1、大学物理习题答案13大学物理学（下册）习题解答湖南大学物理与微电子科学学院 周群益第十三章 静电场中的导体和电介质 P70131 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解答过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q根据高斯定理可得E4r2 = q/0，可得P点的电场强度为当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和A球是一个等势体，其电势
2、等于球心的电势A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rC，所以A球的电势为 132 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为r的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+和-，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的自由电荷，即 d = q = l设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2通过高斯面的电位移
3、通量为，可得电位移为D = /2r，其方向垂直中心轴向外电场强度为E = D/0r = /20rr，方向也垂直中心轴向外 133 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心O的电势为多少？解答点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a外壳上就有电荷q+Q，距离球为b球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为134 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 310-8C，忽略边缘效应求（1）B、C板上的电荷为多少？（2）A板电势
4、为多少？解答(1)设A的左右两面的电荷面密度分别为1和2，所带电量分别为q1 = 1S和q2 = 2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = 1S + 2S A、B间的场强为E1 = 1/0，A、C间的场强为E2 = 2/0设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为U，则U = E1d1 = E2d2， 即 1d1 = 2d2 解联立方程和得1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = 1S = qd2/(d1+d2) = 210-8(C)；q2 = q - q1 = 110-8(C)B、C板上的电荷分别为qB = -q1 =
5、-210-8(C)；qC = -q2 = -110-8(C)(2)两板电势差为U = E1d1 = 1d1/0 = qd1d2/0S(d1+d2)，由于k = 9109 = 1/40，所以0 = 10-9/36，因此U = 144 = 452.4(V)由于B板和C板的电势为零，所以UA = U = 452.4(V)135 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？解答由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0 虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的
6、面积为S，则面电荷密度分别为1 = q1/S、2 = q2/S、 = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = 1/0、E2 = 2/0、E = /0在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2 E = 0，即 1 - 2 = 0，或者说 q1 - q2 + q = 0 解得电量分别为q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2136 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？解答由于左板接地，所以1 = 0由于两板之间的电荷相
7、互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以4 = 0由于两板带等量异号的电荷，所以2 = -3两板之间的场强为E = 3/0，而E = U/d，所以面电荷密度分别为3 = 0E = 0U/d = 8.8410-7(Cm-2)，2 = -3 = -8.8410-7(Cm-2)137 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远将内球用细导线接地试证：球面间电容可用公式表示（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径RR2）证明方法一：并联电容法在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器
8、，电容为外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当R3趋于无穷大时，C2 = 40R2并联电容为 方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为138 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为r的均匀电介质，求电容C为多少？解答球形电容器的电容为对于半球来说，由于相对面积减少了一半
9、，所以电容也减少一半：当电容器中充满介质时，电容为：由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：139 如图所示，设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为1和2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容解答假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2总电容的倒数为，总电容为 1310 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为的介质设沿轴线单位长度导线上的电荷为，圆筒的电荷为-，略去边缘效应求：（1）两极的电势差U；（2）介质中的电场强度E、电位移D；（3）
10、电容C，它是真空时电容的多少倍？解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2通过高斯面的电位移通量为，高斯面包围的自由电荷为q = l，根据介质中的高斯定理d = q，可得电位为D = /2r，方向垂直中心轴向外电场强度为E = D/ = /2r，方向也垂直中心轴向外取一条电力线为积分路径，电势差为电容为在真空时的电容为，所以倍数为C/C0 = /01311 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为r设金属球带电Q0，求：（1）介质层内、外D、E、P的分布；（2）介质层内、外表面的
11、极化电荷面密度解答（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q = Q0，根据介质中的高斯定理d = q，可得电位移为D = Q0/4r2，方向沿着径向用矢量表示为D = Q0r/4r3如果Q0 0，D的方向沿着径向向外电场强度为 E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿着径向向外由于D = 0E + P，所以P = D - 0E =方向也沿着径向向外在介质之外是真空，真空可当作介电常量r = 1的介质处理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，P = 0（2）方法一
12、：用场强关系在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为E0 = Q0r/40r3；极化电荷q1产生的场强为E = q1r/40r3；总场强为E = Q0r/40rr3由于E = E0 + E，解得极化电荷为，介质层内表面的极化电荷面密度为在介质层外表面，极化电荷为，面密度为方法一：用极化强度关系介质内表面的极化电荷的面密度为 = Pn其中，极化强度P的方向沿径向向外介质在内表面的极化强度大小为，而介质内表面的法向方向与极化强度的方向相反，所以极化电荷的面密度为介质在外表面的极化强度大小为，介质外表面的法向方向与极化强度的方向相同，所以极化电荷的面密度为1312 两个电容器电容之比C1:C2
13、 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解答两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为W1:W2 = C2:C1 = 2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为W1:W2 = C1:C2 = 1:21313 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U将一块厚度为d相对介电常量为r的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解答平行板电容器的电容为C =
14、 0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = 0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = 0rS/2d两个电容器并联，总电容为C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，静电能为W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1314 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为r的液体中求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度解答（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + r)0S/2d（2）电容器充电前的电容为C0 = 0S/d，充电后所
15、带电量为Q = C0U当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为C1 = 0S/2d；介质中的一半的电容为C2 = 0rS/2d设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则Q1 + Q2 = Q 由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2 解联立方程得，真空中一半电容器的自由电荷面密度为同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为1315 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(r =
16、5)将电容器与300V的电源相连求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解答平行板电容器的电容为C0 = 0rS/d，静电能为W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的电容为C = 0S/d（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为W = CU2/2，电能器能量变化为W = W - W0 = (C - C0)U2/2 = (1 - r)0SU2/2d = -3.1810-5(J)（2）充电后所带电量为Q = C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C，电能器能量变化为= 1.5910-4(J)13
17、16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内解答设圆柱形电容器电荷线密度为，场强为E = /20r，能量密度为w = 0E2/2，体积元为dV = 2rldr，能量元为dW = wdV在半径a到R的圆柱体储存的能量为当R = b时，能量为；当时，能量为，所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内1317 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为的电介质（忽略边缘效应）当这两个导体带有等量异号电荷(Q)时，求：（1）在半径为r(a r b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多
18、少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？解答（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 = Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = /2r = Q/2rl，场强为E = D/ = Q/2rl，能量密度为w = DE/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄壳的体积为dV = 2rldr，能量为dW = wdV = Q2dr/4lr（2）电介质中总能量为（3）由公式W = Q2/2C得电容为1318 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？解答当两个电容串联时，由公式，得加上U = 1000V的电压后，带电量为Q = CU，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿
