1、大学数学公式总结大全doc导数公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1(a x )a x ln a1 x 21(arcctgx )1(log a x)1x2x ln atgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx2 2a xx2 a2dx2 2a xa2 x2ln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgx C1 arctg x Caa1 ln xaC2axa1 ln axC2aaxxCarcsinadxsec2
2、xdxtgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcsc xctgxdxcsc xCa xdxaxCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a2 )Cx 2a22sinn2cosnn1 I n 2I nxdxxdx00nx2a 2 dxxx 2a2a2ln( xx 2a2 )C22x2a2 dxxx2a2a2ln xx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinx22Ca基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 A- -cos - tg -s
3、inctg90 -cos sin ctg tg90 + cos - tgsin ctg18 0 -sin - tg -cosctg18 0 + -tg ctgsin cos270 -ctg tgcos sin270 + -sin - tgcosctg360 -cos - tg -sin ctg 360 + sin cos tg ctg sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2sinsin22和
4、差角公式：和差化积公式：倍角公式：半角公式：正弦定理：abc2R余弦定理： c2a 2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函数性质： arcsin xarccos xarctgxarcctgx22高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：x(t ), z0 )处的切线方程： x x0y y0zz0空间曲线 y(t )在点 M ( x0, y0z(t )(t0 )(t 0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )( x x0 )(t0 )
5、( y y0 )(t 0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：F ( x, y, z)0,则切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z)0G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n Fx (x0 , y0 , z0 ), F y ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、过此点的法线方程：x x0yy0zz0Fx (
6、x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：( PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divPQR 即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.xy,z通量：A ndsAn ds(P cos，Q cosRcos )ds因此，高斯公式又可写成： div AdvAn ds斯托
7、克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) 式的通解两个不相等实根(p 2q0)4两个相等实根 ( p24q0)一对共轭复根(p2q0)4二阶常系数非齐次线性微分方程概率公式部分1随机事件及其概率A A A吸收律：A A AA (AB) A A (A B) A反演律： A B AB AB A B2概率的定义及其计算若 A B
8、 P(B A) P(B) P(A)对任意两个事件 A , B, 有 P(B A) P(B) P( AB)加法公式：对任意两个事件 A,B, 有3 条件概率乘法公式全概率公式Bayes 公式4随机变量及其分布分布函数计算5离散型随机变量(1)01 分布(2)二项分布 B(n, p)若 P ( A ) = p*Possion 定理lim Cnk pnk (1pn )n kk有enk!k0,1,2,(3) Poisson 分布P( )6连续型随机变量阳光怡茗工作室(1)均匀分布 U (a,b)(2)指数分布 E( )(3) 正态分布 N (, 2)*N (0,1) 标准正态分布7.多维随机变量及其分
9、布二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G )(2)二维正态分布9.二维随机变量的 条件分布10.随机变量的数字特征数学期望阳光怡茗工作室随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩X 的 k 阶绝对原点矩X 的 k 阶中心矩X的方差X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩X ,Y 的 二阶混合原点矩X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差X ,Y 的相关系数X 的方差D(X ) = E (X - E (X)2)协方差相关系数线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统
