1、人教版高中数学平面向量全部教案人教版高中数学平面向量全部教案 第五章 平面向量第一教时教材向量目的要求学生掌握向量的意义表示方法以及有关概念并能作一个向量与已知向量相等根据图形判定向量是否平行共线相等过程开场白课本P93略实例老鼠由A向西北逃窜猫在B处向东追去 问猫能否追到老鼠画图结论猫的速度再快也没用因为方向错了提出课题平面向量意义既有大小又有方向的量叫向量例力速度加速度冲量等注意1 数量与向量的区别 数量只有大小是一个代数量可以进行代数运算比较大小 向量有方向大小双重性不能比较大小 2 从19世纪末到20世纪初向量就成为一套优良通性的数学体系用以研究空间性质向量的表示方法 1 几何表示法点
2、射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素起点方向长度 记作注意起讫 2 字母表示法可表示为印刷时用黑体字 P95 例 用1cm表示5n mail海里模的概念向量的大小长度称为向量的模 记作 模是可以比较大小的两个特殊的向量 1 零向量长度模为0的向量记作的方向是任意的 注意与0的区别 2 单位向量长度模为1个单位长度的向量叫做单位向量例温度有零上零下之分温度是否向量答不是因为零上零下也只是大小之分 例与是否同一向量 答不是同一向量 例有几个单位向量单位向量的大小是否相等单位向量是否都相等 答有无数个单位向量单位向量大小相等单位向量不一定相等向量间的关系平行向量方向相同或相反的非零向量
3、叫做平行向量 记作 规定与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 记作 规定 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示与起点无关共线向量任一组平行向量都可移到同一条直线上 所以平行向量也叫共线向量 例P95略变式一与向量长度相等的向量有多少个11个变式二是否存在与向量长度相等方向相反的向量存在变式三与向量共线的向量有哪些小结作业P96 练习 习题51第二教时教材向量的加法目的要求学生掌握向量加法的意义并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量能表述向量加法的交换律和结合律并运用它进行向量计算过程复习向量的定义以及有关概念强调1 向量是既有大小又有方向的量长度相等方向相
4、同的向量相等 2 正因为如此我们研究的向量是与起点无关的自由向量即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下移到任何位置提出课题向量是否能进行运算某人从A到B再从B按原方向到C 则两次的位移和若上题改为从A到B再从B按反方向到C 则两次的位移和某车从A到B再从B改变方向到C 则两次的位移和船速为水速为 则两速度和提出课题向量的加法 三1定义求两个向量的和的运算叫做向量的加法 注意两个向量的和仍旧是向量简称和向量 2三角形法则 强调 1 向量平移自由向量使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2 可以推广到n个向量连加 3 4 不共线向量都可以采用这种法则三角形法则 3例一已知向量求作向量 作法在
5、平面内取一点 作 则4加法的交换律和平行四边形法则 上题中的结果与是否相同 验证结果相同 从而得到1 向量加法的平行四边形法则 2 向量加法的交换律 向量加法的结合律 证如图使 则 从而多个向量的加法运算可以按照任意的次序任意的组合来进行四例二P9899略五小结1 向量加法的几何法则 2 交换律和结合律 3 注意 不一定成立因为共线向量不然六作业P99100 练习 P102 习题52 13第三教时教材向量的减法目的要求学生掌握向量减法的意义与几何运算并清楚向量减法与加法的关系过程复习向量加法的法则三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律例在四边形中解提出课题向量的减法用相反向量定义向量的
6、减法 1 相反向量的定义与a长度相同方向相反的向量记作 a 2 规定零向量的相反向量仍是零向量 a a 任一向量与它的相反向量的和是零向量a a 0 如果ab互为相反向量则a b b a a b 0 3 向量减法的定义向量a加上的b相反向量叫做a与b的差 即a b a b 求两个向量差的运算叫做向量的减法用加法的逆运算定义向量的减法 向量的减法是向量加法的逆运算 若b x a则x叫做a与b的差记作a b求作差向量已知向量ab求作向量 a b b a b b a 0 a 作法在平面内取一点O 作 a b 则 a b 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意1 表示a b强调差
7、向量箭头指向被减数 2 用相反向量定义法作差向量a b a b 显然此法作图较繁但最后作图可统一abc a b a b a b例题例一P101 例三已知向量abcd求作向量a bc d 解在平面上取一点O作 a b c d 作 则 a b c d例二平行四边形中用表示向量 解由平行四边形法则得 a b a b变式一当a b满足什么条件时ab与a b垂直a b变式二当a b满足什么条件时ab a ba b互相垂直变式三ab与a b可能是相当向量吗不可能 对角线方向不同小结向量减法的定义作图法作业 P102 练习 P103 习题52 48第四教时教材向量向量的加法向量的减法综合练习教学与测试646
