1、习题集含详解高中数学题库高考专点专练之25函数的最值【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之25函数的最值 一、选择题（共40小题；共200分）1. 函数 在区间 上的最大值、最小值分别是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数 的最大值是 A. B. C. D. 3. 若 则函数 的最大值、最小值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设函数 的定义域为 ，有下列三个命题： （1）若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值； （2）若存在则 ，使得对任意 ，且 ，有 ，则 是函数 的最大值； （3）若存在 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值 其
2、中真命题的个数是 A. B. C. D. 5. 函数 的最大值为 A. B. C. D. 6. 函数 的最值情况是 A. 函数的最小值是 ，无最大值 B. 函数的最大值是 ，无最小值 C. 函数的最小值是 ，最大值为 D. 函数无最大值，也无最小值 7. 函数 在 上的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若 有最小值 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 9. 设 ，则 的最大值是 A. B. C. D. 10. 已知函数 的定义域是 ，记 的最大值是 ，则 的最小值是 A. B. C. D. 11. 已知条件 ：关于 的不等式 有解；条件 ： 为减函数，则 成立是 成立的
3、 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 13. 用 表示 ， 三个数中的最小值设 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 14. 设函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 15. 定义符号 的含义为：当 时，；当 时，如 ，则 的最小值是 A. B. C. D. 16. 设函数 的图象如图，则 ， 满足 A. B. C. D. 17. 已知函数 ，设 表示 ， 二者中较大的一个函数 若 ，且 ，使得 成立，则 的最小值
4、为 A. B. C. D. 18. 已知函数 的定义域为 ，若对于 ， 分别为某个三角形的三边长，则称 为“三角形函数”给出下列四个函数： ； ； ； 其中为“三角形函数”的个数是 A. B. C. D. 19. 已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 等于 A. B. C. D. 20. 已知函数 的定义域为 ， 为常数若 ：对 ，都有 ；： 是函数 的最小值，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21. 若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 A. 与 有关，且与 有关 B. 与 有关，但与 无关 C. 与 无关，且与
5、无关 D. 与 无关，但与 有关 22. 记实数 ， 中的最大数为 ，最小数为 ，则 A. B. C. D. 23. 设函数 若对任意的正实数 和实数 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 24. 已知函数 ，实数 ， 满足 ，且 若 在 上的最大值为 ，则 A. B. C. D. 25. 在等腰三角形 中， 在线段 上， （ 为常数，且 ）， 为定长，则 的面积最大值为 A. B. C. D. 26. 对函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大值叫做函数 的下确界现已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时，则 的下确界为 A. B. C. D. 27. 设函
6、数 ，若对任意 ，都存在 ，使得 ，则实数 的最小值为 A. B. C. D. 28. 已知双曲线 与 轴交于 ， 两点，点 ，则 面积的最大值为 A. B. C. D. 29. 已知幂函数 的图象过点 ， 则函数 在区间 上的最小值是 A. B. C. D. 30. 已知 在区间 上有最大值 ，那么 在 上的最小值为 A. B. C. D. 31. 在实数范围内我们补充定义新运算“ 如下：当 时，；当 时，则函数 的最大值等于（“”和“”仍为通常的乘法和减法） A. B. C. D. 32. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是 A. B. C. D. 33. 已知函数 ，则“”是“ 的
7、最小值与 的最小值相等”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 34. 已知函数 在 上是减函数，且对任意的 总有 则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 35. 已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 36. 已知函数 ，设 表示 ， 二者中较大的一个，函数 ，若 ，且 ，使得 成立，则 的最小值为 A. B. C. D. 37. 已知函数 ，给出下面三个结论： 函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 函数 没有最大值，而有最小值； 函数 在区间 上不存在零点，也不存在极值点 其中，
8、所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 38. 若圆 与曲线 没有公共点，则半径 的取值范围是 A. B. C. D. 39. 若函数 区间 上的值域为 ，则 的值是 A. B. C. D. 40. 用 表示 ， 三个数中的最小值设 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（共40小题；共200分）41. 函数 ， 的最大值是 . 42. 函数 ， 的最大值为 43. 已知函数 ，函数 的最大值和最小值分别为 44. 若一元二次方程 （ ）的两个根分别是 与 ，则 45. 已知 ， 满足 ，则 的取值范围是 46. 已知 ，则函数 的最小值为 47. 函数 的最大值是 48.
