1、2 标准正交基,3 同构,4 正交变换,1 定义与基本性质,6 对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7 向量到子空间的 距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5 子空间,一、正交向量组,9.2 标准正交基,二、标准正交基,三、正交矩阵,设为欧氏空间，非零向量,若 则 是正交向量组.,正交向量组必是线性无关向量组.,一、正交向量组,定义：,如果它们两两正交，则称之为正交向量组.,注：,证：设非零向量 两两正交.,令,则,由 知,故线性无关.,维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,但不是正交向量组.,1.几何空间 中的情况,在直角坐标系下,是由单位向量构
2、成的正交向量组，即,二、标准正交基,是 的一组基.,设,从,得,即在基 下，中的与内积有关的度量性质有,简单的表达形式.,维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组,称为正交基；,2.标准正交基的定义,由单位向量构成的正交基称为标准正交基.,注：,由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准,正交基.,维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,维欧氏空间V中标准正交基的作用:,设 为V的一组标准正交基，则,(i)设,由(1)，,这里,(iii),(定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基.,证：设 欧氏空间中的正交向量组，,对作
3、数学归纳法,当 时,3.标准正交基的构造 施密特(Schmidt)正交化过程,就是一组正交基了.,1）,使,假设 时结论成立，即此时可找到向量,成为一组正交基.,现在来看 的情形.,所以必有向量 不能被 线性表出，,因为,作向量,待定,从正交向量组的性质知,于是取,即 为正交向量组,由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组,可得,可扩充得正交基.,于是定理得证,2）,都可找到一组标准正交基 使,证：,基本方法逐个构成出满足要求的,(定理2)对于 维欧氏空间中任一组基,首先，可取,一般地，假定已求出 是单位正交的，且,(4),当 时，因为有,由(4)知 不能被 线性表出,按定理1证明中的方法，作
4、向量,再设,可知 是单位正交向量组,从(4)和(5)知 与,是等价向量组，,因此，有,由归纳原理，定理2得证.,则且,则过渡矩阵是上三角形（即）,注：,且,由,知，若,Schmidt正交化过程:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,例1.把,变成单位正交的向量组.,解：令,正交化,再单位化,即为所求,例2.在 中定义内积为,求 的一组标准正交基,(由基 出发作正交化),解:取,正交化,单位化,于是得 的标准正交基,设 与 是 维欧氏空间V中的,两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,即,4.标准正交基间的基变换,或,由于是标准正交基，所以,（6）,由公式（3），有,（7）,把A按列分块为,由（7）有,（8）,则称A为正交矩阵.,2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交,矩阵.,三、正交矩阵,1定义,2简单性质,1）A为正交矩阵,3）设 是标准正交基，A为正交矩阵，若,则 也是标准正交基.,4）为正交矩阵,6）为正交矩阵,
