小时行 48 千米。在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时 80 千米的速度向第一列火车飞去，在鸽子碰到第一列火车时，第二列火车距目的地多远？ 五课后自测练习1. 甲、乙两站相距 280 千米，一列慢车从甲站出发，每小时行驶 60 千米，一列快车从乙站 出发，每小时行驶 80 千米，问： 两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ 2. 两辆汽车上午 8 点整分别从相距 210 千米的甲、乙两地相向而行。第一辆在途中修车停了 45 分钟，第二辆因加油停了半小时，结果在当天上午 11 点整相遇。如果第一辆汽车以每小时行 40 千米，那么第
12、二辆汽车每小时行多少千米？ 3. 甲乙二人从相距 36 千米的两地相向而行。甲速度为每小时 3 千米，乙速度为每小时 4 千米。若乙先出发 2 小时，甲才出发，则甲经过（ ）小时后与乙相遇，这时甲走了（ ） 千 米 。 4. 甲乙两车同时从相距 299 千米的两地相向而行，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 52千米。（ ）小时后两车第一次相距 69 千米，再过（ ）小时两车再次相距 69 千米。 5. 小红和小明同时从甲、乙两地相向而行，小红每小时行 50 千米，小明每小时行 40 千米，两人在甲乙两地的中点 20 千米处相遇，甲乙两地间的距离是（ ）千米。 6. 甲乙两辆汽车从A、B
13、两地同时相向开出，开出后 2 小时，两车相距 141 千米；出发后 5 小时，两车相遇。A、B 两地相距（ ）千米。 第三讲 行程问题（一）【答案】例 1（1250-65x10）10 =60010 =60（千米） 【搭配课堂训练题】 1. 分析：首先根据题意，用甲车的速度乘以 4.5，求出甲车相遇后行驶的路程，即可求出乙相遇时行驶的路程；然后再除以乙的速度，求出两车的相遇时间；最后根据速度时间= 路程，用两车的速度之和乘以相遇时间，求出 A，B 两地的距离即可 解 答 ： (40+60)(404.560)=100(18060)=1003=300(千米) 答：A，B 两地的距离是 300 千米。
14、 2. 解 答 ： (416.53.5+3)2 =1222 =61(千米) 答：客车每小时行 61 千米. 故答案为：61 千米 例 2客车行驶的时间是 62.53.5(小时) 客车行驶的路程是 503.5175(千米) 货车行驶的时间是 3.51.52(小时) 货车行驶的路程是 502100(千米） 甲乙两地的距离是 175100275（千米） 答：甲乙两地的距离 275 千米。 【搭配课堂训练题】3解答： (35232)(3644) = 32080 = 4(小时) 答：再过 4 小时两车相遇. 4. 解答：根据 相遇时间速度和=路程得 速度和=路程相遇时间=9608=120（千米/小时）
15、所以甲车速度=（1204）2=62（千米/小时） 乙车速度=62-4=58（千米/小时） 乙行驶路程=588=464（千米） 5. 分析： 第一步求出货车从甲地出发驶到乙地再停留半小时用的时间是 36060+0.5=6.5（小时），第二步求出 6.5 小时客车行的路程，第三步求出客车距乙还有的路程，第四步根据路程除以速度和，求出再过多少时间相遇，进而得出答案 解答：货车从甲地出发到达乙地后再停留半小时，共用的时间： 36060+0.5=6.5( 小 时 ) (360406.5)(60+40)=(360260)100=100100=1(小时)， 6.5+1=7.5(小时)， 答：从甲地出发后 7
16、.5 小时两车相遇。 例 3设 A、B 两地相距X 千米，则 （0.5X+1）6=（0.5X-1）4 解得 X=10(千米) 答：A、B 两地相距 10 千米 【搭配课堂训练题】 62 2（5-4）=4（小时） （ 5+4）=36（千米） 答：甲乙两地相距 36 千米。 7分析：两车在距离中点 32 千米处相遇，那么乙车就比甲车多行驶 322=64 千米，先求出两车的速度差，再根据相遇时间=乙车多行驶的路程路程速度差，求出相遇的时间，最后根据路程=速度时间即可解答 解答：(322)(5648)(48+56)=648104=8104=832(千米)， 答：东西两地相距 832 千米。 例 4 (