9、 函数 在 上的最大值和最小值分别是 49. 已知 ，求函数 的最大值 50. 函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 51. 已知 的最大值为 ， 的最大值为 ，则实数 52. 已知集合 ，则集合 53. 函数 的最大值是 ，最小值是 54. 已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为 55. 已知 为常数，函数 在区间 上的最大值为 ，则 56. 已知函数 ， （）若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ； （）若 ， 使得 ，则实数 的取值范围为 57. 已知函数 ，若 有最小值 ，则 的最大值为 58. 对于任意实数 ，定义 设函数 ，则函数 的最大值是 59. 若实数 ， 满足 ，则 的
10、最小值为 60. 已知 ，则 的最小值为 61. 已知函数 定义域为 ，若存在常数 ，使 对所有实数 都成立，则称函数 为“期望函数”，给出下列函数： ； ； ； ，其中函数 为“期望函数”的是 （写出所有正确选项的序号） 62. 设 ，则函数 的最小值为 ，最大值为 63. 若函数 有最小值，则实数 的取值范围是 64. 为正实数，且 ，则 的最大值为 65. 已知 ，则当 的值为 时， 取得最大值 66. 定义 ，则不等式 的解集是 67. 已知 ，若对 ，有 成立，则 的取值范围是 68. 函数 的最大值为 69. 已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 70. 已知 是偶函数，当 时，
11、且当 时， 恒成立，则 的最小值是 71. 已知函数 ，实数 ， 满足 ，且 ，若 在 上的最大值为 ，则 72. 设函数 满足 ，且在 上递增，则 在 上的最小值是 73. 定义 ，已知函数 ，其中 ，若 ，则实数 的范围为 ；若 的最小值为 ，则 74. 已知 ，若对任意的 ， 成立，则实数 的最小值为 75. 若存在正实数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 在 上是有界函数下列函数 ； ； ； ，其中“在 上是有界函数”的序号为 76. 已知函数 ，对于任意实数 ，总存在实数 ，当 时，有 恒成立，则 的取值范围为 77. 在平面直角坐标系中，把位于直线 与直线 （， 均为常数，且 ）之间
12、的点所组成的区域（含直线 ，直线 ）称为“ 型带状区域”，设 为二次函数，三点 ， 均位于“ 型带状区域”，如果点 位于“ 型带状区域”，那么，函数 的最大值为 78. 函数 在区间 上取得最小值 ，则实数 的取值范围是 79. 设二次函数 （， 为常数）若不等式 的解集为 ，则 的最大值为 80. 若函数 对任意实数 ，在闭区间 上总存在两实数 ，使得 成立，则实数 的最小值为 三、解答题（共20小题；共260分）81. 求下列函数的值域：（1）；（2）（3） 82. 设函数 （1）判断函数 的奇偶性（2）求函数 的最小值 83. 已知函数 （1）当 时，求函数 的最小值；（2）当 时，求函
13、数 的最小值； 84. （1）求 的最大值（）；（2）求函数 的最小值 85. 设定义在 上的函数 的图象的最高点为 （1）若 ，求 的取值范围；（2）若对任意的 都有 ，证明： 86. （1）求函数 的最大值；（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值 87. 已知函数 的定义域是 ，设 （1）求 的解析式及定义域；（2）求函数 的最大值和最小值 88. 已知函数 （1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值（2）在（）的条件下，若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围 89. 设函数 的最小值为 （1）求 的值；（2）已知 ，求 的最小值 90. 已知函数 ，（1）当 时，若 对任意 恒
14、成立，求实数 的取值范围；（2）当 时，求 的最大值 91. 设函数 （1）求不等式 解集；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围 92. 已知函数 的最大值为 （1）求 的值；（2）若 ，试比较 与 的大小 93. 已知函数 ，（1）若不等式 有解，求实数 的取值范围；（2）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 的值 94. 已知函数 ，（），若关于 的不等式 的整数解有且仅有一个值为 （1）求实数 的值；（2）若函数 的图象恒在函数 的图象上方，求实数 的取值范围 95. 已知函数 ，若关于 的不等式 的整数解有且仅有一个值为 （1）求实数 的值；（2）若函数 的图象恒在函数 的图
15、象上方，求实数 的取值范围. 96. 已知函数 的最小值为 （1）求 的值；（2）若 ， 是正实数，且 ，求证： 97. （1）已知 ，求函数 的最小值；（2）已知 ，求函数 的最小值 98. 已知函数 （1）求函数 的定义域；（2）求函数 的零点；（3）若函数 的最小值为 ，求 的值 99. （1）求函数 的最小值；（2）已知 ，且 ，求 的最大值及相应的 、 值 100. 已知椭圆 的离心率 ，且点 在椭圆 上（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 求 （ 为坐标原点）面积的最大值答案第一部分1. A 【解析】因为 在 上单调递减，所以 ，2.