10、的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。阳光怡茗工作室大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算ABBAA B C A B C c A B cA cB c d A cA dA c dA cd AcA 0 c 0 或 A 0 。T。cAc AT转置值不变 AT A逆值变 A1 1AA 1, 2, 3 ，3 阶矩阵有关乘法的基本运算线性性质 A1 A2 B A1B A2B
11、，结合律 ABC ABCAB k Ak B k 不一定成立！AE A，EA AA kE kA ， kE A kA与数的乘法的不同之处AB k Ak Bk 不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如无消去律（ 矩阵和矩阵相乘 ）当 AB0 时A 0或B0由 A0和 AB0B0由 A0时 ABACBC （无左消去律）特别的 设 A 可逆，则 A 有消去律 。左消去律： AB AC B C 。右消去律： BA CA B C 。如果 A 列满秩，则 A 有左消去律，即AB 0 B 0AB AC B C可逆矩阵的性质i）当 A 可逆时，T也可逆，且T1A1TA
12、A。Ak 也可逆，且 Ak 1 A 1 k 。数 c 0 ， cA 也可逆， cA 1 1 A 1 。cii ） A ， B 是两个 n 阶可逆矩阵 AB 也可逆，且 AB 1 B 1 A 1 。推论：设 A ， B 是两个 n 阶矩阵，则 AB E BA E命题：初等矩阵都可逆，且命题：准对角矩阵A1100 0A1110 0 0A0 A220 0可逆每个 Aii 都可逆，记 A10 A2210 000000000 0 Akk00 0 Akk1伴随矩阵的基本性质：阳光怡茗工作室当 A 可逆时，A A *E得 A1A*，（求逆矩阵的伴随矩阵法）AA且得： A* 1AA 1A 1 *A 1 A11
13、AAA伴随矩阵的其他性质 A *n 1A*A A 1A , AT*A*T , cA *c n 1 A * , AB*B* A*, Ak*A *k ，n2A*ab A * * A A 。n 2 时， A * * Acd关于矩阵右上肩记号： T ， k ，1， *i)任何两个的次序可交换，如 AT* A*T，A* 1 A1*等ii) AB T BTAT, AB 1 B 1A 1，但 AB k B k Ak 不一定成立！线性表示1, 2, sx1 1x2 2xs s有解1, 2, s x有解 xx1 , , xsTAx有解，即可用 A 的列向量组表示ABCr1 , r2 , , rs ， A1, 2
14、, n ，则 r1 , r2 , rs1,2 , n 。1 ,2 , ,t1 ,2 , s ，则存在矩阵 C ，使得1 ,2 ,t1 ,2 ,s C线性表示关系有传递性当1 ,2 ,t1 ,2 ,sr1 , r2 , ,r p ，则 1 ,2 , tr1 ,r 2 ,r p 。等价关系：如果1 ,2 ,s与1 ,2 , ,t互 相 可 表 示1 , 2 , s1, 2,t记作 1,2 ,s1 ,2 ,t 。线性相关 阳光怡茗工作室s 1，单个向量 ， x 0 相关 0s 2 ， 1 , 2 相关 对应分量成比例 1 , 2 相关 a1 : b1 a2 : b2 an : bn向量个数 s =
15、维数 n ，则 1 , , n 线性相（无）关 1 n 0A 1 , 2 , , n ， Ax 0 有非零解 A 0如果 s n ，则 1 , 2 , , s 一定相关Ax 0 的方程个数 n 未知数个数 s如果 1 , 2 , , s 无关，则它的每一个部分组都无关如果 1 , 2 , , s 无关，而 1 , 2 , , s , 相关，则 1, 2 , , s证明：设 c1, , cs , c 不全为 0，使得 c1 1 cs s c 0则其中 c0 ，否则 c1 , cs 不全为 0 ，c1 1cs s 0 ，与条件 1, s 无关矛盾。于是c1cs1s 。cc当 1 , , s 时，表
16、示方式唯一 1 s 无关（表示方式不唯一 1 s 相关）若 1 , , t 1 , , s ，并且 t s，则 1, , t 一定线性相关。证明：记 A 1 , , s ， B 1 , , t ，则存在 s t 矩阵 C ，使得 B AC 。Cx 0 有 s 个方程， t 个未知数， s t ，有非零解 ， C 0 。则 B AC 0 ，即 也是 Bx 0 的非零解，从而 1 , , t 线性相关。各性质的逆否形式如果 1 , 2 , , s 无关，则 s n 。如果 1 , 2 , , s 有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果 1 s 无关，而 1 , , s ，则 1 , , s 无关
17、。如果 1 t 1 s ， 1 t 无关，则 t s 。推论：若两个无关向量组 1 s 与 1 t 等价，则 s t 。极大无关组一个线性无关部分组I，若 #I等于秩1 ,2 ,4 ,6I， I就一定是极大无关组1,2,s 无关1, 2, ss1 ,2 ,s1 ,2 ,s,1 ,s另一种说法：取1, 2,s 的一个极大无关组II也是1 ,2 ,s ,的极大无关组I ,相关。证明：1 ,sII,相关。 可用1 ,s 唯一表示1 , s ,1 ,ss 1 ,t1,s1 ,s,1 , t1 , ,s 1 ,s1 ,t1, s1s ,1t1, t矩阵的秩的简单性质A 行满秩： r A mA 列满秩：
18、r A nn 阶矩阵 A 满秩： r A nA 满秩 A 的行（列）向量组线性无关A可逆Ax 0 只有零解， Ax 唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 r AT r A c0 时， r cAr A rABr Ar B r ABmin r A , r B A可逆时， r ABr B弱化条件：如果 A 列满秩，则 AB B证：下面证ABx0与 Bx0同解。是 ABx0 的解AB0B0是 Bx0 的解B 可逆时， r ABrA若 AB0，则 r Ar Bn （ A 的列数， B 的行数） A列满秩时 r ABrBB 行满秩时 r ABrA r ABnr Ar B解的性质1 Ax 0 的解的性质。阳光怡茗工作室如果 1 , 2 , , e 是一组解，则它们的任意线性组合 c1 1 c 2 2 c e e 一定也是解。2 Ax0如果 1,2 ,e 是 Ax的一组解，则c11c22ce e 也是 Ax的解c1 c2ce1c11c22ce e 是 Ax0 的解c1c2ce0特别的：当1 , 2 是 Ax的两个解时， 12 是 Ax0 的解如果
