1、电动力学习题解答5第五章电磁波的辐射1.假设把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两局部，写 出E和的这两局部在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋局部对应于库仑场。解：真空中的麦克斯韦方程组为PxE = 6B/dt、 (1)V E = p/() 9 (2)Vx B = /()J + !dt, (3)VB = O (4)如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场,并分别用角标L和T表示, 贝IJ：由于VB = O,所以B本身就是无散场，没有纵场分量，即= 0 , B = BT E = E + ,VxEl = 0, X7 Er = 0 ：IJ = J L J
2、 T L = Jy=O：由(1)得：Vx(Ej + Fy.) = Vx Et = dBr /dt (5)由(2)得：(：厶 +E/) = ；厶=q/勺 (6)由(3)得：V x Br = p(y(JL + Jz) + dEL + EL)/dt=(“丿丄 + “血肚厶 /dt) + (/0Jr + “辰)6 /dt) (7)由电荷守恒定律口J = -dp/dt得：V-JL = -dp/dt = -v &)6EL /dt) 又因为 VxjL = o = -Vx(foaEL/a/),所以 jL =-odEL/dt,即JL + jQE / & = O (8)(7 )式简化X Bt = JL1JT +“
3、)()加7 I & (9)所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：JVxET = -dBT / dtVxBT = “()Jt + /oeodET lot V E = %) (10)B( =0J L + ()dEL/dt = 0由VxEz = 0引入标势0, El =-V(p,代入JEL=pl细得，V2(p = -p/s0上式的解就是静I上电荷在貞空中产生的电势分布，所以对应静止电荷产生的库仑场。2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，假设 = 0, J=0,那么E和B可完全由矢势A 决泄。假设取卩=0,这时A满足哪两个方程解：在线性各向同性均匀非导电介质中，假设p = 0, J=0,那么麦氏方程表示
4、为：VxE = -dB/dt(1)VxH = cD/ot(2)VD = 0(3)VB = 0(4)其中，D = sE, H = B仃1、由于(4)式，引入矢势4使B = VxA (5)即B可完全由矢势A决定。将(5)代入(1),得：VxCE + dA/dt) = O, (6)由此引入标势0，使E+dA/dt = -v(p,即E = V(p dA/dt (7)将(7)式代入(3)得：V2(p + d/ A) = 0 (8)所以，0可由A决定，进而，E也可完全由矢势A决能。如果取0 = 0,由(8)式得： A=0 (9)将(5)、(7)代入(2),并注意到0 = 0,得：V2A 一 Ll- = 0
5、 (10)dr(9)、(10)即为0 = 0时A满足的两个方程。3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(cor)表示，其中r = t-z/c, A垂直于 Z轴方向。证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为V2A - jL/)od2A/dt2 =0 0 = 0时，证明k ak = 0.(3)把E和B用你和“；表示岀来。解：(1)证明：因为4(x,r)=工/山+“；(* k所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： ak (r) = J A(x, t)e,k x(jx在洛伦兹标准下，V2A-ju0Qd2A/dt2 t考虑到真空中J=0,故，v2A = jLiAd2A/dt2,所以(1)
6、式化为C Z)= f eikx(c2V2A)dx (2)dr J而 k2c2ak(t) = | k2cA(x,t)e,kx(ix于是 U 岁)+ k2c2ak=jeikxc2V2A +k2c2A(x,t)dx (3)因为 A(x,r) = +a；(t)eikx,所以kV2A(xJ) = -2A(xJ)所以(3)式右边积分中，被积函数为0,积分为0。所以孜满足谐振子方程气岀+ Tc2 畋(r) = 0。(2)中选取标准V A = 0. 0 = 0时0 4 = V 工t)eikx + ak(t)eikx =工ak Ve,kx + “; k k=工ik ak 严-ik “;(t)e,k x = 0k