16、 D 3. A 4. C 【解析】（1）是错误的，可举反例说明，例如函数 ，存在常数 ，使得对任意 ，有 ，但显然 不是函数 的最大值；（2）是正确的，由题意可得对任意 ，有 ，且 就是值域中可取到的一个值，所以 是函数 的最大值；（3）是正确的，因为 就是值域中可取到的一个值，所以 是函数 的最大值5. B 6. A 【解析】因为 在定义域 上是增函数，所以 ，即函数的最小值为 ，无最大值7. D 8. C 【解析】函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，于是函数 在区间 上单调递增，从而 ，即 ，于是最大值为 9. C 10. A 11. B 12. A 【解析】当 时，关于 的不等式 在
17、上恒成立，即为 ，即有 ，由 的对称轴为 ，可得 处取得最大值 ；由 的对称轴为 ，可得 处取得最小值 ，则 当 时，关于 的不等式 在 上恒成立，即为 ，即有 ，由 （当且仅当 ）取得最大值 ；由 （当且仅当 ）取得最小值 则 由 可得，13. C 【解析】 的图象如图令 ，解得 ，由图象知，当 时， 取最大值，且最大值为 14. C 【解析】函数 在 上是减函数，在 上是增函数，且当 ，即 时， 在 处取得最小值 15. B 【解析】设 ，当 ，即 或 时，由于对称轴 ，可得 在 递增，可得 ， 在 递减，可得 ；当 ，即 时，可得 在 递增，即有 ，综上可得， 的值域为 ，即有 的最小值
18、为 16. D 【解析】因为函数的图象关于 轴对称，故它是偶函数，所以 ，所以 又由图知，当 时，函数取得最大值，且最大值是一个大于 的实数，所以 ，依图得，其定义域为 ，所以 ，所以 17. A 【解析】由题意，所以 ，作函数 的图象，如图所示， 时，方程两根分别为 和 ，则 的最小值为 18. B 19. C 【解析】，设 ，所以 ，所以 为奇函数，所以 ，因为 ，所以 20. B 【解析】由 ：对 ，都有 ，推不出 是最小值，比如 ，故充分性不成立；由 ： 是函数 的最小值，推出 ：对 ，都有 ；必要性成立21. B 22. D 【解析】在同一坐标系下作出函数 ， 的图象，如图所示，实线
19、部分为函数 的图象，由图象知 23. B 【解析】设 的最大值为 ，令 ，当 时， 单调递减，所以 ，因为 ，所以 ，令 得 ， ，当 时，；当 时，当 时， ， ，有 ，综合知 ，即 ，要使 成立，则有 24. C 【解析】因为 ，且 ，所以 ，因为若 在区间 上的最大值为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 25. C 【解析】如图所示，以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系. 设 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，整理得：即 ，因为 ，所以 .故选C.26. D 【解析】由题意知， 关于 ， 对称；故函数 的周期为 ，又因为当 时，所以当 时 ；故作出函数 在 上的部分图象如下，故易得下
20、确界为 27. A 【解析】因为 在 为增函数，所以 ，因为 ，使 ，所以 的值域包含 ，当 时，显然成立；当 时，要使 的值域包含 ，则 的最大值大于等于 ，所以 解得 ，综上，所以实数 的最小值 28. B 【解析】在双曲线方程中，令 ，解得 ，所以 ， 的面积 ，当且仅当 时，面积 取得最大值 29. C 30. B 【解析】令 ，显然 为奇函数，因为 在区间 上有最大值 ，所以 在区间 上有最大值 ，所以 在区间 上有最小值 ，所以 在区间 上有最小值 31. C 【解析】由题意可得 ，作出函数图象可得函数 在 上单调递增，所以 32. C 【解析】因为 恒成立，所以 恒成立当 时，
21、恒成立，即 恒成立 此时 当 时， 恒成立，即 恒成立，即 恒成立 即 综上， 的取值范围为 33. A 【解析】，若 ，则 ，所以当 时， 取最小值，即 ，所以“”是“ 的最小值与 的最小值相等”的 充分条件；若“ 的最小值与 的最小值相等”，则 ，即 ，解得 或 ；所以“”是“ 的最小值与 的最小值相等”的 充分不必要条件34. B 【解析】函数 的对称轴为 ，且在区间 上是减函数，得 ，对任意的 ，总有 恒成立，即 ，又 ，当 时，所以 ，又 ，所以 的取值范围是 35. C 36. A 【解析】由题意，所以 ，作函数 的图象，如图所示， 时，方程两根分别为 和 ，则 的最小值为 37.
