1、高中数学矩阵及逆矩阵试题及解析高中数学 矩阵及逆矩阵 试题选择题（共 13 小题）1关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式 D 为（ ）2A定义BCD a1a4 a2a3，若 f（ x），则 f（ x）的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为（Ay2sin（xB y2sin（x+Cy2cosxD y 2sinx3给出一个算法x1y2x2y1，如果，那么实数a 的值等于（A0B1C2D34设行列式n，则行列式等于（）Am+nB（ m+n）C nmDm n67895函数，nN * ，则 n 的最小值为（B6CD12的最小正周期是（A2BCD有矩阵 A3 2，AAC定义运算A已知矩阵 AB23，
2、C33，下列运算可行的是（BBACC ABC ad bc，则函数DABAC图象的一条对称轴方程是（，若CDAC BC，则矩阵 B（ ），其中 a，c 为任意实数10已知矩阵 A 的逆矩阵 A，则矩阵 A 的特征值为A 111矩阵ABC 1， 4的逆矩阵是B的逆矩阵为（CBD）D1，3D13设 A为 n阶可逆矩阵， A*是 A的伴随矩阵，则 |A*|（A|A|填空题（共 22 小题）14 0，则 x15R，16171819若行列式20C|A|*n1D |A|n 1则方程0 的解为增广矩阵x，y）已知矩阵ABN二阶行列式21若复数 z 满足（i 是虚数单位） ，则 | | 22已知矩阵 A，B，满
3、足 AXB 的二阶矩阵 X23二阶矩阵 M 对应的变换将点（ 1， 1）与（ 2，1）分别变换成点（ 1， 1） 与（0， 2）1）求矩阵 M ；2）设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：xy 4，求 l 的方程24设矩阵 A，若 BA ，B，则 x2526已知矩阵 A27矩阵 A28已知矩阵 A29矩阵的逆矩阵是30已知 A31已知矩阵A32已知矩阵33已知矩阵M34设矩阵35已知矩阵 A，且 AB，向量 的逆矩阵为，则 B 求向量 ，使得 A2 ，则矩阵 A 的逆矩阵为，B，B，则（ AB）1，则矩阵 A1B，N的逆矩阵为，则 a+b，且（ MN ）1，a+b+c+d，则 A 的逆
4、矩阵是，则 ad+bc解答题（共 12 小题）36已知矩阵M的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 137已知矩阵A1，矩阵 B 的逆矩阵 B 1，求矩阵 AB 的逆矩阵38设点（ x，y）在矩阵 M 对应变换作用下得到点（3x， 3y）1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵 M 12）若曲线 C 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线C： y2 4x，求曲线 C 的方程，41已知矩阵 A39已知矩阵，其中 a， bR ，若点 P（ 1，1）在矩阵 A 的变换下得到的点P1（1， 4）1）求实数a， b 的值；2）求矩阵A 的逆矩阵40已知 mR ，的一个特征值为 2矩阵 A1）求实数m；2）求矩阵
5、A 的逆矩阵 A1 1）求 a，b 的值；42已知矩阵 A， B2）求 A 的逆矩阵 A 11，求 A1B对应变换作用下得到点 N （ 3，43已知 x， yR，若点 M （1，1）在矩阵 A5），求矩阵 A 的逆矩阵 A144已知矩阵 M 1）求逆矩阵 M 1；2）求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量45已知矩阵 A的逆矩阵为 A1，求 A1 的特征值46已知矩阵 A，二阶矩阵 B 满足 AB1）求矩阵B；47设矩阵 M ，N，若 MNB 的特征值2）求矩阵1，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1参考答案与试题解析选择题（共 13 小题）1关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式 D
6、 为（ ）ABCD分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解解答】解：关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式：D故选： C点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用2定义平移 个单位得到的函数解析式为（ a1a4 a2a3，若 f（ x），则 f（ x）的图象向右Ay2sin（xCy2cosx）B y2sinD y 2sinx分析】利用行列式定义将函数 f（ x）化成y 2sin（x+），f（x）的图象向右平个单位得到的函数解析式为 y2sinx，即可得出结论解答】 解：f（x） sin（ x） cos（ + x）