7、因为ak(t), “;(/)是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有k ak(t) = k ；(/) = 0(3)A(x,Z) = A(r)Zx +ak(t)eikxt 所以kB = VxA = /Axa (t)eikx - ik x ak (t)e,kx 5设4和0是满足洛伦兹标准的矢势和标势。c2 dt(1)引入一矢量函数Z(x,f)(赫兹矢虽:)，假设令0 = VZ，证明A = -lo(2)假设令(p = UP、证明Z(xj)满足方程Wz 一丄空纟一疋“ p,写出在真空中的推迟解。(3)证明E和B可通过Z用以下公式表出：1 OE = Vx(VxZ)-c2z/()P , B = r VxZ
8、。 dt(1)证明：A和0是满足洛伦兹标准的矢势和标势，所以有1 c(p A + =0c2 dt(3)将0 = _VZ, A=4-代入E = -V(p-dA/dt双B = J4,得: c dtE = Vx (Vx Z) -c“()P ,B=-V VxZc2 dt6.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会 发生。证：电偶极矩的变化产生的辐射场为：严ikR=(pxn), E = 一 (pxn)xn4亦$ R 4亦()L/?磁偶极矩的变化产生的辐射场为：/严 H严E = (/nx/i), B = -(mxn)xn4兀cR 4卅R在两个质量、电荷都相同的粒子相向而
9、行发生碰撞的过程中，取两粒子的连线为 x轴，那么系统的电偶极矩p = qx +qx2 =(7(xI +x2)由于两粒子质量相同，根据牛顿第二沱律，有= -x2,所以p = o.因此系统 的电偶极矩产生的辐射场为0：又由于系统的磁偶极矩加=0.所以系统的磁偶极矩 产生的辐射场为0,即两个质量.电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，电偶极辐射 和磁偶极辐射都不会发生。7设有一球对称的电荷分布，以频率0沿径向作简谐振动.求辐射场，并对结果给以物理 解释。解：因为电荷为球对称分布，不失一般性.设球而上均匀分布了总电量为0的电荷，于是,球面电荷密度为b = Q/4ttR2取如下图相对的两块小而元dSi, d
10、S2,由于两块小面元对应相同的立体角，故有相同的面积dS = dS2,dq】=odS = odS2 = de/2因为两电荷元d, do?球对称分布，又以相同的频率Q 沿径向作简谐振动，斥以有故此两电荷元的振动不能产生辐射场。根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场的振动，辐射场为O8. 一飞轮半径为R.并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为0 设此飞轮以恒左角速度 Q旋转，求辐射场。解：设飞轮边缘的厚度为乩 于是边缘上的电荷而密度b = QI2兀Rd,体系的电偶极矩为p = f_Jd/x = 2d/J 2叔I 2欣J体系的磁偶极矩心2=聲余甘誓e由此得P=O, m
11、=0,故辐射场为0。9.利用电荷守恒泄律，验证A和0的推迟势满足洛伦兹条件。 证明：推迟势A与0可写作：A(x,r) = -f，/(X- -dV (xj) = * f P(X-Z -dV,4兀2 r 4亦“丄 r其中f=t- 对于，的函数，有貯=v-A(x,r) = -v-,/( v dV4/r r因为忆= 厂=1乞宅rc df c dfc dt所以 V-J(x,f) = (*, f画 - VJ(x*, f ) 4=牛“(门尸)斗 dW + jf0J(W)r5-WJ(Ud0=逡产件2d+斜冲WW由于JJ(x-dV = J：/(v，- -dS1 = 0,所以V-A = /lvj(x-j),_sl