8、566课目的通过练习要求学生明确掌握向量的概念几何表示共线向量的概念掌握向量的加法与减法的意义与几何运算过程复习1 向量的概念定义表示法模零向量单位向量平行向量 相等向量共线向量 2 向量的加法与减法定义三角形法则平行四边形法则运算定律1处理教学与测试P135136 第64课 略处理教学与测试P137138 第65课设a表示向东走3kmb表示向北走3km 则a b表示向东北走km 解 km 试用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 证由向量加法法则 由已知 即AB与CD平行且相等 ABCD为平行四边形在正六边形中若 a b试用 向量ab将表示出来 解设正六边形中心为P 则a b a
9、a b a b 由对称性 b b a处理教学与测试P139140 第66课 略有时间可处理备用题例一化简 解 0例二在静水中划船的速度是每分钟40水流的速度是每分钟20如果船从岸边出发径直沿垂直与水流的航线到达对岸那么船行进的方向应该指向何处 解如图船航行的方向是 与河岸垂直方向成30 夹角 即指向河的上游作业上述三课中的练习部分选第五教时教材实数与向量的积目的要求学生掌握实数与向量的积的定义运算律理解向量共线的充要条件过程一复习向量的加法减法的定义运算法则二1引入新课已知非零向量 作出和 3 3 讨论1 3与方向相同且3 3 2 3与方向相反且 3 32从而提出课题实数与向量的积 实数与向量
10、的积记作定义实数与向量的积是一个向量记作 1 2 0时与方向相同 0时与方向相反 0时 3运算定律结合律 第一分配律 第二分配律 结合律证明如果 0 0 至少有一个成立则式成立如果 0 0 有 如果同号则式两端向量的方向都与同向如果异号则式两端向量的方向都与反向 从而 第一分配律证明如果 0 0 至少有一个成立则式显然成立如果 0 0 当同号时则和同向 同号 两边向量方向都与同向 即 当异号当 时 两边向量的方向都与同向当 时 两边向量的方向都与同向还可证 式成立第二分配律证明如果 中至少有一个成立或 0 1则式显然成立当 且 0 1时1 当 0且 1时在平面内任取一点O作 则 由作法知有 O
11、AB OA1B1 OABOA1B1 AOB A1OB1 因此OBB1在同一直线上 与方向也相同 当 0时 可类似证明 式成立4例一 见P104略三向量共线的充要条件向量共线定理若有向量 实数使 则由实数与向量积的定义知与为共线向量若与共线 且 则当与同向时 当与反向时 从而得向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个非零实数使 2例二P104-105 略三小结四作业 课本 P105 练习 P107-108 习题53 12第六教时教材平面向量基本定理目的要求学生掌握平面向量的基本定理能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量过程一复习1向量的加法运算平行四边形法则 2实数与向量的积
12、3向量共线定理二由平行四边形想到1是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量且分解是唯一2对于平面上两个不共线向量是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示提出课题平面向量基本定理三新授1 P105-106 是不共线向量是平面内任一向量 1 12 2得平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数12使 12注意几个问题1 必须不共线且它是这一平面内所有向量的一组基底2 这个定理也叫共面向量定理3 12是被唯一确定的数量2例一 P106例三 已知向量 求作向量 253作法1 取点O作 25 3 2 作 OACB即为所求例二 P106例4 如图 ABC
13、D的两条对角线交于点M且 用表示和 解在 ABCD中 例三已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于EO是任意一点求证 4 证E是对角线AC和BD的交点 在OAE中 同理 以上各式相加得 4例四 P107 例五 如图不共线 t t R 用表示 解 t t t t t 1 t t四小结平面向量基本定理其实质在于同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合五作业 课本 P107 练习 P108 习题53 3-7第七教时教材53实数与向量的积综合练习教学与测试P141-144 6768课目的通过练习使学生对实数与积两个向量共线的充要条件平面向量的基本定理有更深刻的理解并能用来解决一些简单的几
14、何问题过程一复习1实数与向量的积 强调模与方向两点 2三个运算定律结合律第一分配律第二分配律 3向量共线的充要条件 4平面向量的基本定理定理的本身及其实质二处理教学与测试1当 Z时验证 证当 0时左边 0 右边 00 分配律成立 当为正整数时令 n 则有n nn即为正整数时分配律成立当为负整数时令 nn为正整数有 n n n n n n n n n分配律仍成立综上所述当为整数时 恒成立 2如图在ABC中 AD为边BC的中线G为ABC的重心求向量 解一 则 而 解二过G作BC的平行线交ABAC于EF AEFABC 3在 ABCD中设对角线 试用 表示 解一 解二设 则 即 4设 是两个不共线向量