7、 sinx+ cosx 2sin（ f（ x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为 y2sinx，故选： D【点评】本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利 用行列式定义将函数 f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的 性质x1y2x2y1，如果，那么实数 a 的值等于(A0B1C2D3分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果解答】解：根据题意得： 3a2 4，得 a 2故选： C点评】此题考查了二阶行列式，弄清题中的新定义是解本题的关键4设行列式 n，则行列式等于(A m+nB( m+n)CnmD m n分析】利用二阶行列式展开
8、法则进行求解解答】解：n， m a11a22 a21a12，na13a21a23a11，a11（a22+a23） a21（a12+a13） a11a22 a21a12( a21a13a23a11)mn故选： D 【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题，解题时要注意二阶行列式展开法 则的合理运用A3分析】sin，nN*，则 n 的最小值为(B6由题意，0，即可求出n 的最小值C9D12，可得 cos1，3给出一个算法n 的最小值为12故选： D点评】本题考查二阶矩阵，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础6函数 的最小正周期是（ ）A 2 B C D 【分析】先利用二阶行列式的定
9、义，化简函数，再求函数的最小正周期【解答】解：由题意， sin2x+2 ，从而最小正周期 ，故选： B点评】本题主要考查二阶行列式的定义，考查三角函数最小正周期，属于基础题7有矩阵 A32，B23， C33，下列运算可行的是（ ）AACBBACC ABCD ABAC分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论解答】解：由题意， ABD33，ABC 是 DC E33，故选： C点评】本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础8定义运算A ad bc，则函数B图象的一条对称轴方程是（CD分析】根据题中的定义可把函数的解析式化简，再利用二倍角的三角函数化简后，根据余弦函数的对称轴求出 x 的值，即可得到正确答案解
10、答】解：由题中的定义可知，函数2cos2x 1 cos2x，函数的对称轴为 2x k，解得 xkZ)所以函数的一条对称轴为 x故选： A点评】此题考查学生会进行二阶矩阵的运算，掌握余弦函数图象的对称轴，是道综合题9已知矩阵 A，若 AC BC，则矩阵 B（ ）CD，其中a，c 为任意实数分析】假设二阶矩阵，利用矩阵的乘法，结合AC BC，可求解答】解：设矩阵 B，则 AC ACBC，b1，d0 B故选： D 点评】本题以二阶矩阵为载体，考查矩阵的乘法与矩阵的相等，关键是利用矩阵的乘法公式10已知矩阵 A 的逆矩阵 AA 1B分析】利用1AA 1 E，征多项式，令，则矩阵C建立方程组，即可求矩阵
11、f（） 0解方程可得特征值解答】解：设 A即有解得A 的特征值为（1，4D1，3A；先根据特征值的定义列出特，则由 AA1 E 得 ?，即A则矩阵 A 的特征多项式为 f（） （2）（1） 62 3 4，令 f（ ） 0，则 1或 4故矩阵 A 的特征值为 1， 4故选： C点评】本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题11矩阵 的逆矩阵是（ ）分析】本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵解答】解：设矩阵故选： A的逆矩阵为（的逆矩阵为点评】本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题分析】根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出 adbc 的
