1、实变函数课程报告实变函数课程报告姓名学号指导教师实变函数【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以n维欧式空间为基地，重点内容是Lebesgue测度和积分的理论，而Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础，本文主要论述了Lebesgue外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。【关键词】Lebesgue外测度，测度，可测集，可测函数1.引言在19世纪时，数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不
2、足以解决数学分析中的许多问题，为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度，法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文长度、面积和积分中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918年，意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用）。Riemann积分忽视了函数
3、的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外，Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设在上有界，满足，任给，作分割=L其中，并作点集则对应于上面分割的积分和为,其中为点集的长度，这种积分的优点在于可以取很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数可测函数类。积分和计算的关键是点集的度量，对于通常的区间的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理
4、论。Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。2.Lebesgue 外测度2.1 Lebesgue 外测度定义 Def 1：设。若是中的可数个开矩体，具有，则称为的一个覆盖，我们称为点集的Lebesgue外测度。2.2 Rn中点集的外测度性质（1） 非负性：（2） 单调性：若，则（3） 次可加性：证明： ，的L覆盖，使得 ， ， 显然，是的L覆盖，从而有。由的任意性可知结论成立。（4） 距离可加性：设，是中的点集，
5、若它们的距离证明： 显然成立 只要证明即可。设，对，作的L覆盖，使得，其中的边长都小于，现将分为如下两组：（） （） 且其中任一矩体皆不同时含有与中的点 由任意性可知综上知 （5） 平移不变性：设，令，则证明： E的任一L覆盖经过的平移后，仍是的L覆盖 ，即 同理若对作向量平移，则有 ，即 综上知 3. 可测集与测度3.1 可测集与测度定义Def 2：设，若对任意的点集，有，则称E为Lebesgue可测集，简称可测集，其中T称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为。对于可测集E，其外测度称为测度记为，也就是通常所说的上的Lebesgue测度。证明：对，的L覆盖，使得 由任意性知：（注意：一
6、般为了证明中任一点集E是可测集，则只需对任意一点集，证明成立即可，有时也可利用，则）3.2 可测集的性质（1）；（2）若，则；（3）若，则。（4）若，则其并集也属于；若进一步有，则，即在上满足可数可加性（或称为-可加性）。4.可测函数4.1 可测函数定义Def 3：设是定义在可测集上的广义实值函数，若对于任意的实数t，点集是可测集，则称是E上的可测函数，或称在E上可测。4.2 可测函数运算性质（1） 若，是E上的实值可测函数，则下列函数; ; 都是E上可测函数证：对于若，则由，可知。在E上可测。若，则由，由在E上可测知可测，即在E上可测。若，则，即在E上可测。对于，其中是全体有理数，从而可知是
7、E上的可测函数。首先，在E上可测，对于，其中由上知在E上可测。即在E上可测。（2） 若是E上的可测函数列，则下列函数; ; ; 都是E上可测函数（3） 若是E上的可测函数列，且有，则是E上的可测函数。5. Lebesgue积分5.1 Lebesgue积分的定义Def 4：设是上的非负可测函数，我们定义是E上的勒贝格积分这里的积分可以是，若，则称在E上Lebesgue可积的。设是上的可测函数，若积分，至少有一个是有极限值，则称为E上可积函数的全体记作。5.2 Lebesgue积分与Riemann积分的关系Th1：设是定义在有界闭区间a,b上的有界函数，则在a,b上是Riemann可积的充要条件是
8、在a,b上的不连续点集是零测集。Th2：若在有界闭区间a,b上是Riemann可积的，则在a,b上也是Lebesgue可积的，其积分值相同。6.小结Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，是Lebesgue积分的基石，它成功的解决了Riemann积分只适用于连续函数的的最大缺限，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了Lebesgue外测度的定义；接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；然后给出了测度的定义与性质；最后延伸介绍了可测数函数与Lebesgue积分。7.参考文献1 胡适耕.实变函数(第二版）M.北京:高等教育出版社，2014.2 周民强.实变函数论（第二版）M.北京:北京大学出版社，2008. 3 周民强.实变函数解题指南 M.北京:北京大学出版社，2007. 第 6 页 共 6 页
