1、第五章最小二乘法与曲线拟合小结一、本章知识梳理1、 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,m)误差(i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,m)绝对值的最大值，即误差向量的范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差 (i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小，
2、即从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。2、 多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2)即 (3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组
3、（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 3、曲线拟合：曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。 定义：若曲线使得：
4、成立，则称曲线为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。注意：不能要求曲线y（x）通过数据的所有点。二、本章思考题函数逼近与曲线拟合有什么异同？答：相同点：函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的，都是用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数，以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。不同点：曲线拟合是已知一组离散数据，选择一个较简单的函数，是在一定准则（如最小二乘准则）下，最接近这组数据。而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数，要选一个较简单的函数，在一定准则下接近原函数。三、本章测验题在区间-1，1上给定函数，求其在中关于权函数的最佳平方逼近多项式。 解：设 取Legerdre多项式 作为基函数所以 四、本章学习体会本章主要介绍了最小二乘法，最小二乘多项式，非线性曲线拟合知识；本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法，针对一组实验数据采用最小二乘原则，以计算的最小二乘偏差为最小目标，给出最终的近似拟合多项式，最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法；函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值，能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。通过本章的知识学习与掌握，对以后的工作学习有着巨大的帮助。
