1、安徽建筑工业学院毕业设计(论文)专业 测绘工程班级学生姓名学号课题 高斯投影与坐标转换指导教师2011 年5月7日毕业论文摘要高斯投影是横轴切圆柱投影的一种，属于正形投影，是将一个椭圆柱面套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭球圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。本篇论文对高斯投影的基本概念、正算和反算的算法实现流程进行了论述。坐标转换是将点在某一坐标系中的坐标转换为在另一坐标系中的坐标。包括二维坐标系间的坐标变换和三维坐标系间的坐标变换。本论文中二维坐标转换采用的是相似变换方法，三维坐标转换
2、采用七参数法实现北京54和WGS-84之间的转换。同时就相关的具体应用进行了简要的介绍。关键词： 高斯投影 坐标转换 北京54WGS-84参数ABSTRACTGaussian projection is one of the horizontal axis cylindrical projection and belongs to founder form projection. Putting anelliptic cylinder outside thespheriod of the earth and tangent to an meridian.Later using a certai
3、n projection method shadows the regions which are located on certain scope of longitude diffirence of central meridian sides on ellipsode cylindrical surface.Then spread this cylindrical surface and a projective plane isCreated.Coordinateconversionis transfer the coordinate of a point from one coord
4、inate system to another coordinate system and it includes coordinate conversion between two-dimensional coordinate system andthree-dimensional coordinate system.Thisarticle uses similarity transformation method to realize coordinate conversion betweentwo-dimensional coordinate system and seven param
5、eters to realize the transformation betweencoordinae system of Beijing54andWGS-84.At the same time ,some relative application are also briefly introduced.Key words: Gaussian projection ,coordinate conversion, Beijing 54 -WGS 84 parameters目录第 1 章 绪论11.1 课题背景11.2 主要内容2第 2 章 高斯投影的原理42.1 高斯投影的概念32.2 高斯投
6、影正反算4第 3 章 高斯投影的算例10第 4 章 坐标转换原理124.1 二维坐标转换原理124.2 三维坐标转换原理154.3 转换参数计算18第 5 章 坐标转换程序实现215.1 二维坐标转换程序实现流程215.2 WGS-84 与北京 54 坐标转换21第 6 章 结论29致谢30参考文献311 绪 论1.1 课题背景高斯投影与坐标转换都是为了使得点的坐标有利于计算、使用而提出的。高斯投影解决的是椭球面上的元素与平面转化的问题；坐标转换解决的是不同坐标系的转换问题。两者的实现重点都在于参数的求解。椭球面是处理控制测量计算问题的基准面，通过将地面观测元素归算到椭球面，可以解决地面同椭球
7、面这对矛盾，这样大地控制网就可能在椭球面上进行计算了。然而实践中，在椭球面上进行计算并不简单，甚至还可以说是相当复杂和繁琐的；另外，在椭球面上表示点、线位置的经度、纬度、大地线长度及大地方位角等这些大地坐标元素，对于国民经济建设中的经常性的大比例尺测图控制网和工程建设控制网的建立和应用也很不适应。因此为了便于计算和生产实践，我们需要将椭球面上的元素化算到平面上，并在平面直角坐标系中采用大家熟知的简单公式计算平面坐标。这样，椭球面和平面之间又构成了一对矛盾，本论文提出了解决这一矛盾的方法高斯投影。地面点空间位置的描述需要选择一定的参考系和坐标系，点在不同坐标系中的坐标是不同的。有时为了便于数据处
8、理，需要将不同坐标系之间进行转换。目前国内常见的转换有以下几种：1，大地坐标（BLH）对平面直角坐标（XYZ）；2，北京 54 全国 80 及WGS84 坐标系的相互转换；3，任意两空间坐标系的转换。其中第 2 类可归入第三类中。常用的方法有三参数法、四参数法和七参数法。其中三参数法只是七参数法的一个特例。所谓坐标转换的过程就是转换参数的求解过程。因此本文介绍了二维坐标转换，三维坐 标转换介绍的是北京 54 和 WGS-84 坐标系之间的转换。1.2 主要内容论文主要包括以下内容:第一， 高斯投影。主要包括：高斯投影的相关概念；正算和反算的公式推导； 第二， 高斯投影的应用实例。第三， 坐标转
9、换原理。主要包括：二维坐标转换的原理；三维坐标转换的原理，重点介绍的是七参数法。第四， 坐标转换的具体实现。论文阐述的是应用相似变换实现二维坐标转换，应用七参数七参数法对北京 54 和西安 80 坐标系这两个三维坐标系进行转换。程序实现流程；三维坐标转换的数据及参数评价。第五， 其他内容。主要是结论、致谢、参考文献、外文文献的翻译。第 2 章 高斯投影的原理2.1 高斯投影的基本概念2.1.1 高斯投影的性质高斯投影又称“高斯克吕格投影”，又名等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于 1912
10、 年对投影公式加以补充，故名。该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。如图示，设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面图 2-1 高斯克吕格投影高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用