12、值，再代入逆矩阵的公式，求出结果解：矩阵 A故选： A 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩 阵的公式，代入数据时，不要出错13设 A为 n阶可逆矩阵， A*是 A的伴随矩阵，则 |A*|（ ）* n 1A |A| B C|A|* D|A|n1【分析】由 A 为 n 阶可逆矩阵，由伴随矩阵的定义， AA* |A|E，A*也可逆， |AA*| |A|E| |A|n，即可求得 |A*| |A|n1【解答】解：A 为 n 阶可逆矩阵，|A|0AA* |A|E，A* 也可逆， 又|AA*|A|E|A|n， |A|A*|A|n， |A*| |A|n1， 故选： D 【
13、点评】本题考查逆变换与逆矩阵及伴随矩阵的性质，考查矩阵性质的证明，属于 基础题填空题（共 22 小题）14若 0，则 x 1 【分析】根据行列式的展开，则 4x22x0，即可求得 x 的值xx 【解答】解： 4x2 2x0，设 2xt， t0，则 t22t0，解得： t2，或 t0（舍去）则 2xt 2，则 x1，故答案为： 1点评】本题考查行列式的展开，考查计算能力，属于基础题15若 R，则方程 0 的解为分析】由已知条件得 sin2 ，由此能求出结果解答】解： R ，方程 2sin2 10， sin2 ，2 2k 或 22k+ ，kZ， 或 ，kZ故答案为：或，kZ点评】本题考查方程的解法
14、，是基础题，解题时要注意二阶矩阵、三角函数知识点的合理运用16增广矩阵（ ）的二元一次方程组的解（ x， y） （2，1） 【分析】利用增广矩阵得到相应的行列式的值，再根据公式法求出方程组的解，也可以恢复成两个二元一次方程组成的方程组的形式，消元解方程组得到本题结论解答】解：二元一次方程组的增广矩阵D1（ 1） 22 5，Dx4（ 1） 23 10，Dy1324 5，1，故答案为：（x，y）（ 2， 1）点评】本题考查了用行列式法解二元一次方程组，本题难度不大，属于基础题分析】利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案解答】解：已知矩阵，矩阵 BA故答案为： 点评】本题主要考查了矩阵的乘
15、法的意义，是一道考查基本运算的基础题分析】根据根据矩阵乘法法进行二阶矩阵乘法运算即可【解答】解： N ，则N2故答案为： 【点评】本题主要考查了二阶矩阵的求解，同时考查计算能力，属于基础题分析】利用 ，由行列式 x 1故答案为： 1【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答20二阶行列式 的运算结果为 2 【分析】按照运算法则 ad bc，将二阶行列式转化为实数的乘法与减法运算【解答】解：根据题意，得36451820 2故答案为： 2点评】解答本题的关键就是弄清楚题中给出的运算法则，将二阶矩阵计算问题转化为一般运算21若复数 z满足 （i 是虚数单位），则 | | 【
16、分析】先利用行列式进行化简运算，然后解方程，求出复数 z，最后求其共轭复数的模即可 zi+2z 3i，解答】解：即 z（ 2+i） 3i ，所以 z1i， | | |1+i| ；故答案为： 【点评】用好行列式的运算法则，方程变形后，复数化简，计算准确，本题是基础22已知矩阵 A，B【分析】由 X A 1B题，能求出二阶矩阵 X1解答】解： A，满足 AXB 的二阶矩阵 XAXB， X A1故答案为：点评】本题考查二阶矩阵 X 的求法，是基础题，解题时要注意矩阵方程的性质的合理运用23二阶矩阵 M 对应的变换将点（ 1， 1）与（ 2，1）分别变换成点（ 1， 1） 与（0， 2）（1）求矩阵
17、M ；（ 2）设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：xy 4，求 l 的方程 【分析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；M 的作用下的点的坐标，2）在所求的直线上任设一点写成列向量， 求出该点在矩阵代入已知曲线即可解答】解：（ 1）设 M所以则有，所以 M 解得，所以因为2）任取直线 l 上一点 P（ x， y）经矩阵 M 变换后为点 P（ x， y）又 m：x y 4，所以直线 l 的方程（ x+2y）（ 3x+4y） 4，即 x+y+2 0点评】本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题24设矩阵 A2分析】