22、 D 【解析】函数 表示点 与点 连线的斜率，所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，正确当 时，而 ，所以 ，即 没有最大值，当点 与点 的连线与 相切时， 取到最小值，故正确当 时，所以 ，且 单调递减，所以 在区间 上不存在零点，也不存在极值点38. C 【解析】只需求圆心 到曲线 上的点的最短距离，取曲线上的点 ，距离 所以，若圆与曲线无公共点，则 39. D 【解析】 ，由 为奇函数，图象关于 对称，所以函数 的图象关于 对称函数 的值域为 ，所以 ， .40. C 【解析】由题可得 画出图象如图所示： 所以，当 时， 取最大值，第二部分41. 42. 【解析】函数 自变量的取值
23、是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为 43. ，【解析】设任取 ， 且 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，即 所以 在 上为增函数所以 ，44. 45. 46. 47. 【解析】根据题意，可作图如下：由图可知函数的最大值为 48. ，【解析】 在 上是增函数，所以 ，49. 50. ，【解析】任取 ，满足 ，则 ，由于 ，所以 ，且 ，所以 ，即 ，所以函数 在区间 上是减函数因此，函数 在区间 的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最小值为 ，最小值为 51. 【解析】因为 ，所以如果 的最大值为 ，那么 最大值也为 ，所以 52. 【解析】集合 ，所以 ；集合 ， ，当且仅当 时取等号，所
24、以 ，所以 53. ，【解析】由题意可知 ，因此 ，54. 【解析】设 ，则 ，代入 有 ，此方程有解，则 ，所以 的最小值为 55. 或 56. （），（）【解析】（）因为 ，当且仅当 时等号成立，所以若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 （）因为当 时，若 ， 使得 ，则 解得 57. 【解析】函数 ，且函数有最小值 ，故当 时函数有最小值，当 时函数有最大值因为当 时，所以 58. 【解析】依题意，当 时， 是增函数，当 时， 是减函数，所以 在 时，取得最大值 59. 【解析】 因为 ，所以 当 ，即 ， 或 ， 时，等号成立；故最小值为 60. 1【解析】，因为 ，所以 ，所以 （当
25、且仅当 ，即 时“=”成立）所以 的最小值为 61. 【解析】对于：假设函数 为“期望函数”，则 ，当 时， 时，化为 ，因此不存在 ，使得 成立，因此假设不正确，即函数 不是“期望函数”；对于：同可得也不是“期望函数”；对于：假设函数 为“期望函数”，则 ，当 时， 时，化为 ，所以 所以存在常数 ，使 对所有实数 都成立，所以是“期望函数”；对于，假设函数 为“期望函数”，则 ，当 时， 时，化为 ，所以存在常数 ，使 对所有实数 都成立，所以是“期望函数”62. ，【解析】提示：令 ，则 （），当 时 ；当 时 63. 【解析】提示：因为函数 有最小值，所以 解得 64. 【解析】因为
26、，所以 因为 ，所以 则 65. 【解析】当且仅当 ，即 时， 取得最大值 66. 67. 【解析】因为 ，又因为 ，使 ，若 ，则 ， 解得 即 ，若 ，则 恒成立，满足条件；若 ，则 ，解得 ，即 综上满足条件的 的取值范围是 故 的取值范围是 68. 【解析】先求出各段函数的最大值，两最大值中的较大者即为分段函数的最大值当 时，函数 为减函数，所以在 处取得最大值，为 ；当 时，易知函数 在 处取得最大值，为 69. 【解析】，而 是奇函数，所以 70. 【解析】当 时，且 恒成立，因为函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以当 时， 最大值为 ，最小值为 ， 的最小值是 71. 【解析】，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，由 且 ，可得 则 所以 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，则