11、），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。2.1.2 高斯投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差 6 度或 3 度分为六度带或三度带。如图示，六度带自 0 度子午线起每隔 经差 6 度自西向东分带，带号依次编为第 1、260 带。三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5 度子午线起每隔经差 3
12、 度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2120 带。我国的经度范围西起73东至 135，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为 75、81、87、117、123、129、135，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如 1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如 1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。图 2-2 高斯投影分带2.2 高斯投影正反算2.2.1 地图数学投影所谓地图数学投影，简略地说就是将椭球面上元素(包括坐标、方位角和距离)按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。这里所说的一定的数学法则可以用下面两个方程式概括：x=F1(L
13、,B)y=F2(L,B)其中, L，B 为椭球面上某点的大地坐标；x，y为某点投影后的平面直角坐标。上式表达了椭球面上一点同投影面上相对应点坐标之间的解析关系，它称为坐标投影方程，F 1和F 2 称为投影函数。很显然，投影面必是可以展开为平面的曲面。2.2.2 高斯投影坐标高斯投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线投影为纵轴(x), 赤道投影为横轴(y),两轴交点即为各带的坐标原点。纵坐标以赤道为零起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标均为正值。横坐标如以中央经线为零起算，中央经线以东为正，以西为负，横坐标出现负值，使用不便，故规定将坐标纵轴西移 500
14、公里当作起始轴，凡是带内的横坐标值均加 500 公里。由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中 21 即为带号。2.2.3 高斯投影正反算公式高斯平面坐标(x,y)与大地坐标(L,B)的相互关系式分为两类：第一类称高斯投影正算公式，亦即由 L，B 求 x，y；第二类称高斯投影反算公式，亦即由 x，y 求 L，B。2.2.3.1 高斯投影正算公式在 2.2.1 的方程式中，表示出了由 L，B 求 x，y 的投影函数 F1 和 F2 。为了简化公式
15、的推导过程，引入等量纬度 qdq=MdBNcosB(2-1)即 q=(MNcosB)Db(2-2)引入经差 l：l=L-L0(2-3)可以看出，l 与 L 具有确定关系，q 仅于 B 具有确定关系，因此投影问题也可以看成是建立 x，y 与 l，q 之间的函数关系。x=x(l,q)y=y(l,q)(2-4)要确定式（2-4）的具体形式，需要根据高斯投影的特殊条件，在这些条件的基础上才能导出高斯投影的计算公式，高斯投影必须满足以下三个条件：首先是中央子午线投影为直线；其次是中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，满足正形投影条件。根据第一个条件，并由于地球椭球是一个旋转椭体，所以高斯投影后中央
16、子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即（2-4）式中，x 为的偶函数， y 为的奇函数；l330，即l/1/20，如展开为的级数，收敛。x=+y=+（2-5）式中 m0,m1. 是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。由第三个条件知：(2-5)式分别对和 q 求偏导数并代入上式+2-(2-6)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即=(2-7)(2-7) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8
17、-33) 式第一式中，当 l=0 时有：x=X=（2-8）顾及 ( 对于中央子午线 )=得： =(2-9)=(2-11)依次求得并代入 (2-5) 式，得到高斯投影正算公式2.2.3.2 高斯投影坐标反算公式投影方程：B=(2-10)l=满足以下三个条件：（2-12）x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x 坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。首先，由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ) , 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y与的关系式，于是有，q=q(x,y)l=l(x,y)由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将
18、展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。q= l=y+是待定系数，它们都是 x 的函数 .由第三条件知：(2-13) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式+=214）（2-13）（2-=,第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度 ，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为 。也就是在底点展开为 y 的幂级数。依次求得其它各系数=将,代入 (2-14)式得q-=(5+6+48（2-15）将代入 (2-14) 式得到最后表达式。其次求 B-与 x,y的关系。dq=知： B=
19、f(q),B=f( f(按台劳级数在展开B=f()+17）B-由 dq=可求出各阶导数：（2-16）（2-（2- 18）(1+4+3（2-19）将式 (2-18)（2-19）式带入（2-17）并按 y 幂集合得高斯投影坐标反算公式2.2.4 高斯投影坐标正反算的几何解释从上可见，正算公式实际上是在中央子午线 P展开 l 的幂级数，而反算公式实际上则是在中央子午线 P展开 y 的幂级数。高斯投影坐标正反算公式是在高斯投影必须遵循的三个条件下导出的，因此这些公式必然也完备的表现出高斯投影的特点。比如对正算公式的分析，可以得出具有以下特点：第一，当 l 等于常数时，随着 B 的增加 x 值增大，y
