1、 3.4 高阶系统的时域分析 3.4.1 三阶系统的瞬态响应 3.4.2 高阶系统的瞬态响应 3.4.3 闭环主导极点n 在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。n 对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，确定其动态性能指标是比较复杂的。n 工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。n 对于不能简化为低阶系统的高阶系统，可采用数值计算的方法进行仿真，得出系统的瞬态性能指标。3.4.1 三阶系统的瞬态响应传递函数：当 0 z 1 时，极点分布如下：这相当于在典型二阶系统的基础上增加了一个惯性环节，或增加了一个实
2、极点。3.4.1 典型三阶系统的瞬态响应三阶系统的单位阶跃响应的表达式：式中：由同理：可得：表示实极点和共轭复极点的相对位置。3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应三阶系统的单位阶跃响应如下：三阶系统的单位阶跃响应的紧凑形式如下：式中：3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应b为参变量时三阶系统的单位阶跃响应曲线 当b无穷大时，即负实极点远离虚轴时，三阶系统即为典型二阶系统的瞬态响应曲线。在一般情况下，0b1时，表示实极点远离虚轴，共轭复极点离虚轴近，系统的瞬态特性主要由共轭复极点决定，呈二阶系统的特性，即系统的特性由二阶系统的特征参数z和wn决定。当b1时，表示实极点离虚轴近，共轭
3、复极点离虚轴远，系统的瞬态特性主要由实极点决定，呈一阶系统的特性。一般情况下三阶系统的阶跃响应与实极点和共轭复极点的相对位置有关。4.阻尼系数z对三阶系统的影响与对二阶系统的影响相似。3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应分析图中b=，表示无实极点。由图可见，加入实极点后，当z不变时，超调量下降了，但调节时间增加了。b=b=4b=2b=0.5b=1 3.4.1 三阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应高阶系统分析:闭环传递函数的零点由前向传递函数的零点和反馈传递函数的极点构成。3.4.2 高阶系统的瞬态响应高阶系统传递函数的一般形式为：写成零极点形式：推导单位阶跃响应（当所有闭环极点互不相等，且
4、 ）3.4.2 高阶系统的瞬态响应A0是Y(s)在输入信号极点(s=0)处的留数，Aj是Y(s)在实数极点(s=-pj)处的留数。Bl和Cl分别为Y(s)在共轭复数极点处留数的实部和虚部。Bl和Cl的计算略。3.4.2 高阶系统的瞬态响应高阶系统的单位阶跃响应 不仅与闭环极点 有关，而且与系数 有关(这些系数都与闭环零、极点有关)。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决于闭环系统的零、极点分布。高阶系统的阶跃响应由简单函数项组成，即由一阶、二阶系统的响应组成。由此可见：3.4.2 高阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应 极点的影响 对于稳定的高阶系统(闭环极点全部位于s左半平面)，极点为负实数或具有负实部
5、共轭复数，分别对应时域表达式的指数衰减项或衰减正弦项，但衰减的快慢取决于极点离虚轴的距离。距虚轴近的极点对应的项衰减得慢；距虚轴远的极点对应的项衰减得快。同时，距虚轴近的极点相对应的瞬态分量系数大，而距虚轴远的极点相对应的瞬态分量系数小。所以，距虚轴近的极点对瞬态响应影响大。定性分析：3.4.2 高阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应 零点的影响 零点不影响阶跃响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。偶极子 若有一对零、极点，它们之间的距离比它们的模值小一个数量级，这对零、极点称为偶极子。偶极子对瞬态性能的影响可以忽略。但影响稳态性能。若极点远离原点，则系数小
6、；极点靠近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。系数 取决于零、极点分布。有以下几种情况：3.4.2 高阶系统的瞬态响应-单位阶跃响应闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点；极点附近无零点；其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上。主导极点：满足下列条件的极点称为主导极点。主导极点在y(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。例如：为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为：3.4.3 闭环主导极点利用主
7、导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析n 在近似前后，确保输出稳态值不变；n 在近似前后，瞬态过程基本一致。高阶系统近似简化原则：具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。此时高阶系统的特性可用等效低阶系统的特性做近似的估计分析。具体步骤：n 确定系统的主导极点。n 将高阶开环或闭环传递函数写为时间常数形式，再将小时间常数项略去。3.4.3 闭环主导极点例如：如果：则：说明：假设输入为单位阶跃函数，则化简前后的稳态值如下参照p131【例子】3.4.3 闭环主导极点q 零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小q 主导极点q 高阶系统简化为二阶（一阶）系统的原则和步骤 3.4.4 小结
