1、中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究Word版对辅助圆的思考及探究锡滨-祝荣耀在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题-辅助圆.“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直 都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.那
2、么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等. 那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.一 线段最值线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.折叠中的线段最值1（2014 年成都中考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 AMN，连接 AC，则 AC长度的最小值是 分析AMN 沿 MN 所在直线翻折过程中，始终都保持着 MA=MA，即 A 点的运动轨迹满足于圆的基本概念
3、，则 A 点的运动轨迹是以 M 为圆心，MA 为半径的一个圆，则 AC的最小值即转化到点 C 到M 的上的最小值问题，这时就可以得到 AC 最小值是 CM半径，求出 CM 的长即可，如下图2（2015 年无锡惠山区二模）如图，在 RtABC 中，B=60，BC=3，D 为 BC 边上的三等分点，BD=2CD，E 为 AB 边上一动点，将DBE 沿 DE 折叠到D BE 的位置，连接A B，则线段 A B的最小值为 分析DBE 沿 DE 折叠过程中，与上题一样，始终满足于 DB=D B，与 1 相似，即作出辅助圆D，以 D 为圆心，DB 为半径的圆A 为圆外一点，求 AB的最小值即用 AD 半径
4、即可，如下图圆轨迹中的线段最值3（2016 年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 A（4，3）为圆心，1 为半径作圆P 点为圆上一动点，连结 OP点 B 为 OP 的中点，点 C 坐标为（2，0）， 求 BC 的取值范围 分析点 P 的运动轨迹是圆，B 为 OP 中点，随着 P 的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，B 的运动轨迹也是一个圆我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题为确定圆心，则连接 OA，取 OA 中点 Q连接 BQ，BQ= 1 AP= 1 ，则 B 的运动轨迹是以 Q2 21为圆心，2为半径的圆再求出 CB 的最大和最小值=CQ 半径即可（如
5、下图）4（2017 年无锡外国语中学一模）如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1，OB=3，以 O 为圆心，OA 长为半径作圆 O点 M 在圆 O 上运动，连接 MB，以 MB 为腰作等腰 RtMBC，使MBC=90，MBC 三点为逆时针顺序，连接 AC，则 AC 长的取值范围是 分析点 M 的运动轨迹是圆，点 C 是由 BM 旋转 90得出，则根据“瓜豆原理”初步确定点 C 的运动轨迹也是一个圆我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题为确定圆心，连接 OM，将 OM 也绕着点 B 旋转 90，确定O，连接OC 易证BOM BOC ， 得出 OM = OC =1 ， 则可得
6、出点 C 的运动轨迹是以 O为圆心，1 为半径的圆再求出 AC 的最大和最小值= AO半径即可（如下图）直角三角形中的辅助圆5. （ 2017 年江阴校级一模） 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ABC90，ABBC2，P 是ABC 所在平面内一点，且满足 PAPB，则 PC 的取值范围为 分析因为APB=90，由 90所对的弦是直径得出，构造O以 AB 中点 O 为圆心， 1 为半径作圆，则 P 是在O 上运动，确定 CP 的最小值为 OC半径即可（如下图）6. （ 2016 年无锡天一中学二模） 如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点， 满足 AE=DF 连接 CF
7、 交 BD 于点 G， 连接 BE 交 AG 于点 H 若正方形的边长为 2， 则线段 DH 长度的最小值是 分析因为 AE=DF，易得ABE DCF、AGD CGD， 则 ABE= GAD= DCF 因为 GAD+ BAH=90 ， 所以 BAH+ ABE=90 ， 所以 AHB=90 则点 H 是在以 AB 为直径的圆上运动 确定 DH 的最小值为 OD半径即可（如下图）定弦、定角中的辅助圆7（2017 年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形 ABCD，AB= 2，若点 P 满足 PD=2，且BPD=90，请求出 AP 的长分析因为BAD=BPD=90，则可认为 B、A、P、D 四点是在以
8、BD 为直径的圆上， 设 BD 的中点为 O，则如图，共圆得到BDA=APB=45，得出DPE=45，则在 RtPED 中，得出 DE=PE=，在 RtAED 中，AD= 2，得出 AE=，则可得AP= 6-如下图即可8（2017 年威海中考）如图，ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB=ACP，则线段 PB 长度的最小值 分析因为ABC 为等边三角形，满足PAB=ACP，则可确定APC=120，而APC 所对的边恒定为 AC，且长度为定值，则由圆周角的性质可以得出 P 点的运动轨迹是一个弧， 点 P 是在APC 的外接圆上运动，确定 BP 的最小值为 OB半