20、值减小；又因为 cos(B)=cos(-B),所以无论 B 值为正或负，y 值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两级收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。第二，当 B 等于常数时，随着 l 的增加，x 值和 y 值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈， 投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。第三，据中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。图 2-3 高斯投影正反算的几何解释第 3 章高斯投影的算例在高斯投影坐标计算的实际工作中，往往采用查表和电算两种方法。现行高斯投影用表都是采用拉索夫斯基椭球参数。我国
21、 1980 年国家大地坐标系采用 1975 年国际椭球参数，因此现有数表已不再适用。又由于电子计算机和各种可编程序电子计算器在测量上广泛使用，因为也有可能直接进行高斯投影计算。因此，在这里给出有关电算的实用算例。表 3-1 高斯投影正算算例序号公式结果1B513843.90232B185923.90233B/0.9013845424sinB0.78418685cosB0.62052486cosB0.38505107l=L-L。30213.13608l10933.13609l= l/0.05300534110N6391412.45111a。32088.40012a40.0549763713a6-
22、0.0077324114a3-0.0381493815a5-0.0264812316sinBcosB0.486607317l0.00280956618N l17957.096196367558.4969 B/5739618.799420x5728374.726m211+( a3+ a5l)l0.999892602221lcosB0.0328876023y+210198.193表 3-2 高斯投影反算算例序号公式结果1（弧度）0.8996187042185559.67223513239.67224sin0.78308985cos0.62198066cos0.38677037Bf(弧度)0.902
23、0701038Bf186065.30949Bf514105.309410sinBf c0.784612111osBf0.619987112cosBf0.384384013Nf6391426.777614b20.2438547615b30.2694348016b40.3129506617b50.1372234018NfcosBf3962602.152719z0.0530455020z0.00281382211-(b4-0.12Z)ZZb20.000685562221141.407023B513843.9024241-(b3-b5Z)Z+0.05300534225e=24 +30213.13622
24、6L=L。+l1260213.1362第 4 章 坐标转换的原理4.1 二维坐标转换的原理二维坐标转换一般采用采用的方法有：相似变换、仿射变换法、正形变换法、一般多项式变换。从转换模型本身及其参数的含义来讲，转换方法分为两类：一类是考虑坐标系间关系的转换模型，这类模型的参数具有明确的几何意义，或者说坐标系间的关系可用参数表示，如相似转换模型等；另一类是数值逼近模型，这类模型的参数和坐标系间的关系无关，例如多项式转换模型。4.1.1 相似转换两个不同的二维平面坐标系的转换通常是采用相似变换的方法。其坐标转换模型一般写为：ixiix = d + u(x cos a + y sin a) y = d
25、 + u(-x sin a + y cos a)iyi1）i（4-iiii式中(x , y ) 和(x , y ) 表示i 点在两个坐标系中的平面坐标，dx ,dy 为平移参数， u 为尺度参数， a 是旋转参数， u 应接近于 1，但u 不一定是微小量。为了应用方便，通常令k1 = u cos a -1k2 = u sin a（4-2）即以k1 , k2 代替尺度参数与旋转参数，则模型（3-1）可以写成：图 4-1 相似转换iiixi1Dx = x - x = d + x k+ y k i2Dy = y - y = d+ y k+ x k iii3）yi 1i 2 （4-则可将公共点的坐标之
26、差Dxi , Dyi 作为观测值，以dx .dy .k1.k2 , 为未知参数，按（4-3）式建立误差方程，求解转换参数dx .dy .k1.k2 , 然后再利用它们求解待定点的转换坐标。此外，因为高斯平面坐标属于正形投影，所以有时也可以按正形投影变换的方法建立二维坐标转换模型进行二维坐标转换。何时使用相似变换，当原坐标系和新坐标系满足下列条件时可采用相似变换：（1） 都为直角坐标系；（2） 纵横比例尺都相同；（3） 度量单位都相同；如果都为直角坐标系，但是纵横比例尺及度量单位存在偏差，那么不应该用相似变换。如果既不是直角坐标系，纵横比例尺与度量单位也不一致，那就应该选择代数或几何形式的一般仿
27、射变换。4.1.2 仿射变换模型相似变换特点是不变更旧网的几何形状，将旧网整体平移，旋转尺度缩放配合到新坐标系中，其缺点在公共点有间隙存在，而且间隙可能还比较大，为了克服上述缺点，可以采用六参数仿射变换法：x1 = ax2 + by2 + c y = dx + ey + f 122（4-4）其中， ( X 2 ,Y2 ) 原坐标系下的坐标，即输入坐标； ( X1 ,Y1 ) 为目前坐标系下的坐标，即输出坐标；a, b, c, d, e, f 为方程参数。参数在坐标系空间上的几何意义为：a 和 e 分别确定点（ x2 , y2 ）在输出坐标中 x1 方向和 y1 方向上的缩放尺度，b 和 d 确
28、定旋转角度，c 和 f 分别确定在 x1 方向和 y1 方向上的水平平移尺寸。上式有六个未知参数，需要至少三对公共点，如果公共点多于三个，同样可以采用最小二乘平差求解未知参数。3.1.3 正形变换法正形变换法是依据正形投影原理的坐标变换方法，正形变换根据参数个数可以有 6 参数正形变换式、8 参数正形变化式和 10 参数正形变化式，这要根据实际情况选用，参数个数的多少并不完全决定精度的好坏。经相似变换后，坐标残差被认为是局部系统误差部分和偶然误差部分，局部误差可以通过对网实施局部变形消除，这种局部变形必须满足正形条件，按正形理论进行第二次变换。 x = p+ x p - y q+ (x2 - y2 ) p- 2x y q 102 11 12222 2 2y = q+ y p + x q+ 2x y p+ (x2 - y2 )q 102 12 12 2 2222（4-5）x = p + x p - y q+