15、已知 2k 3 2 若三点A B D共线求k的值解 2 3 4A B D共线 共线 存在使 即2k 4 k 85如图已知梯形ABCD中ABCD且AB 2CDM N分别是DC AB中点设 试以 为基底表示 解 连ND 则DCND 又 61kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态如图已知两细绳与水平线分别成30 60 角问两细绳各受到多大的力解将重力在两根细绳方向上分解两细绳间夹角为90 1 kg P1OP 60 P2OP 30 cos60 1 05 kg cos30 1 087 kg 即两根细绳上承受的拉力分别为05 kg和087 kg三作业教学与测试6768课练习第八教时教材向量的坐标表示与坐
16、标运算目的要求学生理解平面向量的坐标的概念较熟练地掌握平面向量的坐标运算过程一复习1复习向量相等的概念 自由向量 2平面向量的基本定理基底 12 其实质同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合二平面向量的坐标表示1在坐标系下平面上任何一点都可用一对实数 坐标 来表示问题在坐标系下向量是否可以用坐标来表示呢取x轴y轴上两个单位向量 作基底则平面内作一向量 xy记作 x y 称作向量的坐标 如 2 2 1 0 2 1 0 1 1 5 0 0 2注意1 每一平面向量的坐标表示是唯一的2 设A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 3 两个向量相等的充要条件是两个向量坐
17、标相等 3例一 P109 略三平面向量的坐标运算1问题1 已知 x1 y1 x2 y2 求 的坐标2 已知 x y 和实数 求的坐标2解 x1y1 x2y2 x1 x2 y1y2 即 x1 x2 y1y2 同理 x1 x2 y1 y2 3结论两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差同理可得一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标用减法法则 x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 4实数与向量积的坐标运算已知 x y 实数则 xy xy x y 结论实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标四例二P110例二例三P111例三例四P145例
18、一已知三个力 3 4 2 5 x y 的合力 求的坐标解由题设 得 3 4 2 5 x y 0 0 即 51 例五已知平面上三点的坐标分别为A 2 1 B 1 3 C 3 4 求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解当平行四边形为ABCD时仿例三得D1 2 2 当平行四边形为ACDB时仿例三得D2 4 6 当平行四边形为DACB时仿上得D3 6 0 五小结1向量的坐标概念 2向量运算六作业P112 练习 13 习题54 16第九教时教材向量平行的坐标表示目的复习巩固平面向量坐标的概念掌握平行向量充要条件的坐标表示并且能用它解决向量平行共线的有关问题过程一复习1向量的坐标表示 强调基底不共线
19、教学与测试P145例三 2平面向量的坐标运算法则 练习1若M 3 -2 N -5 -1 且 求P点的坐标解设P x y 则 x-3 y2 -8 1 -4 P点坐标为 -1 - 2若A 0 1 B 1 2 C 3 4 则 2 -3-3 3已知四点A 5 1 B 3 4 C 1 3 D 5 -3 求证四边形ABCD是梯形解 -2 3 -4 6 2 且 四边形ABCD是梯形二1提出问题共线向量的充要条件是有且只有一个实数使得 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢2推导设 x1 y1 x2 y2 其中 由 x1 y1 x2 y2 消去x1y2-x2y1 0结论 的充要条件是x1y2-x2y1 0注意1
20、消去时不能两式相除y1 y2有可能为0 x2 y2中至少有一个不为02 充要条件不能写成 x1 x2有可能为03 从而向量共线的充要条件有两种形式 三应用举例例一P111例四 例二P111例五例三 若向量 -1x 与 -x 2 共线且方向相同求x解 -1x 与 -x 2 共线 -1 2- x -x 0 x 与方向相同 x 例四 已知A -1 -1 B 13 C 15 D 27 向量与平行吗直线AB与平行于直线CD吗 解 1- -1 3- -1 2 4 2-17-5 12 又22-4-1 0 又 1- -1 5- -1 26 2 4 24-26 0 与不平行 ABC不共线 AB与CD不重合 AB
21、CD四练习1已知点A 01 B 10 C 12 D 21 求证ABCD 2证明下列各组点共线1 A 12 B -34 C 235 2 P -12 Q 050 R 5-6 3已知向量 -13 x-1 且 求x 五小结向量平行的充要条件坐标表示六作业P112 练习 4 习题54 789 教学与测试P146 45678及思考题第十教时教材线段的定比分点目的要求学生理解点P分有向线段所成的比的含义和有向线段的定比分点公式并能应用解题过程一复习1向量的加减实数与向量积的运算法则 2向量的坐标运算 二提出问题线段的定比分点线段的定比分点及 P1 P2是直线l上的两点P是l上不同于P1 P2的任一点存在实数