18、由题意，根据矩阵运算求解422x4；解得， x 2；故答案为： 225若 A ，且 AB ，则 B，则 点评】本题考查了矩阵的运算，属于基础题分析】求出 A 的逆矩阵，利用矩阵与向量乘法，即可得出结论解答】解： A，且 AB B故答案为：点评】本题考查矩阵与向量乘法，考查学生的技术能力，比较基础26已知矩阵 A，向量 求向量 ，使得 A2 分析】先计算 A2，再利用 A2 ，求向量 ，解答】解： A，【点评】本题考查二阶矩阵与平面向量的乘法，考查学生的计算能力，比较基础 27矩阵 A 的逆矩阵为【分析】利用 A|I）（ A1|I），能求出矩阵 A 的逆矩阵【解答】解：矩阵 A ，（A|I ）矩
19、阵 A的逆矩阵 A1故答案为：点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题28已知矩阵 A，则矩阵 A 的逆矩阵为分析】利用 A|I ）A1|I ），能求出矩阵A 的逆矩阵解答】解：矩阵A点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题29矩阵的逆矩阵是分析】先设矩阵的逆矩阵是：，再根据 MM 1 E，求得M 的逆矩的逆矩阵是：阵即可则：解答】解：设矩阵，的逆矩阵是： c1， d 0，a0，b 1，矩阵故答案为：点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的
20、求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法301AB)1故答案为：点评】本题考查矩阵乘积的逆矩阵的求法，考查矩阵的乘积、逆矩阵等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题31已知矩阵 A，B，则矩阵 A1B分析】先求矩阵M 的行列式，进而可求其逆矩阵，再计算矩阵 A 1B解答】解：矩阵的行列式为 2，矩阵 A 的逆矩阵 A1A1B故答案为：点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础32已知矩阵 1 ，则 a+b 0 【分析】求出 a 4，可得矩阵 M 的逆矩阵，即可
21、得出结论【解答】解：由题意， a4，矩阵1 a 3 ， b 3， a+b 0故答案为： 0点评】本题主要考查矩阵 M 的逆矩阵，考查学生的计算能力，比较基础33已知矩阵 M ，N1，且（ MN ）1，则 ad+bc分析】根据矩阵 M 和 N，计算出 MN，再根据（ MN ）1 ，列出关于 a，b，解答】解：Nc， d的方程组，分别解出 a， b，c， d，即可求得 ad+bc 的值MN)MMNad+bc +(）（）故答案为： 【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的变换以及逆矩阵，考查了计算能力，难度34设矩阵的逆矩阵为， a+b+c+d 0不大属于基础题分析】利用矩阵与逆矩阵的积为单位矩阵，建立
22、方程组，求出a， b， c， d 的值，解答】解：矩阵矩阵的逆矩阵为即可求得结论， a+b+c+d0故答案为： 0点评】本题考查矩阵与逆矩阵，考查学生的计算能力，属于基础题35已知矩阵分析】A1，能求出 A的逆矩阵解答】解：矩阵 A|A|A*A 的逆矩阵 A1故答案为：点评】本题考查逆矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式、伴随矩阵、逆矩阵的性质的合理运用三解答题（共 12 小题）36已知矩阵 M 的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1【分析】写出矩阵 M的特征多项式 f（），根据题意知 f（4） 0求出 t的值，写出矩阵 M ，再求它的逆矩阵【解答】解：矩阵 M 的特征多项式为 f（） （ 2）（ 1） 3t；因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以方程 f（）0 有一根为 4；即 f（ 4） 2 3 3t0，解得 t2；所以 M 设 M 1则 MM 1，解得，解得所以 M点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题37已知矩阵 A，求矩阵 AB 的逆矩阵，矩阵 B 的逆矩阵分析】设 B，由 BB1E，结合矩阵的乘法，解方程可得 a，b， c，d，求得 AB，设矩阵 AB 的逆矩阵为，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得 x，y，z，w 的方程，解方程即可得到所求矩