9、径即可（如下图）这也是我们定弦定角定理的一般模型9（2016 年无锡惠山区二模）如图，已知 A、B 是半径为 2 的O 上的两动点，以 AB 为直角边在O 内作等腰 RtABC，B90，连接 OC，则 OC 的最小值为 分析因为ABC 为等腰 Rt，则BCA=45为定值，延长 BC 交O 于点 D，则ACD=135，连接 AD 因为 B=90 ， 则 AD 为O 的直径，即 AD=4 为定值，则满足于上述例 7 的定弦定角定理模型，可分析得出点 C 是在一个圆上运动，则需要找圆心 设圆心为O，因为ACD=135，则其所对的圆心角AOD =90，则O是在O 上，半径OD=2 连接 OC ，则当O
10、、O、C 三点共线的时候，OC 的值最小，为2 2-2 （如下图）二 证明角度关系或求值角度的倍数关系1（2016 年江苏学大教师月考）如图，AB=AC=AD，如果DAC 是CAB 的 k 倍， 那么DBC 是BDC 的（ ） 倍Ak B2k C3k D不能确定分析因为 AB=AC=AD，则 B、C、D 三点可以看成是在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上则DBC 与CAD 是同弧所对的圆周角和圆心角，BDC 与CAB 是同弧所对的圆周角和圆心角DAC 是CAB 的 k 倍， 则DBC 也是BDC 的 k 倍角度求值问题2（ 2015 年无锡惠山区校级月考） 已知在正方形 ABCD 中， 两顶
11、点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动， 点 C 点 D 在第一象限， 点 E 为正方形 ABCD 的对称中心， 连结 OE， 证明 OE 平分角 AOB分析因为AOB=AEB=90，则可以说明 A、O、B、E 四点共圆，以 AB 的中点O为圆心， OA 为半径的圆这种有一组对角为 90的四边形称为损矩形，即可采用四点共圆的技巧去解决很明显，EBA 与AOE 是同弧所对的圆周角，则EBA=AOE=45， 即可说明 OE 平分角 AOB（如下图）角度最值问题3（ 2015 年南京市校级月考）如图，O 是半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径， 点 P 是 O 上任
12、意一点，过点 P 作 PMAB 于 M， PNCD 于 N， 点 Q 是 MN 的中点， 当点 P 沿着圆周从 D 运动到点 C 时， tanQCN 的最大值为 分析 因为 PMAB，PNCD， 则四边形 MONP 为矩形， 得到对角线MN=OP=2 说明 OQ 的长度恒定为 1， 确定点 Q 是在以 O 为圆心， 1 为半径的圆上， 则当 CQ 与圆相切时， 即是 QCO 最大， tanQCN 的值最大 （如下图）三 最值存在问题线段范围1 （ 2011 年河池中考） 如图， 在 RtABC 中， ABC=90， AB=3 ， BC=4 ， P 是 BC 边上的动点 设 BP=x， 若能在
13、AC 边上找到一点 Q， 使BQP=90 ， 则 x 的取值范围是 分析 因为ABC=90 ， 则由直径所对的圆周角等于 90 ， 得出以 BP 为直径的圆与线段 AC 有交点，得出题目的解题技巧则当O 与 AC 相切时，x 的值最小， 当点 P 到达 C 点时，x 的值最大 （如下图）2（2015 年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是（4，0），点 B 在第一象限，若 N 为直线y=-x-2 上一点，过 B 作直线 lx 轴，在 l上是否存在一点 M，使得OMA=2ONA，且这样的点 N 有且只有一个若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说
14、明理由分析 因为题目中满足OMA=2ONA， 在图中我们可以看出以 M 为圆心，OM 为半径的圆正好满足于此条件，则可以理解为辅助 圆若这样的点 N 有且只有一个，则说明M与直线y=-x-2 相切即可，同时也要注意图形的对称性，M 存在另外一个点，与图中的 M 点关于 x 轴对称即可（如左图） 路程长或面积问题3 （ 2015 年无锡惠山区校级月考） 如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（7，3），点 E 在边 AB 上，且 AE1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接EP，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点 P 从点 F（0，
15、程中，点 H 的运动路径长为 25）运动到原点 O 的过4分析因为APB=90，且 OE 为定长，则点 H 在以 OE 为直径的圆上运动 点 P 由 点 F 为起点， O 为终点运动， 则点 H 的运动轨迹是一段弧， 圆心角为 OOH ，则求出 OOH 的度数即可，而 OOH =2 OEF，求出 OEF 的度数即可（如下图）4（2015 年无锡外国语月考）如图，圆 O 的半径为 2，弦 AB=2，点 P 为优弧 AB 上一动点，BCBP 交直线 PA 于点 C，则ABC 的最大面积为 分析因为 BC 半径为 2，弦 AB=2，则P=30，BCBP，则C=60因为C=60， 且 AB=2，则可以得出点 C 是在ABC 的外接圆上运动，也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理要使得ABC 的面积最大，则 C 到 AB 的距离最大，如下图即可在辅助圆方面还需要学生多多的做练习，理解我们出现辅助圆的情况的一般要求，同时具体 情况具体分析，需要学生具有很强的临场发挥能力，这部分的知识点活跃在模拟考试及中考 中，还是需要学生能理解掌握，方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题