22、使 叫做点P分所成的比有三种情况 0 内分 外分 0 -1 外分 0 -1 0 2定比分点公式的获得 设 点P1 P P2坐标为 x1y1 xy x2y2 由向量的坐标运算 x-x1y-y1 x2-x1 y2-y1 x-x1y-y1 x2-x1 y2-y1 定比分点坐标公式3中点公式若P是中点时 1 4注意几个问题1 是关键 0内分 0外分 -1 若P与P1重合 0 P与P2重合 不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要如P分的定比 则P分的定比 24 公式如 x1 x2 x 知三求一三例题例一 P114例一 知三求一 例二 P114例二 重心公式例三 若P分有向线段的比为则
23、A分所成比为作示意图例四 过点P1 2 3 P2 6 -1 的直线上有一点使 P1P PP2 3 求P点坐标 解当P内分时 3 当P外分时 -3当 3得P 50 当 -3得P 8-3 例五 ABC顶点A 1 1 B -2 10 C 3 7 BAC平分线交BC边于D 求D点坐标解AD平分角 BACAC AB D分向量所成比 设D点坐标 x y 则 D点坐标为 1 四小结定比分点公式中点公式五作业P115-116 练习 习题55第十一教时教材平面向量的数量积及运算律目的掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用过程复习前面已经学过向量加法减法实数与向量的乘法
24、它们有一个共同的特点即运算的结果还是向量 但这种运算与实数的运算有了很大的区别导入新课力做的功W F scos 是F与s的夹角定义平面向量数量积内积的定义a b abcos 并规定0与任何向量的数量积为0 向量夹角的概念范围0 180 注意的几个问题两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1 两个向量的数量积是一个实数不是向量符号由cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积写成a b今后要学到两个向量的外积ab而ab是两个数量的积书写时要严格区分 3 在实数中若a 0且a b 0则b 0但是在数量积中若a 0且a b 0不能推出b 0因为其中cos 有可能为0这就得性质2 4 已知实
25、数abc b 0 则ab bc a c但是a b b c a c 如右图a b abcos bOA b c bccos bOA ab bc 但a c 5 在实数中有 a b c a b c 但是 a b c a b c 显然这是因为左端是与c共线的向量而右端是与a共线的向量而一般a与c不共线例题P116117 例一 略投影的概念及两个向量的数量积的性质1投影的概念作图 定义bcos 叫做向量b在a方向上的投影 注意1 投影也是一个数量不是向量 2 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为0 当 0 时投影为 b 当 180 时投影为 b2向量的数量积的几何意义 数量积
26、a b等于a的长度与b在a方向上投影bcos 的乘积3两个向量的数量积的性质 设ab为两个非零向量e是与b同向的单位向量 1 e a a e acos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时a b ab当a与b反向时a b ab 特别的a a a2或 4 cos 5 a b ab例题教学与测试P151 第72课 例一略小结向量数量积的概念几何意义性质投影作业 P119 练习 习题56 16第十二教时教材平面向量的数量积的运算律目的要求学生掌握平面向量数量积的运算律明确向量垂直的充要条件过程复习1平面向量数量积内积的定义及其几何意义性质2判断下列各题正确与否 1 若a 0则对任一向量b有a
27、b 0 2 若a 0则对任一非零向量b有a b 0 3 若a 0a b 0则b 0 4 若a b 0则a b至少有一个为零 5 若a 0a b a c则b c 6 若a b a c则b c当且仅当a 0时成立 7 对任意向量abc有 a b c a b c 8 对任意向量a有a2 a2 平面向量的运算律交换律a b b a证设ab夹角为 则a b abcos b a bacos a b b a a b a b a b 证若 0 a b abcos a b abcos a b abcos 若 0 a b abcos ab cos abcos a b abcos a b abcos ab cos abcos a b c a c b c 在平面内取一点O作 a b c a b 即在c方向上的投影 等于ab在c方向上的投影和 即a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c例题P118119 例二例三例四 从略应用例题教学与测试第27课P156 例二例三已知ab都是非零向量且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直求a与b的夹角 解