12、dV q/r y. r另外丄丝=丄丄卩空戒=仏卩空d* L dt L 4亦。*. / dt 4/r r dt1所以讐嗨Hvw)s+鈴呵由电荷守恒左律，U(疋了)心喻+字=0即得A和0的推迟势满足 dt9VT +丄空=0L dt10半径为他的均匀永磁体，磁化强度为球以恒左角速度0绕通过球心而垂直于M。的轴旋转，设Rcoc.求辐射场和能流。提示：以角速度。转动，可分解为相位差为刃2的互相垂直的线振动；直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系为/ sin &cos0COS & COS 0_sin0、/ 、Jr=sin Osin0cos &sin0COS0C丿COS&-sin&0ze解：此题相当于一个位于原点
13、的磁偶极子的旋转，此磁偶极子的磁偶极矩为:其旋转振荡可分解为x, y方向上相位差为只/2的简谐振荡的合成。I =碣;MCOS6XCx my =硏:A/。sin6Jfev =兀cos6X 一 ev33 24亍 4用复数形式表达为:mx=-7rRlMex. mv = i-根据磁偶极矩辐射场公式B = -elkRmxnxn,得4亦-RB* = - 严 | 凤 MgU xerxer=-如必処小心 s x勺x j3c2 R同理可得 B、= T如雋严xej xe3lR再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系/ 、sin & cos。COS & COS 0_sin。、7* 、sJ=sin sincos & s
14、in 0COS0、COS&X一 sin。0 ,zBx =勢人% cos 0COS 0 - sill 1By = : H e0 cos & sin 0 + e cos/iekRc31B = B+B =坐竺 cos& + ieeikR 3 c同理，根据辐射场公式4 2D XA ikR 、 c ZA ？ 2 /tE = - 1 e ni xw, S =， =sin On4兀cR 32卅沖及坐标基矢变换关系，可得：E = 3 R%(% - Jcos&)egg3cRS =匕一 (1 + cos- 0)er18c3/?2 rM带电粒子作半径为Q的非相对论性圆周运动，盘旋频率为0。求远处的辐射电磁场 和辐射
15、能流解：带电粒子作匀速圆周运动，其磁偶极矩加是常矢量，因此不产生电磁辐射，但此系统 的电偶极矩是一旋转的变化p = eaer.仿上题解法，把旋转量p分解为x, y方向上 的两个简谐振荡：/yrp x = ea cos cotex = eae exp、= ea cos (ar 托 12)e、= eaelUJz 2es = eaiel(Jes由此可得：px = -icoeaeex , px =八 Tillp、= eacoe e根据公式B = 座eikR(n x p)及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系4rrR莎好si及直角坐标基矢与再根据公式E=凹竺严5xp)xn, S47tR球坐标基矢变换关系，得
16、E =鱼 f ed cos0 + iejdg , S =陛；(1 + cos2 0)er4 兀R 32丘 cR- r12.设有一电矩振幅为Pq,频率为0的电偶极子位于距理想导体平而为g/2处，Pu平行 于导体平而。设aA,求在RA处电磁场及辐射能流。解：如下图，设平而xoy是导体平而，利用镜像法，构造图中电偶极子p的镜象P；。由图可 得：P = Po严 5 P = 一心)訂电偶极子p产生的辐射磁场为B= 一 二 pxer 40c R4亦0R电偶极子的镜象P产生的辐射磁场为1 知 R+co4 . nr 叫 COS& 淋/*re - e ex_ Q，P 眛如上灼c 今OS。彳cos-bsirr 0
17、 + cos c/cosper2“o 32/r c R13.设有线偏振平而波E = Eeik xt照射到一个绝缘介质球上Eu在z方向，引起介 质球极化，极化矢量P是随时间变化的，因而产生辐射。设平而波的波长2眉k远大 于球半径R。，求介质球所产生的辐射场的能流。解：由题设条件，平面波的波长2;r/k远大于球半径R。，可以认为整个介质球每一时刻都 处于匀强电场E = E.e-中，极化矢量P在每一时刻都可以看作是均匀的。仿照静 电场情形课本68页式可得P = 土単3勻E =三 3勻耳严： + 2匂 + 2匂球内极化电荷Q, = V P =0 ,球而极化电荷a；, =n P = er P = PcosO ,根据p = S，xdS可知，介质球所产生的辐射场相当于电偶极矩所产生的辐射。B = 1严皿一匂&E。严ezxerE =cBxer =S = cB2e2。 - $0。俺 Eq s 曲 + 2sqc2R=s同sin几28 + lscR1 1
