1、第二章导数与微分,第一节导数的概念,一、瞬时速度 曲线的切线斜率,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、导函数,六、可导与连续的关系,四、导数的物理意义,1.变速直线运动的瞬时速度,如果物体作直线运动，,在直线上选取坐标系，,该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为,s=s(t)，,则从时刻 t0 到 t0+t 的时间间隔内它的平均速度为,一、瞬时速度 曲线的切线斜率,叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度，,在匀速运动中，,这个比值是常量，,但在变速运动中，它不仅与 t0 有关，,而且与 t 也有关，,很小时，,与在 t0 时刻的速度相近似.,如果当 t 趋于 0 时，,平均
2、速度 的极限存在，,则将这个极限值,即,当 t,记作 v(t0)，,点 P 是曲线 L 上的动点，,2.曲线切线的斜率,定义1设点 P0 是曲线 L 上的一个定点，,T,P0,P,x0,x0+x,N,当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，,如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在，,则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线.,设曲线方程为 y=f(x).,在点 P0(x0,y0)处的附近取一点 P(x0+x,y0+y).,那么割线 P0 P 的斜率为,x,y,y=f(x),如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在，,即点 P0 处的切线存在，,此
3、刻 x 0，,割线斜率 tan 趋向切线 P0 T 的斜率 tan，,即,切线定义,定义2设函数 y=f(x)在点 x0 的一个邻域内有定义.,在 x0 处给 x 以增量 x(x0+x 仍在上述邻域内)，,函数 y 相应地有增量,y=f(x0+x)-f(x0)，,二、导数的定义,则称此极限值为函数y=f(x)在点 x0 处的导数.,即,此时也称函数 f(x)在点 x0 处可导.,有时为了突出自变量 x，又叫函数 f(x)对 x 的导数，记为.,如果上述极限不存在，则称 f(x)在 x0 处不可导.,例 1 求函数 f(x)=x2 在 x0=1 处的导数，即 f(1).,解 第一步求 y：,y=
4、f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12,=2x+(x)2.,第三步求极限：,所以 f(1)=2.,第二步求：,函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率,即,tan=f(x0).,y=f(x),x0,P,三、导数的几何意义,法线方程为,其中 y0=f(x0).,y-y0=f(x0)(x-x0).,由此可知曲线 y=f(x)上点 P0 处的切线方程为,例 2求曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线和法线方程.,解从例 1 知(x2)|x=1=2,即点(1,1)处的切线斜率为 2，,所以,切线方程为,y 1=2(x-1).,即,
5、y=2 x-1.,法线方程为,即,从导数的几何意义可知：,导数的绝对值|f(x0)|越小，曲线在该点附近越平缓.,导数的绝对值|f(x0)|越大，曲线在该点附近越陡；,四、导数的物理意义,对于不同的物理量有着不同的物理意义.,例如变速直线运动路程 s=s(t)的导数，就是速度，即 s(t0)=v(t0).,我们也常说路程函数 s(t)对时间的导数就是速度.,例如变速直线运动速度v=v(t)的导数，就是加速度，即 v(t0)=a(t0)，,即速度函数 v(t)对时间的导数就是加速度.,例 3求函数 y=x2 在任意点 x0(,)处的导数.,解,y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x0
6、2,=2x0 x+(x)2.,五、导函数,第二步求：,求法与例 1 一样.,第一步求 y：,第三步取极限：,即,有了上式，求具体某一点，如 x0=1 处导数，就很容易了，只要将 x0=1 代入即得,它的计算公式是：,例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，,f(x)=x2 的导函数，它的表达式就是,(x2)=2x.,一般地，函数 f(x)的导函数记作 f(x)，,叫做函数,注意：计算极限过程中 x 是不变的.,类似例 3，我们可以得 xn(n为整数)的导函数，,当 n 为任意实数 时，上式仍成立，即,(xn)=nxn-1.,(x)=x-1.,
7、例 4求 f(x)=sin x 的导函数(x(，).,解,即,(sin x)=cos x.,(cos x)=-sin x.,类似可得,例 5求 f(x)=ln x(x(0,)的导函数.,解,即,类似可得,解,例 6求 f(x)=ex(x(-,)的导函数.,即,(ex)=ex.,类似可得,(ax)=ax lna.,例 7问曲线 y=ln x 上何处的切线平行直线 y=x+1？,解 设点(x0,y0)处的切线平行直线 y=x+1，,根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知,即 x0=1，代入 y=lnx 中，得 y0=0，,所以曲线在点(1,0)处的切线平行直线 y=x+1.,存在，则称此极限
8、值为 f(x)在点 x0 处的左导数，记作 f-(x0)；,定义3,则称此极限值为 f(x)在点 x0 处的右导数，记作 f+(x0).,显然，f(x)在 x0 处可导的充要条件是 f-(x0)及 f+(x0)存在且相等.,定义4如果函数 f(x)在区间 I 上每一点可导，则称 f(x)在区间 I 上可导.,如果,同样，,如果 I 是闭区间a,b，则端点处可导是指 f+(a)、f-(b)存在.,定理如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,则 f(x)在点 x0 处连续，其逆不真.,证,其中 y=f(x0+x)-f(x0)，,所以,六、可导与连续的关系,即函数 f(x)在点 x0 处连续.,但
9、其逆不真，即函数 f(x)在点 x0 处连续，,而函数 f(x)在点 x0 处不一定可导.,例 8 讨论函数 y=|x|在点 x0=0 处的连续性与可导性.,解 y=f(0+x)-f(0),=|0+x|-|0|,=|x|，,即 f(x)=|x|在 x0=0 处连续，,存在，,在 x0=0 处左、右导数不相等，所以在 x=0 处函数 y=|x|不可导.,因为,在 x=1 处的连续性与可导性.,解先求在 x=1 时的 y.,当 x 0 时，,y=f(1+x)-f(1),=(1+x)2+(1+x)-2,=3x+(x)2，,当 x 0 时，,y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)3-2,=6x+6(x)2+2(x)3，,=6+6x+2(x)2.,从而知,因此,所以函数在 x=1 处连续，但不可导.,容易算出,又,