17、806+706)3 =(480+420)3 =9003 =300(米) 答：这座桥长 300 米。 例 5 1（1/36+1/12）， =14/36， =9（分钟） 答：他们同时出发，9 分钟后两人相遇 【搭配课堂训练题】8. 1（1/30+1/10）， =14/30， =30/4（分钟） 答：他们同时出发，30/4 分钟后两人相遇 例 6分析：从开始出发到甲和乙相遇为止，狗一直按每分钟行 120 米的速度在跑，只要求出甲乙两人相遇时用的时间，根据路程=速度时间，即可求出狗共行的路程，据此解答 1202000(45+55)=1202000100=12020=2400(米)； 答：狗共行了 24
18、00 米。 【搭配课堂训练题】 9分析：根据路程速度和=相遇时间可知，两车的相遇时间为 440（45+35）=5.5 小时，这一时间内，燕子一直在飞，所以相遇时，燕子飞了 505.5=275 千米 解答：440(45+35)50=4408050=275(千米). 答：燕子飞了 275 千米两车才相遇。 四、讲练结合题 1解答：解：设 x 秒钟两人首次相遇。由题意得：9x+7x=400， 解得：x=25. 2解答：17-0.54=15 千米 15（4+4+2）=1.5 小时 答再过 1.5 小时，他们在途中相遇 3. 解答：原计划，相遇用时 380（36+40） =38076 =5（小时） 所以
19、原计划相遇时乙车行了 540=200 千米实际，相遇用时 380（40+40） =38080 =4.75（小时） 所以实际相遇时乙车行了 4.7540=190 千米 所以在相遇时，乙汽车比原计划少行了 200-190=10（千米） 综合列式为 380（36+40）40-380（40+40）40 =200-190 =10（千米） 4. 解答：根据题意可得： 客车的速度是：(2402)(128)=30(千米/时)； 货车的速度是：(2402)(129)=40(千米/时)； 从上午 8 点至上午 10 时,两车行驶的路程和是：(30+40)(108)=140(千米)； 两车还相距的路程是：24014
20、0=100(千米). 答：两车还相距 100 千米。 5. 解答：根据题意可得： 客车每小时比货车多走：6055=5(千米)； 两车相遇用了：305=6(小时)； 甲、乙两地相距：6(60+55)=690(千米). 答：甲、乙两地间距离是 690 千米。 6. 解答：设鸽子与第一列火车相遇的时间为 t，根据题意可得： 80t+60t=1120 140t=1120 t=8(小时) 488=384(千米) 1120-384=736(千米) 答：在鸽子碰到第一列火车时，第二列火车距离目的地 736 千米 五课后自测练习 1. 解答：解:设出发 x 小时两车相遇,根据题意可得(60+80) x=280
21、 解得 x=2 所以出发后 2 小时两车相遇. 2. 解答：相遇时第一辆汽车行的时间是 11845/609/4 小时 相遇时第一辆汽车行的路程是 9/44090 千米 相遇时第二辆汽车行的时间是 11830/605/2 小时相遇时第二辆汽车行的路程是 21090120 千米 第二辆汽车每小时行 1205/248 千米 3解答：(36-42)(3+4) =287 =4(小时) 3 4=12（千米） 答：甲经过 4 小时后与乙相遇，甲走了 12 千米。 4. 分析： （1） 要求几小时后两车第一次相距 69 千米，即两车行 299-69=230（千米）用的时间，要求时间，就要知道两车的速度和是多少
22、，根据题意，两车的速度和为 40+52=92（千米），列式为：23092，计算即可； （2） 要求又过几小时两车第二次相距 69 千米，这时两车是相遇后又离开 69 千米，从第一次相距 69 千米到第二次相距 69 千米，两车共行了 692=138（千米），根据两车的速度和，两车所用的时间是 13892，计算即可 解答：(1)(29969)(40+52)=23092=2.5(小时)； 答：2.5 小时后两车第一次相距 69 千米。 (2)692(40+52)=13892=1.5(小时)； 答：又过 1.5 小时两车第二次相距 69 千米。 5. 解答：两人在距甲乙两地的中点 20km 处相遇，
23、 所以小红比小明多行了 202=40（千米） 小红每小时比小明多行：50-40=10（千米） 两人行走时间为：4010=4（小时） 甲乙两地距离：（50+40）4=360（千米） 答：甲乙两地间的距离是 360 千米。 6. 分析：出发后 2 小时，两车相距 141 千米；出发后 5 小时，两车相遇，也就是说从出发后 2 小时到出发后 5 小时，两车行驶的 141 千米，先根据速度=路程时间，求出两车的速度和，再根据路程=速度时间，求出出发 2 小时行驶的路程，最后加 141 千米即可解答 解答：52=3(小时)， 14132+141=472+141=94+141=235(千米)， 答：A. B 两地相距 235 千米。
